正交试验设计 - 图文

正交试验设计

1 正交试验设计的概念及原理 1.1 基本概念

利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

特点：在试验因素的全部水平组合中，仅挑选部分有代表性的水平组合进行试验。

通过部分实施的试验结果，了解全面试验情况，从中找出较优的处理组合。

考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。

A因素：增稠剂用量，A1、A2、A3 B因素：pH，B1、B2、B3 C因素：杀菌温度，C1、C2、C3 3因素 3水平 3＝27

3

全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。

? 正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析； ? 当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

? 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 1.2 基本原理

在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平， 可以理解为在选优区内打上网格，

如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。 3个因素的选优区可以用一个立方体表示。

3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点。 若27个网格点都试验，就是全面试验。

B3 B2

C2 C3 A1B1C1 A2 A3

1.2 基本原理

正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。

A1B1C1 A2B1C2 A3B1C3 A1B2C2 A2B2C3 A3B2C1 9个组合 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2

A1B1C1 A1B3C1 A1B1C2 A1B3C2 A1B1C3 A1B2C1 A1B3C3 A1B2C2 A2B1C1 A1B2C3 A2B1C2 A2B1C3 A2B2C1 A2B3C1 A2B2C2 A2B3C2 A2B2C3 A2B3C3

A3B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C3 A3B1C3 A3B2C3

C A 1 2 3 B 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2

C A 1 2 3 B 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 保证了A的每个水平与B、C的各个水平在试验中各搭配一次。 任一因素的每个水平都与另外两个因素的每个水平相组合且组合１次。

对于A、B、C 3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。

? 9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面 上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 ? 9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

1.3 正交表及其性质

正交表

因素的水平L9(3)最多可安排的因素 （互作）数 9行，可以安排的试验次数（水平组合数）

4L9(3) 试验号 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

? 此表共有4列，可以安排4个因素;

? 每一列有1、2、3三种数字，代表各因素的不同水平;

表中有9行，代表9个不同处理组合。

1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 4

4L(3) 9试验号 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 正交性

(1) 任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等

1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 试验1 号 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 2 2 2 2 L8(27)2 3 4 5 6 7 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 (2) 任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等

即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。 代表性

(1) 任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平； (2) 任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。

(3)由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。 综合可比性

(1) 任一列的各水平出现的次数相等；

(2) 任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。

这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。

A1B1CA2B1CA3B1CA1B2CA2B2CA3B2CA1B3CA2B3CA3B3C 根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 均衡分散

? 是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 ? 这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情况。 整齐可比

? 指每一个因素的各水平间具有可比性。

? 正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。 ? 如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平A1、A2、A3条件下各有B、C的 3个不同水平，即：在这9个水平组合中，A因素各水

平下包括了B、C因素的3个水平，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有综合可比性。

? 同样，B、C因素3个水平间亦具有综合可比性。 1 正交试验设计的概念及原理 正交性 代表性 综合可比性 正交表的三个基本性质中，

? 正交性是核心，是基础，

? 代表性和综合可比性是正交性的必然结果 1.4 正交表的类别

各列水平数相同的正交表称为等水平正交表。 如L4(2的3次方)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平为2，称为2水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列水平为3，称为3水平正交表。

各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。 如L8(4×24)表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。 也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。

2 正交试验设计的基本程序（实例分析）

为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。

对本试验分析，影响山楂液化率的因素很多，如山楂品种、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原料pH 值、果胶酶种类、加酶量、酶解温度、酶解时间等等。经全面考虑，最后确定果肉加水量、加酶量、酶解温度和酶解时间为本试验的试验因素，分别记作A、B、C和D，进行四因素正交试验，各因素均取3个水平，因素水平表如下表所示。

试验因素

水平

加水量（mL/100g）A 加酶量（mL/100g）B 酶解温度（℃）C 酶解时间（h）D

1 2 3

10 50 90

1 4 7

20 35 50

1.5 2.5 3.5

等水平正交表 混合水平正交表 （3） 选择合适的正交表 正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。试验

因素的水平数=正交表中的水平数。因素个数（包括交互作用）小于等于正交表的列数。各因素及交互作用的自由度之和 < 所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。

若各因素及交互作用的自由度之和=所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。 正交表选择依据 列数（正交表的列数c≥因素所占列数+交互作用所占列数+空列） 自由度（正交表的总自由度（a-1）≥因素自由度+交互作用自由度+误差自由度。）

此例有4个3水平因素。若仅考察4个因素对液化率的影响效果，不考察因素间的交互作用，故宜选用L9（34）正交表。若要考察交互作用，则应选用L27(313)。

（4） 表头设计 所谓表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计“混杂” 。此例不考察交互作用，可将加水量(A)、加酶量(B)和酶解温度 (C)、酶解时间（D）依次安排在L9(34)的第1、2、3、4列上，如下表所示。

（5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了正交试验方案。 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因 素 A 1 1 1 2 2 2 3 3 3 B 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C 1 2 3 2 3 1 3 1 2 D 1 2 3 3 1 2 2 3 1 列号 因素 1 A 2 B 3 C 4 D 试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。

2.2 试验结果分析

3.1.1 不考察交互作用的结果分析

极差分析法－R法 1. 计算（Kjm，kjm，Rj）2. 判断（因素主次，优水平，优组合）

Kjm为第j列因素m水平所对应的试验指标和，kjm为Kjm平均值。由kjm大小可以判断第j列因素优水平和优组合。Rj为第j列因素的极差，反映了第j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。Rj越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据Rj大小，可以判断因素的主次顺序。 （1）确定试验因素的优水平和最优水平组合 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

因 素 试验号 A B C D 因 素 A 1 1 1 2 2 2 3 3 3 B 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C 1 2 3 2 3 1 3 1 2 D 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 试验结果

（液化率 %） 0 17 24 12 47 28 1 18 42

KA1?0?17?24?41KA1?13.7KA2?12?47?28?87KA2?29KA3?1?18?42?61KA3?20.3根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么kA1、kA2、kA3应该相等.由计算可见，kA1、kA2、kA3实际上不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。因此，根据kA1、kA2、kA3的大小可以判断A1、A2、A3对试验指标的影响大小。由于试验指标为液化率，而kA2>kA3>kA1，所以可断定A2为A因素的优水平。

同理，可以计算并确定B3、C3、D1分别为B、C、D因素的优水平。四个因素的优水平组合A2B3C3D1为本试验的最优水平组合，即酶法液化生产山楂清汁的最优工艺条件为加水量50mL/100g，加酶量7mL/100g，酶解温度为50℃,酶解时间为1.5h。 （2）确定因素的主次顺序。根据极差Rj的大小，可以判断各因素对试验指标的影响主次。 （3）绘制因素与指标趋势图. ，

以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（kjm）为纵坐标，绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势图可以

更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势，可为进一步试验指明方向。表 试验结果分析

试验号123456789K1K2K3k1k2因素A11122233341876113.729.020.315.3A2B1231231231382944.327.331.3C12323131246717215.323.724.0D12331223189465429.715.318.014.3D1液化率％0172412472811842k3极差R

主次顺序

优水平

优组合27.08.7B>A>D>CB3C3A2B3C3D13.1.2 考察交互作用的试验设计及结果分析

实例分析2 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 三种成分组成，各有2个水平，除考察A、B、C三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。 (1) 选用正交表，进行表头设计

本试验有3个2水平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和为：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5 该正交表中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占的列。 L(27)8

如果将A因素放在第1列 ，B 因素 放在第 2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列 ，于是将 A与B 的交互作用 A×B放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素 ，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列， B×C应放在第6列，余下列为空列 ，如此可得表头设计。

表头设计 列号 1 因素 A 2 B 3 A×B 4 C 5 空 6 B×C 7 空 (2) 列出试验方案 根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案

1(A) 2(B) 4(C)

(3) 结果分析

按表所列的试验方案进行试验，其结果分析与前面并无本质区别，*****应把互作当成因素处理进行分析； *****应根据互作效应，选择优化组合。极差分析结果（表） 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 k1 k2 极差R A 1 1 1 1 2 2 2 2 279 386 69.75 96.50 26.75 B 1 1 2 2 1 1 2 2 339 326 84.75 81.50 3.25 A×B 1 1 2 2 2 2 1 1 233 432 58.25 108.00 49.75 C 1 2 1 2 1 2 1 2 353 312 88.25 78.00 10.25 空列 1 2 1 2 2 1 2 1 337 328 84.25 82.00 2.25 B×C 1 2 2 1 1 2 2 1 327 338 81.75 84.50 2.75 空列 1 2 2 1 2 1 1 2 347 318 86.75 79.50 7.25 试验结果 55 38 97 89 122 124 79 61 主次顺序 优水平 优组合 A×B > A > C > B > B×C A2 A2B1C1 B1 C1 因素主次顺序为A×B>A>C>B>B×C，表明A×B交互作用、 A因素影响最 二元表 A1 A2

B1 46.5 123

B2 93 70

3.2 正交试验结果的方差分析

将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异，构造F统计量，作F检验，判断因素作用是否显著。 （1）平方和分解 SS （2）自由度分解 T?SS处理?SS误差dfT?df处理?df误差（3）方差： 处理 SS 误 差 （4）构造F统计量： SS

MS处理＝df处理， MS误差＝df误差F＝MS处理MS误差（5）列方差分析表，作F检验 F>Fa，拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响； F?Fa，认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。 L9(34)正交表 处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第1列（A） 1 1 1 2 2 2 3 3 3 第2列 1 2 3 1 2 3 1 2 3 第3列 1 2 3 2 3 1 3 1 2 第4列 1 2 3 3 1 2 2 3 1 试验结果yi y1 y2 y3 y4 因素A第2水y5 y6 y7 因素A第3水平y8 y9 3次重复测定值 平3次重复测因素A第1水平3次重复测分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。 因素 A1 A2 A3

重复1 y1 y4 y7

重复2 y2 y5 y8

重复3 y3 y6 y9

和

y1+y2+y3 K1 y4+y5+y6 K2 y7+y8+y9 K3

21）222（y1?y2?...?y9SSA＝（y1?y2?y3）?（y4?y5?y6）?（y7?y8?y9）?（修正项）391T2222 ＝（K1?K2?K3）-39??Ln（mk）正交表及计算表格 表头设计 列号 试验号 1 2 A 1 1 1 B 2 … … … … … … … k … … 试验数据 xi x1 x2 xi2 x12 x22

… n K1j K2j … Kmj K1j2 K2j2 … Kmj2 SSj T＝?xi C?

i＝1… m K11 K21 … Km1 K112 K212 … Km12 SS1 … … K12 K22 … Km2 K122 K222 … Km22 SS2 … … … … … … … … … … … … K1k K2k … Kmk K1k2 K2k2 … Kmk2 SSk … xn … xn2 n 2 总平方和： 列平方和：

Tn SST＝x?＝i1n2i?C（?xi）2SST＝?xi－i＝1ni＝12nn2（?xi）12SSj＝?Kij－i＝1 （j＝1，2，...，k）ri＝1nmnm1 SS ＝ K 2 ? C 试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水平作r次重复r＝n/m。 ?jijri＝1

总自由度： df T ＝n-1 因素自由度：

df＝m?1 ，m为因素水平个数j3.2.1 不考虑交互作用等水平正交试验方差分析

实例分析3 自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验指标为自溶液中

蛋白质含量（％）。试验因素水平如下表。

试验因素 水 平 温度（℃）A 1 2 3 50 55 58 pH值B 6.5 7.0 7.5 加酶量（％）C 2.0 2.4 2.8 试验方案及结果分析表 处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j A 1（50） 1 1 2（55） 2 2 3（58） 3 3 15.76 18.57 B 1（6.5） 2（7.0） 3（7.5） 1 2 3 1 2 3 25.18 21.41 C 1（2.0） 2（2.4） 3（2.8 2 3 1 3 1 2 22.65 21.45 空列 1 2 3 3 1 2 2 3 1 20.74 21.87 试验结果yi 6.25 4.97 4.54 7.53 5.54 5.5 11.4 10.9 8.95 T?65.58 K3j K1j2 K2j2 K3j2 31.25 248.38 344.84 976.56 18.99 634.03 458.39 360.62 21.48 513.02 460.10 461.39 22.97 430.15 478.30 527.62 1计算

(1)计算各列各水平的K值 计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。

1m2ssj??Kij?Cri?1T265.582C???477.86n9ssA?(2)计算各列平方和及自由度

同理，SSB=6.49，SSC=0.31， SSe=0.83（空列） 1?(248.38?344.84?976.56)?477.86?45.4自由度：dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3-1=2 3(3)计算方差

2 sA?1222(K11?K21?K31)?C3

SSA45.4??22.7dfA22sC?SSC0.31??0.155dfC22sB?SSB6.49??3.23dfB2SSe0.83??0.415dfe2

2显著性检验 se2?根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表。 变异来源 A B C△ 误差e 误差e△ 总和 平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03 自由度 2 2 2 2 4 均方 22.70 3.24 0.16 0.41 0.285 F值 79.6** 11.4* Fa F0.05(2,4) =6.94 F0.01(2,4)=18.0 因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。因素主次顺序A-B-C

3优化工艺条件的确定 处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j K3j

A 1（50） 1 1 2（55） 2 2 3（58） 3 3 15.76 18.57 31.25 B 1（6.5） 2（7.0） 3（7.5） 1 2 3 1 2 3 25.18 21.41 18.99 C 1（2.0） 2（2.4） 3（2.8 2 3 1 3 1 2 22.65 21.45 21.48 空列 1 2 3 3 1 2 2 3 1 20.74 21.87 22.97 试验结果yi 6.25 4.97 4.54 7.53 5.54 5.5 11.4 10.9 8.95 本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，从经济角度考虑，选C1。

3.2.2 考虑交互作用等水平正交试验方差分析

实例分析４用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好。今欲研究影响吸光度的因素，确定

最佳测定条件。 试验方案及结果分析表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj A 1 1 1 1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021 B 1 1 2 2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235 A×B 1 1 2 2 2 2 1 1 10.21 10 0.21 0.0055 C 1 2 1 2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25 0.0078 A×C 1 2 1 2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27 0.0091 B×C 1 2 2 1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03 0.0001 空列 1 2 2 1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17 0.0036 吸光度 2.42 2.24 2.66 2.58 2.36 2.4 2.79 2.76 表 方差分析表 变异来源 A B A×B△ C A×C B×C △ 误差e 误差e △ 总 和 平方和 自由度 均方 0.0210 0.2346 0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036 0.0923 0.2818 1 1 1 1 1 1 1 3 0.021 0.235 0.006 0.008 0.009 0.000 0.004 0.00308 F值 6.82 76.19 2.53 2.96 临界值Fa F0.05(1,3)=10.13 F0.01(1,3)=34.12 显著水平 ** 因素B高度显著，因素A、C及交互作用A×B、A×C、B×C均不显著。 表 试验方案及结果分析表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj A 1 1 1 1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021 B 1 1 2 2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235 A×B 1 1 2 2 2 2 1 1 10.21 10 0.21 0.0055 C 1 2 1 2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25 0.0078 A×C 1 2 1 2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27 0.0091 B×C 1 2 2 1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03 0.0001 空列 1 2 2 1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17 0.0036 吸光度 2.42 2.24 2.66 2.58 2.36 2.4 2.79 2.76 交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。对显著因素B，通过比较确定优水平为B2；同理A取A2，C取C1或C2。优组合为A2B2C1或A2B2C2。各因素对试验结果影响的主次顺序为：B、A、A×C、C、A×B、B×C。

3.2.3 重复试验的方差分析

（1）假设每号试验重复数为s，在计算K1j，K2j，…时，是以各号试验下“s个试验数据之和”进行计算。 （2）重复试验时，总平方和SST及自由度dfT按下式计算。

2 T 式中，n－正交表试验号 S－各号试验重复数

SST???xit?i?1t?1ns2ns Xit－第i号试验第t次重复试验数据 T－所有试验数据之和（包括重复试验）

T???xiti?1t?1nsdfT?ns?1（3）重复试验时，各列平方和计算公式中的水平重复数 改为“水平重复数乘以试验重复数”，

修正项C也有所变化，SSj的自由度dfj为水平数减1。 自由度dfe等于dfe1和dfe2之和，即

1mT22SSj??Kij?rsj?1nsdfj?m?1SSe?SSe1?SSe2MSe2?（4）重复试验时，总误差平方和包括空列误差SSe1和重复试验误差SSe2，即

SSe2Se2和dfe2的计算公式如下： （5）重复试验时，用 dfe 2 检验各因素及其交互作用的显著性。当正交表各列都已排满

dfe?dfe1?dfe21nsSSe2???xit??(?xij)2si?1t?1i?1t?1dfe2?n(s?1)2ns时，可用

MSe2?SSe2dfe2来检验显著性。

实例分析5 在粒粒橙果汁饮料生产中，脱囊衣处理是关键工艺。为寻找酸碱二步处理法的最优工艺条件，安排4因素4水平正交试验。表

因素水平表

试验因素 水平 NaOH％ A 1 2 3 4 计 算

（1）计算各列各水平K值 （2）计算各列偏差平方和及其自由度

0.3 0.4 0.5 0.6 Na5P3O10 ％ B 0.2 0.3 0.4 0.5 处理时间 min C 1 2 3 4 处理温度℃ D 30 40 50 60 K11?6?12.5?17.5?19.2?55.2K21?19.5?14.5?21.6?25.2?80.81m2T21m23032SSj??Kij???Kij?16?3rsj?1ns4?3j?11m2??Kij?1912.6912j?1 ... K45?19.2?19.5?18.9?19.2?76.81

SSA?SS1?(3047.04?...?6320.25)?1912.69?49.99 12同理可计算SSB=SS2＝33.42，SSC＝29.01，SSD=13.54，SSe1=9.65

1632it1163SSe2???x??(?xij)2SSe?SSe1?SSe2?9.65?2.01?11.66 3i?1t?1i?1t?1 2 2 2 1 2 2 dfA=dfB=dfC=dfD=4-1=3 2?(2?2?...?6.9)? (6?12.5?...?20.4) 3 dfe1=df空列=4-1=3 ? 2050 . 32 ? 2048 .31 ? 2 .01 dfe2=n(s-1)=16(3-1)=32

显著性检验

dfe?dfe1?dfe2?3?32?35MSA?（3）计算方差

MS因素?SS因素df因素SSA49.99??16.66dfA3同理： MSB?11.14 MSC?9.67 MSD?4.51 MSe＝0.33

变异来源 ABCD误差e1重复误差e2 误差e总和 确定最优条件

平方和 49.9933.4229.0113.549.652.0111.66137.63自由度 33333323547均方 16.6611.149.674.51F值 50.4833.7629.313.67FaF0.05(3,35)=2.88F0.01(3,35)=4.40四个因素的作用高度显著。因素作用的主次顺序为A、B、C、D。通过比较Kij值，可确定各因素的最优水平为A3、B4、C3、D3。最优水平组合A3B4C3D3。

一次回归正交设计

实例为了研究某作物的栽培技术，选择影响作物产量的3个主要因素：水分状况(全生育期土壤湿度占田间持水量的百分比)、追施氮肥量、

密度，试验指标为产量y（kg/小区）。进行一次回归正交设计并分析。 (1) 列出因素水平编码表 名称 上水平(+1) 下水平(-1) 零水平(0) 变化区间 编码xj 1 -1 0 水分状况Z1（％） 95 75 85 10 追氮量Z2(kg/hm2) 密度Z3(万株/hm2) 40 20 30 10 65 45 55 10 7(2) 列出试验方案并实施

试验要求考察3个因素及两两因素间的交互作用，并且需要对失拟性进行检验， L 8 ( 2 ) 零水平试验点重复2次。 表6 三因素一次回归正交设计试验方案与结果表 处理号 试验设计 X1 X2 X3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 实施方案 水分状况 Z1（％） 95 95 95 95 75 75 75 75 85 85 追氮量 Z2(kg/hm2) 40 40 20 20 40 40 20 20 30 30 密度Z3 (万株/hm2) 65 45 65 45 65 45 65 45 55 55 2.1 2.3 3.3 4.0 5.0 5.6 6.9 7.8 4.5 4.3 产量y （kg/小区） (3) 计算回归系数及偏回归平方和

表 三因素一次正交回归设计结构矩阵与试验结果计算表 处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?

X0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45.8 10 4.58 - X1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 -13.6 8 -1.7 23.12 X2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 -7 8 -0.875 6.125 X3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 -2.4 8 -0.3 0.72 X1X2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 1.2 8 0.15 0.18 X1X3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 0.6 8 0.075 0.045 X2X3 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 0.8 8 0.1 0.08 y 2.1 2.3 3.3 4.0 5.0 5.6 6.9 7.8 4.5 4.3 y?4.58?1.70x1?0.875x2?0.3x3?0.15x1x2?0.075x1x3?0.1x2x310(4) 失拟性检验与回归关系显著性检验

11045.822(?ya)?240.14??30.376dfy?10?1?9 SSy??y?10a?110a?12aSSR?23.12?6.13?0.72?0.18?0.045?0.08?30.275edfR?6 SS?SSy?SSR?30.376?30.275?0.101dfe?10?1?6?34.5?4.324.5?4.32)?(4.3?)?0.0222SS?(4.5? eldfel?m0?1?2?1?1Lf SS?SSe?SSel?0.101?0.02?0.081dfLf?dfe?dfel?3?1?2 23.12 6.13 0.72 0.18 0.045 0.08 30.275 0.101 0.081 0.02 30.376 变异来源 X 1 X2 X3 X 1X2 X 1X3 X2 X3 回归 剩余 失拟 纯误差 总变异

SS 1 1 1 1 1 1 6 3 2 1 9 df 23.12 6.13 0.72 0.18 0.045 0.08 5.046 0.034 0.041 0.02 MS680** F (5) 将回归方程中的编码变量还原为实际变量。 y180.294** 21.176** 5.249 1.324 2.353 148.41* 2.025 ??4.58?1.70x1?0.875x2?0.Z1?Z01Z1?85??110Z2?Z02Z2?30??210Z3?Z03Z3?55 ??310Z1?85)?0.88(10Z1?85Z3?55

x1?x2?

x3?

??4.58?1.70(y

??25.28875?0.12920yZ1?0.27050Z2?0.00375Z3?0.00075Z1Z3?0.00100Z2Z3??????Z???ZZ???Z2??Y0jjijijjjj??b??bZ??bZZ??bZ2Y0jjijijjjjj?1j?1mmj?1mj?1mmZ1Z2 ?0.00150

其回归方程

mm个自变量时，二次回归方程的数学模型为

??b??bZ??bZZ??bZ2Y0jjijijjjjj?1j?12q?1?m?Cm?m2m(m?1)m?3m?2(m?2)(m?1)2 q?1?m??m???Cm?2222

N

2q?1?m?Cm?m??10L9(34)(m?2)(m?1)(3?2)(3?1)2?Cmq??10?222L27(313)33?27L18(37)例题 影响茶叶出汁率的主要因素有：榨法压力P，加压速度R，物料量R，榨汁时间t；各因素对出汁率的影响不是简单的线性关系，而且各

因素间存在不同程度的交互作用，故用二次回归正交组合设计安排试验，以建立出汁率与各因素的回归方程。 (1) 根据初步试验，确定各因素的下、上水平

压力P(at): 5, 8加压速度R (at/s): 1, 8物料量W (g): 100, 400，榨汁时间t (min): 2, 4 (2) 因素水平编码

根据星号臂长的值（计算得出或查表得出），对因素水平进行编码，得到编码变量。 γ值表 m0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

根据星号臂长的值（计算得出或查表得出），对因素水平进行编码，得到编码变量。 m?4,m0m?4,m0?33 1.21541 1.28719 1.35313 1.41421 1.47119 1.52465 1.57504 1.62273 1.66803 1.71120 1.75245 4 1.41421 1.48258 1.54671 1.60717 1.66443 1.71885 1.77074 1.82036 1.86792 1.91361 1.95759 ??1.547m 5(1/2实施) 1.54671 1.60717 1.66443 1.71885 1.77074 1.82036 1.86792 1.91361 1.95759 2.00000 2.04096 5 1.59601 1.66183 1.72443 1.78419 1.84139 1.89629 1.94910 2.00000 2.04915 2.09668 2.14272 6(1/2实施) 1.72443 1.78419 1.84139 1.89629 1.94910 2.00000 2.04915 2.09668 2.14272 2.18738 2.23073 6 1.76064 1.82402 1.88488 1.94347 2.00000 2.05464 2.10754 2.15884 2.20866 2.25709 2.30424 7(1/2实施) 1.88488 1.94347 2.00000 2.05464 2.10754 2.15884 2.20866 2.25709 2.30424 2.35018 2.39498 2 1.00000 1.07809 1.14744 1.21000 1.26710 1.31972 1.36857 1.41421 1.45709 1.49755 1.53587 ?3??1.547表7 茶叶出汁率的因素水平编码表（方法I）

Z(xj?1)j?Z0j??jZ(xj??1)j?Z0j??j

表7 茶叶出汁率的因素水平编码表（方法I）

xj (P) (R) (W) (t) 1.547(?) 8 7.47 6.5 5.53 5 0.97 8 6.76 4.5 2.24 1 2.26 400 347 250 153 100 97 4 3.646 3 2.354 2 0.646

1 0 -1 ?1.547(??) ?j(3) 列出试验实施方案。

??1.547L16(215)m??8m0?3

(4) 试验结果与统计分析

1,2,4,8 列

2(m?2?)x?x?a?x?cNN(16?2?1.5472)22?xaj??xaj?0.77027'aj2aj2aj?x2aj1.5472?0.770?1.623

?y?45.74?0.823x1?0.398x2?1.937x3?1.492x4''''?2.161x3?0.182x4

?0.353x1x2?0.102x1x3?0.056x1x4?1.018x2x3?0.478x2x4?0.321x3x4 ?0.391x1?0.483x2(5) 回归方差分析 变异来源 x1 x2 x3 x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 x’1 x’2 x’3 x’4 回归 剩余 失拟 纯误 总变异

SS df 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 12 10 2 26 MS 14.065 3.290 78.000 46.254 1.995 0.166 0.050 16.585 3.658 1.645 1.750 2.670 53.477 0.379 15.999 2.401 2.830 0.253 F 5.858* 1.370 32.486** 19.264** <1 <1 <1 6.908* 1.524 <1 <1 1.112 22.273** <1 6.663** 11.186ns 临界F值 4.75(F0.05) 9.33(F0.01) 1.46(F0.25) 4.05(F0.01) 19.39(F0.05) 14.065 3.290 78.000 46.254 1.995 0.166 0.050 16.585 3.658 1.645 1.750 2.670 53.477 0.379 223.984 28.806 28.301 0.505 252.790 表9 回归关系的第二次方差分析表 变异来源 x1 SS 14.065 df 1 MS 14.065 F 6.901* 临界F值 4.35(F0.05) x3 x4 x2x3 x2x4 x’3 回归 剩余 失拟 纯误 总变异 ? ?

78.000 46.254 16.585 3.658 53.477 212.039 40.751 40.246 0.505 252.790 1 1 1 1 1 6 20 18 2 26 78.000 46.254 16.585 3.658 53.477 35.340 2.038 2.236 0.253 38.273** 22.696** 8.138* 1.795 26.240** 17.341** 8.838ns 8.10(F0.01) 1.40(F0.25) 3.87(F0.01) 9.43(F0.10) 'y?45.74?0.823x1?1.937x3?1.492x4?1.018x2x3?0.478x2x4?2.161x3'2?x3?0.77 x3x1?Z1?6.50.97x2?Z2?4.52.26x3?Z3?25097y?15.954?0.848Z1?2.413Z2?0.116Z3?3.783Z4?4.644?10?3Z2Z3?0.327Z2Z4?2.297?10?4Z32回归旋转设计

实例 用木瓜蛋白酶酶解虾蛋白，试应用三元二次回归正交旋转组合设计法研究酶用量、温度、底物浓度三因素对酸溶性肽得率影响方程式。

(1) 确定各因素上、下水平：

酶用量(Z1:U/g)：6000,3600温度(Z2:℃):65,55底物浓度(Z3:%):5,3 m 2 3 4 5 (1/2实施) 6 (1/2实施) 7(1/2实施) 8 (1/2实施) mc m? 4 6 8 10 12 14 16 ?1.414 1.682 2.000 2.000 2.378 2.828 3.364 ? 4N 13 20 31 32 53 92 165 m 04 8 16 16 32 64 128 0.81 0.86 0.86 0.89 0.90 0.92 0.93 5 6 7 6 9 14 21

表3 二次回归旋转组合试验设计因素编码表

底物浓度 酶用量 温度 规范变量 上星号臂γ 上水平1 零水平0 下水平-1 下星号臂-γ

表5 方差分析表 变异来源 SS 19.5109 0.1611 0.1886 df 1 1 1 MS 19.5109 0.1611 0.1886 F 4.5485 0.0376 0.0440 显著性 6000 5513 4800 4087 3600 713 65 63 60 57 55 3 5 4.6 4 3.4 3 0.6 ?j(2) 正交组合设

?y?32.6387?1.195x1?0.1986x2?0.1175x3?0.4163x1x2?0.0863x1x3?0.2213x2x3''?0.1884x1'?1.5235x2?1.9456x3

(3) 回归方程的建立

(4) 回归方程及偏回归系数的检验

回归 残差 总和 1.7395 0.0596 0.3918 0.5639 36.8748 60.1384 119.6286 55.7639 175.3925 21 1 1 1 1 1 9 13 n-1=22 '?1.9456x31.7395 0.0596 0.3918 0.5639 36.8748 60.1384 13.2921 4.2895 0.5055 0.0139 0.0913 0.1315 8.5965 14.0199 3.0988 ﹡ ﹡﹡ ﹡ ? y?32.6387?1.5235x'(5) 失拟性检验

m020i1m02SS?y?(y)?25.0238??0i elm0i?1i?1dfel?m0?1?5SSlfFlf?SSelSSlf?SSe?SSel?55.7639?25.0238?30.7041

df?df?df?13?5?8lfeel (6) 回归方程的回代

'222dflfdfel?1.9665ns1N21N22'22x?x??x2i?x2?0.5938x3?x3??x3i?x3?0.5938

Ni?1Ni?1?''y?32.6387?1.5235x2?1.9456x322?32.6387?1.5235(x2?0.5938)?1.9456(x3?0.5938) 22?34.6987?1.5235x2?1.9456x3

x? 2 ?Z2?Z20Z2?60??j3x3?Z3?Z30Z3?4??j0.6Z?42Z2?602)?1.9456(3)30.6 2?20.3113Z2?43.2356Z3?0.1693Z2?5.4044Z32?661.172422y?34.6987?1.5235x?1.9456x(23?34.6987?1.5235

二次回归正交设计在微型月季组织培养中的应用 试验设计

供试材料为微型月季，取自本实验室培养的组培苗，在不添加任何植物激素的MS 培养基(空白培养基) 上培养40 d，剪取带一个腋芽的茎段，长约115 cm 左右，接种在以二次回归正交设计的含有不同浓度6－BA(0～3 mg/L) 、NAA(0～1 mg/L) 组合的各种MS 培养基上。每处理接种10 个带腋芽的茎段，培养40 d，按每处理茎段分化的总芽数进行二次回归正交分析。

因子编码 6-BA(mg·L - 1) NAA(mg·L - 1)

-γ 0 0 -1 0.36 0.12 0 1.50 0.50 1 2.64 0.88 γ 3.00 1.00 Δ 1.14 0.38 m?2,m0?6???1.32试验实施 处理组合 1 2 3 X0 1 1 1 X1 1 1 -1 X2 1 -1 1 xj?Zj?Z0j?jX1X2 1 -1 -1 X1’2 0.4654 0.4654 0.4654 X2’2 0.4654 0.4654 0.4654 芽增殖数 48 59 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1.32 -1.32 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1.32 -1.32 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4654 1.2078 1.2078 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 0.4654 -0.5346 -0.5346 1.2078 1.2078 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 -0.5346 31 52 12 48 62 64 63 68 69 64 66 '2'2??52.0713?14.135x1?5.007x2?0.75x1x2?19.309x1y?6.105x2经F检验，回归方程极显著。各项回归系数的检验结果表明，一次项系数b1、b2 和 二次项系数b11、b22极显著，交互项系数b12不显著。因此，在建立回归方程时， 交互项可以剔除，但为了相互比较和建立方程，本试验仍予以保留。

'2'2??52.0713?14.135x1?5.007x2?0.75x1x2?19.309x1y?6.105x2

经失拟检验，回归方程拟合较好。

22??8.349?57.839Z1?31.698Z2?1.731yZZ?14.858Z?42.278Z1212

五因子五水平二次回归正交旋转组合设计

某研究以播期、基本苗、中耕次数、施氮量（尿素用量）、施磷量（过磷酸钙用量）为试验因子进行旱肥地小麦高产栽培研究试验。 五因子五水平二次回归正交旋转组合设计，采用1/2实施方案，

N?36,mc?16,m??10,m0?10,??2因子设计水平(γ=2) 变化间距 -2 -1 9/27 11 1 0 10/2 15 2 1 10/7 19 3 2 10/12 23 4 9/22 7 0 试验因子 X1，播期（月/日） 5天 X2，基本苗（万/亩） 4 X3，中耕次数（次） 1 X4，氮肥（kg/亩） 7.5 X5，磷肥（kg/亩） 15 数据分析 ?

*Y?338.0891?3.3917x1?2.7750x2?0.5567x3?11.4500x4?4.0750x50 0 7.5 15 15 30 22.5 45 30 60 *?7.3375xx?4.0375xx?3.9750xx?17.4500x1x5121314

?4.2000x2x3 ?0.4458x21?6.4875x2x4?12.4125x2x5?2.4625x3x4?6.7875x3x5?7.0750x4x5组合数 1313 511 513 406 204 101 77 3125 占组合数的％ 42.02 16.35 16.42 12.99 6.53 3.23 2.46 100.00 2**222?2.6583x2?13.9708x3?13.6167**x4?7.1792x5产量范围（kg/亩） <325 325-350 350-375 375-400 400-425 425-450 >450 合计

多因素试验

正交试验设计

明确试验目的，确定试验指标。

选因素、定水平，列因素水平表

一次回归正交设计

选择合适的正交表

二次回归正交设计 表头设计

编制方案，实施

回归旋转设计

统计分析

方差分析

? 1) 试验因子只属于一些可控或部分可控因子，对非可控因子则难以进行试验。同于试验水平有严格的要求，因子必须是数量化的； ? (2) 设计是已组装好的，虽然满足了正交性和旋转性的要求，但缺乏灵活性，因而应用起来较为死板；

? (3) 试验本身不设重复，除了试验组合中m0有一定的重复外，mc、mγ均为单个试验点，所以，试验要求精度较高，要尽量控制其它因

子的影响为一致。同时，由于没有重复，要求每一个试验都不能失败，否则无法进行缺区估计；

? (4) 由于设计的特性及分析方法的要求，这种试验一般很少考虑中间过程，也就是只需要因子的输入，因而这种模型是一种静态模型，当

其它因子变化时，按照模型不能立即适应。因此，应用试验结果时，往往会有一定的偏差，这就是为什么有些成果试验时效果很好，待推广应用时不一定能取得良好效果的原因之一。

1 关于试验设计

多元二次回归正交旋转组合设计的结构矩阵虽然不是唯一的，但也基本上是固定不变的，一旦定好因子数目，它的试验设计的结构矩阵也就基本固定了。

按照设计要求，四因子以下的试验均为全实施方案，而五因子以上则可以用1/2实施方案，八因子以上则可用1/4实施方案。这样就存在一个方案选择问题。

直观分析

因素数m 2 3 4 5 5(1/2实施) L4(23) L8(27) L16(215) L32(231) L16(215) 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,15 4 6 16 32 16 4 6 8 10 10 1 1 1 1 1 9 15 25 43 27 6 10 15 21 21 正交表 表头设计 mc mγ=2m m0 N q 正交试验设计

明确试验目的，确定试验指标。

选因素、定水平，列因素水平表 一次回归正交设计

选择合适的正交表

?点试验N?mc?m??m0二次回归正交设计

表头设计 正交性的实现 建

编制方案，实施

回归旋转设计

统计分析

立

回归系数检验 失拟性检方程检验

直观分析 回

归

方差分析 方

2 因子的选择

多元二次回归正交旋转组合设计因子的选择，需要考虑因子本身、组合设计要求和因子编码是否可行等。

从试验目的出发，应选择对目标性状影响大的可控因子或特殊试验目的的因子作为试验因子。例如，小麦栽培体系试验可以考虑将施氮量、旋磷量、播种密度、灌水量、有机肥量、施肥时期、播期、中耕次数、灌水次数、根外喷施微肥浓度、喷施时期、收获时期等因子作为试验因子。 从设计要求出发，象品种、施肥种类等非数值的因子则不能作为试验因子。

对于γ不是整数的组合设计，象灌水次数、中耕次数等则不能作为试验因子，而播期、施肥时间等可将日期转化为天数，根据γ的计算结果可近似取某日期作为试验的，一般来说，实施这类因子不会遇到太大的困难。

进行多元二次回归正交旋转组合设计试验，希望建立良好的回归模型，但有相当一些试验建立的模型达不到显著标准。

? （1）设计本身不设重复，小区数目少，机误自由度小，显著水平高，不易达到显著标准

? 2）因子取值不当：因子取值范围太小，其试验效应往往较小，获得的回归方程就不会显著；因子取值范围太大或最佳点偏离，虽然有时

也会使方程显著，但不可能捕捉到真正的最佳点。

? （3）试验质量不高，导致试验误差增大，使方程达不到显著水平。

因素数m 2 3 4 5 5(1/2实施) L4(23) L8(27) L16(215) L32(231) L16(215) 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,15 4 6 16 32 16 4 6 8 10 10 1 1 1 1 1 9 15 25 43 27 6 10 15 21 21 正交表 表头设计 mc mγ=2m m0 N q 正交试验设计

明确试验目的，确定试验指标。

选因素、定水平，列因素水平表 一次回归正交设计

选择合适的正交表

?点试验N?mc?m??m0二次回归正交设计

表头设计 正交性的实现 建

编制方案，实施

回归旋转设计

统计分析

立

回归系数检验 失拟性检方程检验

直观分析 回

归

方差分析 方

2 因子的选择

多元二次回归正交旋转组合设计因子的选择，需要考虑因子本身、组合设计要求和因子编码是否可行等。

从试验目的出发，应选择对目标性状影响大的可控因子或特殊试验目的的因子作为试验因子。例如，小麦栽培体系试验可以考虑将施氮量、旋磷量、播种密度、灌水量、有机肥量、施肥时期、播期、中耕次数、灌水次数、根外喷施微肥浓度、喷施时期、收获时期等因子作为试验因子。 从设计要求出发，象品种、施肥种类等非数值的因子则不能作为试验因子。

对于γ不是整数的组合设计，象灌水次数、中耕次数等则不能作为试验因子，而播期、施肥时间等可将日期转化为天数，根据γ的计算结果可近似取某日期作为试验的，一般来说，实施这类因子不会遇到太大的困难。

进行多元二次回归正交旋转组合设计试验，希望建立良好的回归模型，但有相当一些试验建立的模型达不到显著标准。

? （1）设计本身不设重复，小区数目少，机误自由度小，显著水平高，不易达到显著标准

? 2）因子取值不当：因子取值范围太小，其试验效应往往较小，获得的回归方程就不会显著；因子取值范围太大或最佳点偏离，虽然有时

也会使方程显著，但不可能捕捉到真正的最佳点。

? （3）试验质量不高，导致试验误差增大，使方程达不到显著水平。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rloo.html