函数单调性练习题
更新时间:2023-08-09 03:41:01 阅读量:1 综合文库 文档下载
函数单调性练习题
函数单调性练习题
1. (1)已知函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a
2
的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞,4],则实数a的取值范围是 .
(3)已知x∈[0,1],则函数 y 2x 的最大值为_______最小值为 2 x_________
2.讨论函数f(x)=
ax1 x
2
(a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.
ax11 x1
2
解:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-
ax21 x2
2
=
a(x1 x2)(1 x1x2)(1 x)(1 x)
21
22
∵x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0,(1-x21)(1-x22)>0 于是,当a>0时,f(x1)<f(x2);当a<0时,f(x1)>f(x2).
故当a>0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a<0时,函数在(-1,1)上为减函数.
3
3.判断函数f(x)=-x+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果x∈(0,+∞),函数f(x)是增函数还是减函数?
4. 已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(x2-1)求x的取值范围.
5.设y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数y=f(2-x)的单调区间.
解:令t ( x ) 2 x , 则由已知得 f (t ) 在t 2 6)上是增函数, ( , t ( x ) 2 x 2 6) 而 ( , x 4 0) (- ,) 2 x 4, 0 ) 上 又t ( x 在x ( 是单减的,
, 由复合函数单调性可知
f ( 2 x ) f [ t ( x )]在 x (-4 , 0)
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6.函数f(x)
A.0 a
ax 1x 212
在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是( )
B.a
12
C.a<-1或a>1 D.a>-2
ax+1a(x+2)+1-2a1-2a
解:f(x)=a.
x+2x+2x+2
1-2a1-2a(1-2a)(x2-x1)
任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)-=x1+2x2+2(x1+2)(x2+2)
ax+1
∵函数f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数,∴f(x1)-f(x2)<0.
x+2
11
∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a. 即实数a的取值范围是 ∞ .
2 2
2
x+4x,x≥0,
7.已知函数f(x)= 若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) 2
4x-x,x<0.
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
22 x+4x=(x+2)-4,x≥0,
解析:f(x)= 由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调22
4x-x=-(x-2)+4,x<0,
递增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.故选C.
+
8.已知f(x)在其定义域R上为增函数,f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),解不等式f(x)+f(x-2) ≤3
f(4) f(2) f(2) 2
f(8) f(4) f(2) 3
2
解: f(xy) f(x) f(y)
f(x)为R上的增函数x 0
x 2 0 x2 2x 8
+
f(x) f(x 2) f(x 2x)又
由题意有f(x 2x) f(8)
2
解得x 2,4
9.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f((1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
(2)当0 < x < y时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f单调减。
(3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f(|x|)<-2 = f(9),且f单调减,所以| x | > 9 x>9或x<-9
x1x2
)=f(x1)-f(x2),且当
x>1时,f(x)<0.
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10.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)设x1,x2∈R,且x1<x2, 则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函数.
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2, 4
4 1,
解得-1<m<故解集为3
3
x11.设f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,f() f(x) f(y)
y
(1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y); (2)设f(2)=1,解不等式f(x) f(
1x 3
) 2。
x
(1)证明:f() f(x) f(y),令x=y=1,则有:f(1)=f(1)-f(1)=0,
y
1
) f(x) f() f(x) [f(1) f(y)] f(x) f(y)。 1yyx
f(xy) f(
(2)解:∵f(x) f(
1x 3
) f(x) [f(1) f(x 3)] f(x) f(x 3) f(x 3x),
2
∵2=2×1=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4), ∴f(x) f(
1x 3
) 2等价于:f(x 3x) f(4)①,
2
且x>0,x-3>0[由f(x)定义域为(0,+∞)可得
∵x(x 3) x 3x 0,4>0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴① x 3x 4 1 x 4。又x>3,∴原不等式解集为:{x|3<x≤4}。 -ax
(a≠1). a-1
(1)若a>0,则f(x)的定义域是________;
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:
12.已知函数f(x)2
2
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33
(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤f(x)的定义域是 -∞,;
aa(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3. 当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时a<0. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 13. 定义在R上的函数y f(x),f(0) 0,当x 0时,f(x) 1,且对任意的a、b R,有f(a b) f(a) f(b). (1)求f(0)的值;(2)求证:对任意的x R,恒有f(x) 0;(3)若f(x) f(2x x2) 1,求x的取值范围.
解:(1)解:令a b 0,则f(0) f2(0). 又f(0) 0,f(0) 1.
(2)证明:当x 0时, x 0,∴f( x) 1 ∵f(0) f(x) f( x) 1,∴
1f( x)
f(x) 又x 0时, f(x) 1 0 ∴对任意的x R,恒有f(x) 0. 0
(3)解:设x1 x2,则x2 x1 0. ∴f(x2 x1) 1. 又f(x1) 0
∴ f(x1) f(x2) f(x1) f[(x2 x1) x1] f(x1) f(x2 x1) f(x1) =f(x1)[1 f(x2 x1)] 0
∴ f(x1) f(x2).∴ f(x)是R上的增函数. 由f(x) f(2x x2) 1,f(0) 1
22
得 f(3x x) f(0).∴ 3x x 0,∴0 x 3∴所求的x的取值范围为(0,3)
2
14.已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3
(1)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)解法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y=0,得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此f(x)在R上是减函数.
解法二:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).
又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
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