小学数学教学育苗指引

一、 列方程解应用题

和倍问题

一个问题中，已知条件是有关数量个和与数量的和与数量之间的倍的关系，这种问题就是和

倍问题。

列方程解和倍问题，可以设问题中的一个未知数量为x，再根据问题中的“和”或“倍”的关系，把其他未知数量用含有x的式子表示，进一步找等量关系列方程。通常根据数量关系中倍的关系，把作为1的数量设为x较好。

例1 图书馆买回来60本文艺书和科普书，其中文艺书的本数是科普书的3倍，文艺书有多少本？

解：问题中数量见的倍的关系为“文艺书的本数是科普书的3倍”，以科普书的本数作为1，可以设科普书有x本，则文艺书有3x本，列方程得：

3x+x=60

解得x=15,3x=3×15=45. 答：文艺书有45本。

例2 一个果园有荔枝、龙眼和芒果这三种果树108棵，其中荔枝的棵树是龙眼的3倍，芒果的棵树是龙眼的2倍，这三种果树各有多少棵？

解：问题中两个倍的关系都是把龙眼的棵树作为1。

设有x棵龙眼，则荔枝有3x棵，芒果有2x棵，列方程得： 3x+x+2x=108

解得x=18 ，3x=3×18=54，2x=2×18=36。

答：荔枝有54棵，龙眼有18棵，芒果有36棵。

例3 一个水池装有甲、乙两排水管，甲管每小时的排水量是乙管的3倍。水池里有16吨水，打开两管5小时能把水排完，甲管每小时排水量多少吨？

解：两管开5小时排16吨水，每小时一共排水（16÷5）吨，这是两管每小时排水量的和。 设乙管每小时排水x吨，则甲管每小时排水为3x吨，列方程得：

3x+x=16÷5

解得x=0.8,3x=3×0.8=2.4. 答：甲管每小时排水2.4吨。

例4 某粮店全天卖出大米、面粉和玉米面11520千克，卖出大米的千克数是面粉的6倍，面粉的千克数是玉米免的5倍，卖出的大米比玉米面多多少千克？

解：设卖出玉米面x千克，则卖出的面粉是5x千克，卖出的大米是6×5x千克，列方程得：

6+5x+5x+x=11520

解得x=320，6×5x=9600,9600—320=9280（千克）。 答：卖出的大米比玉米面多9280千克。

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练习一

1.学校买回来96盒百分比和红粉笔，白粉笔的盒数是红粉笔的5倍，买回来的白粉笔有多少盒？

2.文具店卖出方格簿和练习簿1570本，卖出练习簿的本数比方格簿的3倍多34本。卖出方格簿多少本？

3.一个长方形周长150cm，长是宽的1.5倍，求它的面积。

4.东村和西村相距24千米，家骑自行车从东村王西村，乙从西村步行网东村，甲的速度是乙的3倍，两人同时相向而行，1.5小时相遇。甲骑自行车每小时行多少千米？

5.体育室买来81个篮球、排球和足球，足球个数是篮球的6倍，排球个数是篮球的2倍。排球比足球少多少个？

6.水果店卖出864千克橙、柑和桔，买出柑的千克数是橙的2倍，桔的千克数是柑的3倍，卖出多少千克柑？

7.在一片坡地上种了809棵松树和杉树，其中松树的棵树比杉树的3倍还多5棵，种松树和杉树各多少棵？

8.建筑工地运进砂和碎石111吨，其中沙的吨数比碎石的5倍少3吨，运进沙和碎石各多少吨？

较复杂的和倍问题

有些问题中的数量关系比较复杂但只要恰当地选择未知的数量用字母表示，找出问题中的等量关系列出方程，仍然可以按和倍问题的方法解决。

例1 甲粮仓有510吨大米，乙粮仓有1170吨大米，每天从乙粮仓调30吨大米到甲粮仓，多少天以后甲粮仓大米的吨数是乙粮仓的6倍？

解：从乙粮仓调大米到甲粮仓后两粮仓存有的大米总吨数不变，可以按照最后甲、乙粮仓的倍的关系求出乙粮仓有大米的吨数，再求出调运的天数。

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设甲粮仓大米吨数是乙粮仓的6倍是，乙粮仓有大米x吨，则甲粮仓有大米6x吨，列方程得：

x+6x=510+1170

解得x=240，调运的天数是：（1170-240）÷30=31（天）。 答：31天以后甲粮仓大米的吨数是乙粮仓的6倍。

例2 图书馆买回来故事书、科普书和连环画236本，如果故事书增加10本，就是科普书本数的2倍，科普书减少12本，就是连环画本数的一半，买回来的故事书有多少本？

解：设买回来的科普书有x本，故事书增加10本是科普书的2倍，就是故事书有（2x-10）本，科普书减少12本是连环画本数的一半，就是连环画有2（x-12）本，列方程得：

x+ (2x-10)+2(x-12)=236

解得x=54，2x-10=2×54-10=98. 答：买回来的故事书有98本。

例3 甲数与乙数的和是30，甲数的8倍与乙数的3倍的和是160.甲数、乙数各是多少？ 解：设甲数是x，则乙数是30-x，列方程得： 8x+3(30-x)=160

解方程式得x=14,30-x=30-14=16. 答：甲数是14，乙数是16.

例4 甲站和乙站相距299千米，一辆大客车从甲站开往乙站，1.5小时后一辆小轿车从乙站开往甲站，行驶速度是客车的3倍，小轿车行驶2.5小时遇见大客车，小轿车每小时行多少千米？

解：设大客车每小时行x千米，则小轿车每小时行3x千米，列方程得：

1.5x+（x+3x）×2.5=299

解方程得=26,3x=3×26=78

答：小轿车每小时行78千米。

练习二

1.第一车间有134个职工，第二车间有109个职工，由于生产需要从第一车间调了一批职工到第二车间，，使第二车间职工人数是第一车间的2倍，第一车间调了多少个职工到第二车间？

2.甲车场有89辆汽车，乙车场有46辆汽车，每天甲车场有23辆汽车开往乙车场，乙车场有122辆汽车开往甲车场，多少天以后乙车场汽车的辆数十甲车场的2倍？

3.四、五、六年级同学为学校搬砖，一共搬了507块，其中六年级搬的块数增加80块就是五年级搬的3倍，四年级搬的块数减少20块就是五年级搬的块数的一半，四年级搬了多少块砖？

4.学校花圃运来92棵茉莉、玫瑰和桂花，种了一半的茉莉，2棵玫瑰，又运来6棵桂花，这时还未种的棵树同样多，原来运了多少棵茉莉？

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5.有两块长方形地，第一块地的周长是90米，第二块地的长时第一块地长的3倍，第二块地的宽是第一块地的宽的4倍，第二块地的周长是304米。第一块地的长、宽各是多少米？

6.甲、乙两工程队合挖一条639米长的水渠，甲队先挖3天，甲、乙两队再合挖13天完成，乙队每天挖的米数是甲队的1.5倍。甲队、乙队各挖了多少米？

差倍问题

一个问题的已知条件是有关数量的差与数量之间的倍的关系，这种问题就是差倍问题。 列方程解差倍问题，可以吧问题中的一个未知数量用x表示，再根据问题中的“差”或“倍”的关系，把其他未知数量用含有x 的式子表示，再找出数量之间的等量关系列方程。在设未知数x时，通常把倍的关系中作为1的数量设为x较好。

例1 一张办公桌的价钱是一把椅子的4倍，办公桌的定价比椅子贵138元，一张办公桌的价钱是多少钱？

解：设一把椅子的价钱是x元，则一张办公桌的价钱是4x元，列方程得： 4x－x=138 解得x46,4x=4×46=184。

答：一张办公桌的价钱是184元。

例2 一个书柜下层放的书的本数是上层的3倍，如果从下层取43本数放到上层，两层的书的本数相同，这个书柜一共方有多少本书？

解：设上层放有x本书，则下层放有3x本书，这个书柜一共放有（x＋3x）本书，列方程得：

3x－43=x＋43

解得x=43,x＋3x=4×43=172.

答：这个书柜一共放有172本书。

例3 水果店购进的一批西瓜，分三天售完，其中第一天售出的千克数是第二天的2倍，第二天售出的千克数是第三天的1.5倍 ，第三天售出的比第一天少88千克，这批西瓜共有多少千克？

解：设第三天售出x千克，则第二天售出的事1.5x千克，第一天售出的事2×1.5x千克。列方程得：

2×1.5x－x=88

解得x=44，这批西瓜共有2×1.5×44+1.5×44+44=242（千克）。 答：这批西瓜共有242千克。

例4 有对黑棋子和白棋子，其中黑棋子的个数是白棋子的3倍，每次取走相同的个数的黑棋子和白棋子，取了若干次后，白棋子还剩8个，黑棋子还剩94个，原来这堆棋子中 多少个黑棋子?

解：每次取走的黑棋子和白棋子的个数相同，取若干次后，取走的黑棋子和白棋子个数相等。 设原有白棋子x个，则黑棋子有3x个，列方程得：

3x－94=x－8

解得x=43，3x=3×43=129.

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答：原来这堆棋子中有黑棋子129个。

练习三

1.水果店运进一批西瓜和菠萝，其中西瓜的千克数是菠萝的5倍，西瓜比菠萝多680千克，运进的西瓜有多少千克？

2.一辆客车和一辆货车同时从同一车站往同一方向开出，客车行驶速度是货车的1.5倍，2.5小时后，货车在客车后面45千米处，客车每小时行多少千米？

3.一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两城开出，相向而行，两车在距甲、乙两城路程重点21千米处相遇，已知客车行驶的速度是货车的1.5倍，甲、乙两城相距多少千米？

4.甲、乙二人各有同样多的画片，甲送12张画片给乙后，乙的画片数量是甲的4倍，原来甲有多少张画片？

5.甲、乙二人各有同样多的钱，甲每月节余250元，乙每月节余120月，18个月后甲存有的钱是乙的2倍，原来甲存有多少钱？

6.四、五、六年级同学在植树节到公园种树，六年级种树棵树是五年级的2倍，五年级种树棵数是四年级的1.5倍，六年级比四年级多种了64棵树，四、五、六年级一共种了多少棵树？

较复杂的差倍问题

有些差倍问题数量关系比较复杂，在解决问题时要从条件出发分析它们的数量关系，找出隐含的“差”、“倍”的关系，把适当的未知数量用x表示。

例1 有两根同样长的绳子，第一根绳子剪去10米，第二根绳子剪去28米，第一根绳子剩下的长度是第二根的4倍。原来两根绳子一共有多少米？

解：原来两根绳子同样长，剪的多，剩的就少。设原来两根绳子各有x米，列方程得：

x－10=4（x－28）

解方程得x=34,原来两根绳子一共长2×34=68（米0. 答：原来两根绳子一共长68米。

例2 A水池有168吨水，B水池有92吨水，两水池每小时都排出2吨水，多少小时后，A水池水的吨数是B水池的3倍？

解：两水池排出的水量相同，两水池剩下水量的差与原来有水量的差相同。设x小时后A水池水的吨数是B水池的3倍。列方程得：

168－2x=3（92-2x0

解得x=27。

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答：27小时后，A水池水的吨数是B水池的3倍。 例3 有甲、乙两个数，甲数减乙数差是6，甲数除以乙数商也是6，甲、乙两个数各是多少？ 解：甲数除以乙数商是6，也就是甲数是乙数的6倍，设乙数为x，则甲数是6x，列方程得：

6x-x=6

解得x=1.2,6x=6×1.2=7.2. 答:甲数是7.2，乙数是1.2.

例4 河里和河边各有一群鸭子，如果河里的鸭子有28只跑上河边，两群鸭子的只数相同；如果河边的鸭子有28只跑下河里，则河里鸭子的只数是河边的3倍。原来河里和河边各有多少只鸭子？

解：河里28只鸭子跑上河边，两群鸭子只数相同，说明原来河里的鸭子比河边多28×2=56（只），设原来河边有x只鸭子，则原来河里有（x＋56）只鸭子，列方程得：

3(x－28)=x＋56＋28

解得x=84,x＋56=84＋56=140.

答：原来河里有140只鸭子，河边有84只鸭子。

练习四

1.在操场上活动的男生有67人，女生有31人，男、女生有同样多人离开操场后，还在操场的男生人数是女生人数的4倍。离开操场的男、女生一共有多少人？

2.小张和小李各带了同样多的钱去超市，小张购物付款28元，小李购物付款64元，小张剩下的钱是小李的5倍，小张剩下多少钱？

3.甲粮仓原有1110吨大米，乙粮仓原有510吨大米，每天两粮仓都运出24吨大米，多少天后，甲粮仓剩下的大米吨数是乙粮仓的5倍？

4.煤场上甲、乙两堆煤都各有232吨，每天从甲堆运走28吨煤，从一堆运走20吨煤，多少天后乙堆剩下的煤是甲堆的9倍？

5.甲数减乙数差是3.5，甲数除以乙数，商也是3.5.甲数加乙数，和是多少？

6.甲数比乙数大5，甲数的3倍比乙数的5倍答9，甲数是几？

7.一个书柜上、下两层都放有书，如果从上层区15本放到下层，上、下两层数的本数相同；如果从下层取15本书放到上层，上层的本数就是下层的2倍。上、下两层共有多少本书？

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变倍问题

有些问题的数量之间有一定的“倍”的关系，数量变化了，“倍”的关系也发生变化，并且前后的“倍”的关系以不同的数量作为1，我们把这种问题叫做变倍问题，在列方程解变倍问题是，可以按其中一个“倍” 的关系吧作为1 的未知数量用x表示，再根据数量与“倍”的变化找出相等的关系列出方程。

例1 水果店购进一批荔枝核龙眼，购进荔枝的千克数是龙眼的3倍，荔枝核龙眼各售出80千克后，剩下的荔枝的千克数是龙眼的5倍。剩下荔枝核龙眼各多少千克？

解：设购进龙眼x千克，则购进荔枝为3x千克，各售出80千克后，剩下的龙眼（x－80）千克，剩下荔枝（3x－80）千克。列方程得;

5(x－80)=3x－80

解得x=160，x80=160－80=80，3x-80=3×160-80=400. 答：剩下荔枝400千克，剩下龙眼80千克。

例2 张华和李强各带了一些钱一起去书店，看中了一本定价20元的书，决定合买一本，先由一人付款。如果张华付款，付款后李强的钱是张华的1.5倍；如果李强付款，付款后张华的钱是李强的2倍。张华和李强原来各带了多少钱？

解：设张华原来带的钱是x元，由张华付款后李强的钱是张华的1.5倍，得李强原来带的钱是1.5（x-20）=（1.5x-30）元，列方程得：

2（1.5x－30－20）=x

解得x=50,1.5x-30=1.5×50-30=45元。

答：张华原来带了50元，李强原来带了45元。

例3 黄力平和卢志勇都注意节约，把剩余的零用钱积存下来，黄力平原来存有42元，卢志勇原来存有29元，黄力平每天节余4元，卢志勇每天节余1.8元，这样多少天后黄力平及存档钱是卢志勇的2倍？

解：设x天后黄力平积存的钱是卢志勇的2倍，列方程得：

42＋4x=2（29＋1.8x）

解得x=40.

答：40天后黄力平积存的钱是卢志勇的2倍。

例4 有一包巧克力和奶糖，吃了10块巧克力后，奶糖块数是巧克力的2倍；再吃了45块奶糖后，巧克力的块数是奶糖的2倍，原来这包巧克力和奶糖共有多少块？

解：设原来有x块巧克力，则奶糖有2（x－10）=(2x－20)块，列方程得：

2（2x－20－45）=x－10

解得x=40，2x－20=2×40-20=60，原来巧克力和奶糖共有40＋60=100（块）. 答：原来这包巧克力和奶糖共有100块。

例5 一个果园的荔枝树去年为结果的棵树是结果的3倍，今年结果的荔枝树增加了15棵，今年不结果的棵树比结果的2倍少21棵，这个果园有多少棵荔枝树？

解：今年结果的增加了15棵，不结果的就减少15棵。设去年结果的又x棵，则不结果的有3x棵，今年结果的有（x＋15）棵，不结果的有（3x－15）棵，列方程得：

2（x＋15）－21=3x－15

解得x=24，这个果园有荔枝树24＋3×24=96（棵）。 答：这个果园有96棵荔枝树。

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练习五

1.建筑工地上原有沙的吨数是碎石的5倍，运进沙河碎石个8吨后，沙的吨数是碎石的3倍，原有沙和碎石各多少吨？

2.甲、乙两水池中都有一些水，乙水池中水的吨数是甲水池中的水的7倍，每小时甲 、乙两水池都挂您0.8吨水，5小时后，乙水池中水的吨数是甲水池中的水的4倍。这时乙水池有多少吨水？

3.赵亮和孙小虎一起吃雪糕，共要付10元，先由一人付钱，如果赵亮付钱，付钱后孙小虎的钱是赵亮的1.25倍；如果孙小虎付钱，付钱后赵亮的钱是孙小虎的2倍。两人带的钱各是多少元？

4.机耕队要耕甲、乙两块地，甲地有6.7公顷，用大拖拉机每小时耕0.8公顷，乙地有1.7公顷，用小拖拉机耕乙地，每小时耕0.2公顷，两拖拉机同时开始耕，经过多少小时，甲地剩下未耕地面积是乙地的3倍？

5.甲水池中有28吨水，乙水池中有6吨水，每小时向甲水池灌进1.9吨水，向乙水池灌进0.6吨水，经过多少小时，甲水池中水的吨数是乙水池中水的4倍？

6.在阅览室的女生有4人离开后，男生的人数是女生的1.5倍；又有24个男生离开后，女生人数是男生的2倍。原来一共有多少个男生和女生在阅览室？

7.小聪借来一本小说，看了2天后，未看的页数是已看页数的3倍，又看了24页后，未看的页数是已看页数的1.4倍，这本小说有多少页？

8.小芬原有画片张数是小芳的2倍，小芬送了20张画片给小朋友，小芳又买了8张画片，这时小芳的画片张数比小芬的2倍少9张，原来小芬和小芳各有多少张画片？

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二、问题解决

环形路上的行程问题

行走的线路是封闭的（例如圆形、多边形等），这样的线路叫做环形路，在一段直路上往返行走，也可以看作是在环形路上行走。在环形路上行走，速度、时间和路程间的关系与在两点间行走大致相同，但在环形路上，两人（或车等）同时在同一点出发反向而行，没相遇一次，两人（或车等）合行了环形的一圈，两人（或车等）同时在同一点出发同向而行，每当行得快的追上慢的一次，快的比慢的多行了环形的一圈。

例1 一片草坪边有一条环形路，甲乙。二人在一条环形路上练习跑步，甲每分钟跑210米，乙每分钟跑180米，二人同时同地出发，背向而跑，4分钟相遇。如果二人同时同地出发同向而跑，甲多少分钟第一次追上乙？

解：二人同时同地出发背向而行跑4分钟相遇，就是二人用4分钟跑了环形路的一圈，环形路一圈的长是：（210＋180）×4=1560（米）；二人同时同地出发同向而跑，甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈的路，用的时间是1560÷（210180）=52（分）。

答：甲52分钟第一次追上乙。

例2 甲、乙、丙三人在长2970米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲背向而走，甲每分钟走90米，乙每分钟走80米，丙在距离乙180米出遇见甲。丙每分钟走多少米？

解：甲、乙二人同时、同地出发，同向而走，丙在距离乙180米处遇见甲，说明乙落后于甲180米，所以丙与甲相遇时，三人出发后已走的时间是：180÷（90-80）=18(分),这段时间甲走的路是90×18=1620（米），丙走的路是：2970-1620=1350（米），丙每分钟走1350÷18=75（米）。

答：丙每分钟走75米。

例3 甲、乙二让人在400米环形跑道上的同一点同时出发，背向而跑，两人相遇后，乙立即回头跑，并把速度提高到原来的1.4倍，甲、乙二人同时回到出发点之后甲立即回头跑，并把速度提高到原速的1.5倍。问甲从出发到二人再次相遇，一共跑了多少米？

解：甲、乙二人第一次相遇后一回头提高速度与甲同时回到出发点，跑这段路二人速度相同，甲回头跑速度提高到原来的1.5倍，这时甲的速度也是乙的1.5倍，甲回头跑第二圈跑的路程是400÷（1+1.5）×1.5=240（米），甲从出发到二人第二次相遇一共跑了400+240=640（米）。

答：甲一共跑了640米。

例4 一个湖的湖边有一条小路环绕，小志从小路的A点， 小华从小路的B点同时出发，背向而行走（如右图），经9分钟 二人相遇，再过6分钟小志走到B点；再过12分钟，二人再次 相遇，小志的这条小路绕湖边走一圈要多少分钟？

解：设二人第一次相遇点是C点，小华从B点到C点走9分钟，小志从C点到B点走6分钟，就是说小华9分钟走的路小志只要走6分钟。

二人从第一次相遇到第二次相遇，合走了一圈，用的时间是6+12=18（分），而小华走18分钟所走的路，小志用的时间只是18÷9×6=12（分），所以小志绕湖边走一圈的时间是18＋12=30（分）。

答：小志在这条小路绕湖边走一圈要30分钟。

例5 一个游泳池长50米，甲、乙二人在两端同时开始往返游泳，甲每分钟游1.6米，乙每分钟游1.4米，游了10分钟，两人迎面相遇多少次？

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解：在游泳池两端往返一次相当于在100米（50×2）的环形路游了一 圈（如右图所示），第1次各在一端同时出发，游半圈（一个池长）相遇， 以后每圈（二个池长）相遇一次。甲、乙二人10分钟一共游了：（1.6＋1.5）×10×60=1800（米），合池长的个数为1800÷50=36（个），在奇数（1,3,5，??33,35）个时相遇，两人相遇18次。

答：两人迎面相遇18次。

练习一

1.甲、乙二人在一个环形道路上练习跑步，甲每分钟跑195米，乙每分钟跑225米，两人同时同地出发，同向而跑，乙跑28分钟追上甲；如果两人同时同地出发，，背向而跑，多少分钟相遇？

2.甲、乙、丙三人在一条环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，丙走12分钟遇见甲再过1.2分钟遇见乙。已知甲每分钟走75米，乙每分钟走60米，那么这条环形路长多少米？

3.甲、乙、丙三人在一环形公路上进行骑自行车的练习，三人同同时在同一地点出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而行，丙遇见乙1.6分钟后遇见甲。已知甲每分钟行195米，乙每分钟行225米，丙每分钟行180米。这一环形公路一圈有多少米？

4.甲、乙二人在450米的环形跑道的同一点同时出发，背向而走，相遇后甲立即回头走，并把速度提高到原来的1.5倍，二人同时回到出发点，此后甲立即回头跑，并把速度提高到原来的1.25倍。问从出发到二人再次相遇，甲一共跑了多少米？

D C 5.右图ABCD是正方形的环形道路，甲、乙二人同时从A点出发， 反向行走，甲的速度是乙的2倍，二人在CD边上距D点2150米出第 一次相遇。这时甲走了多少米？ 乙 A B 甲 6.甲、乙两只爬虫在周长1米的一共圆上的同一点同时出发，绕圆周同向爬行，甲以3㎝/秒的速度不断爬行，乙爬行2㎝后立即回头，并把速度提高1倍，爬行，在例出发点40㎝处于甲迎面相遇，乙在开始时爬行的速度是多少㎝/秒？

甲 7.在一条环形路上，甲从A点，乙从B点同时出发，背向而走 A （如右图），经过16分钟二人相遇，再过12分钟，甲走到B点；再 过20分钟，二人第二次相遇。甲走这条环形路的一个圈要多少分钟？ B 乙

8.东村和西村相距1200 米，甲从东村起跑，每分钟跑4.8米，乙从西村起跑，每分钟跑4.5米，同时开始，在东村和西村往返练习跑步跑12分钟，两人相遇多少次

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复杂的平均数问题

平均数问题的题目经常会演变为借助先求几个数的总数量及数的个数，求其中一个数，或已知总和及平均数，求数的个数。即：

平均数×数的个数=几个数的总数量 几个数的总数量÷平均数=数的个数

例1 有五个数它们的平均数是60 。如果把这五个数按从大到小的顺序排列，那么前三个数的平均数是70，后三个数的平均数是50。求中间这个数是多少？

解法分析：假设这五个数从大到小的顺序排列为A、B、C、D、E。那么有：

A＋B＋C＋D＋E=60×5=300 ?? ① A＋B＋C=70×3=210 ?? ② C＋D＋E=50×3=150 ?? ③

如果把②加上③。我们可得：

A＋B＋2C＋D＋E=210＋150=360

比五个数的和多了一个C（即中间这个数），所以用360－300=60,60为中间这个数。 解： 70×3＋50×3－60×5 =210＋150－300 =60

答：中间这个数是60.

指引：本例题是借助和运用了“重叠问题“解法，抓住平均数问题的基本公式的逆向应用，先求出几个总数量，然后根据前三个数的总数量与后三个数的总数量的和多了一个中间那个数，从求得答案。

我们可以用示意图表达题意，寻求解题途径： 前3数平均70

后3数的平均50

5数平均60

从图中可以清楚看出，中间这个数正好在前3个数与后3个数的重叠处，从而可以顺利地找到解决问题 突破口，求得答案。

例2 小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想在下次语文测验后看，把这次 平均成绩提高到70分以上（含70分），那么在下次测验中，他至少要得多少分？ （选自《第三届华杯赛初赛题》）

解法分析一：这是求平均数问题的逆向题，这类题通常可以从计算两个总分入手。先根据前四次的平均分求出前四次的总分，先根据测了第五次后想得到的平均分求出五次的总分，两次总分的差就是第五次测验至少要得的分。

解： 70×50－68×4 =350－272 =78（分）

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答：他至少要得78分才能使无敌测验的平均分提高到70分以上。

解法分析二：本例题还可以这样想，前四次的平均分比五次平均分少了2分，（70－68），所以第五次测验除了保证本次的70分外，还应多拿平均分给前四次的8分（2×4），所以第五次至少要得78分（70＋8），才能平均分提高到70分以上。

解： 70＋（70－68）×4 =70＋2×4 =78（分）

答：他至少要得78分才能把五次测验的平均分提高到70分以上。

指引：两种解法中第一种解法是基本解法，依据求平均数的基本数量关系的逆向关系： 平均数×总份数=总数量 先求出两个总数量，再求答案。

第二种解法则是应用“移多补少”(即“补差法”)的思路求解。

例3 有5个数的平均数是54，小英在计算这5个数的平均数时把其中一个数看错成了84，求出的平均数是64 ，求原来那个数是多少？

解法分析一：先求出这5个数的总数量增加了多少，总数量增加的多少，实质就是把该数看错成84计算时比原来多算的数值，这样我们就可以求出原来这个数了。

解： ① 64×5－54×5 =320－270 =50

② 84－50=34

答：原来这个数是34.

指引：本例是利用两个总数量的差与错看成的数比较的方法进行求解的。一般说错看一个数后平均数提高了，则原来的数比错看成的数小；若错看一个数后平均数降低了。则原来的数比错看成的数大。

例4 五（1）班数学考试平均成绩是91.5分，事后发现计算平均成绩时将其中一个学生的98分误作89分计算了，经重新计算后，全班的平均成绩是97.7分，问五（1）有多少名学生？

解：设五（1）版有x名学生。 91.7x－91.5x=98－89 (91.7－91.5)x=9

0.2x=9

x=9÷0.2 x=45

答：五（1）班有45名学生。

指引：除了列方程求解之外，我们还可以这样想，这名学生前后两个分数的差里包含有多少个两个总分数之差，就是有多少位学生。所以列出算式是：

（98－89）÷（91.7－91.5） =9÷0.2 =45（名）

练习二

1. 数学成绩公布前，英子四门功课的成绩提高了2分，求英子的数学考了多少分？

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2.幼儿园里有五个小朋友，五人的体重平均数是24千克，每次选出四个小朋友算出他们体重的平均数分别是20千克，25千克，21千克，26千克和22千克。问这五个小朋友的平均体重是多少千克？

3.气味老人的平均年龄是72岁，较大的四位老人的 平均年龄是80岁，较小的四位老人的平均年龄是65岁。求这七位老人中居中的事多少岁？

4.两组学生进行跳绳比赛，平均每人每分钟跳152次，甲组有学生9人，平均每人每分钟跳160次，如果乙组学生平均每人跳140次，那么乙组有学生多少人？

5.张勇前九次打靶的平均成绩是7.8换，第十次打靶至少要得多少环才能把平均成绩提高到8环以上？

6.把1.2,3.7,6.5,2.9,4.6分别填在下图5个○中，再在每个□钟跳上和它相连的三个○中的平均数，再把三个□中的数的平均数填在△ 中，找出一种填法，使△的数尽可能小，那么△中填的数的多少？

（选自第一届华杯赛决赛试题）

归一问题

归一问题是常见的一种典型应用题，它是关于已知两个相关联的量，其中一个量变化，另一个量也随之发生同样的变化的应用题。解答这类问题的关键是：往往要根据已知的两个相关联的量求出：“单一量“（也称单位数量）之后，再根据题目要求求出答案。这类问题的特点是”单一量“一定（不变），例如单价、速度、单位面积产量、工效等都称为”单一量“。

根据题目中的数量关系的分析归纳，可分为“直进归一问题“和返回归一问题”两类。“直进归一问题”是先求“单一量”后再求出总量，“返回归一问题”是先求“单一量”后再求总量里包含几个“单一量”。

例1 张师傅上午工作4小时，加工零件600个。下午又工作 3.5小时，照这样计算，这一

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天他一共加工零件多少个？

解法分析：根据题意我们可以先求出张师傅的工作效率（也就是“单一量”），然后再求出张师傅工作一天共车制2零件数。

解： 600÷4×（4＋3.5） 或 600÷4×3.5＋600 =600÷4×7.5 =150×3.5＋600 =150×7.5 =525

=1125（个） =1125（个） 答：张师傅一天工加工零件1125个。 指引：这个立体属于“直进归一”，先根据题目中相关联的一组条件用除法求出“单一量”，再利用求出的“单一量”求出题目要求的总量。

例2 一台铺路机3小时铺路162米。照这样计算，2台铺路机9小时共铺路多少米？ 解法分析：根据题意我们可先求出一台铺路机1小时铺路的米数（用除法求“单一量”），然后求1台铺路机9小时铺路米数，最后2台铺路机9小时铺路总米数。 解： 162÷3×9×2 =54×9×2 =486×2 972（米）

答：2台铺路机9小时共铺路972米。

指引：本例的解法按照归一问题的基本思路，先求出“单一量”，再求总数量。我们还可以这样想，1台铺路机3小时铺路162米，9小时包含3个3小时，即可求出1台铺路机9小时铺路米数：162×（9÷3）×2=486（米），再求2台9小时铺路总米数。

解法二： 162×（9÷3）×2 =162×3×2

=486×2 =972（米）

例3 小英家门口的小路长27米，她把自己养的一只乌龟放在小路一端让它在小路上爬行，测得乌龟5分钟爬了36分米。请你帮小英算一算，照这样计算，乌龟从小路的这一端爬到另一端需多少分？

解法分析：根据题目中给出的一组相关联的量“5分钟爬行了36分米”可先求出乌龟的速度（“单一量”），再根据求出的速度和题目中的路程（27米），求驱鬼爬完这条小路需多少分钟。

解： 27＝270分米

270÷（36÷5）

=270÷7.2 =37.5（分）

答：乌龟爬完这条小路需37.5分。 指引：这个例题属于“返回归一问题”。先求出“单一量”（乌龟的爬行速度—），再求出总量中包含几个“单一量”（爬婉全程所需的时间）。

我们还可以这样想，27米里包含有几个36分米，爬完全程所需的时间就是几个5分钟。即： 5×（270÷36） =5×7.5 =37.5(分)

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因此，归一问题的解题关键是先用除法求出“单一量”，但有时也可以观察题目给出的条件，寻求其它的解题方法。

例4 我们把例3 中的问题改为“乌龟再过几分钟才能爬到小路的另一端？” 解法分析：先求乌龟爬行的速度（“单一量”），再求还要爬行的路程，最后求再过几分钟能爬到小路的另一端。

解： 27米=270分米

（270－36）÷（36÷5） =234÷7.2 =32.5（分）

答：再过32.5分钟才能爬到小路的另一端。

指引：本例题仍是返回归一问题，所以应先求“单一量”，题目改变问题后是问“再过几分钟”，所以第二步求“总量里包含几个单一量”，中的“总量”不再是“全路程”，而是“还剩的路程”了，记（270－36）分米。但也可以求出爬全程所需时间后再求“再需几分”，即37.5－5=32.5（分）。

练习三

1.用同样的方砖铺地，24平方米需用96快，如果再铺40平方米，一共需用方砖多少块？

2.某工人要生产零件400个，前三天已经完成了126个的任务。照这样计算，这个工人再做7天可以完成任务吗？

3.某小学为六·一儿童节的游艺会准备奖品共180分，共花了450元。后来又添了一些奖品多花了150元，题目一共准备了多少份奖品？

4.1台压路机4天压路260米，照这样计算，用同样的3台压路机工作15天共可以压路多少米？

5.用同样大小的方砖铺地，铺32平方米共用了200快。如果铺100平方米，需增加多少块？

6.从甲城到乙城公路全长280千米，一辆小车从甲城开往乙城，前2小时走了160千米。照这样计算，还要多少小时能够到达乙城？

7.一根木料，锯成3段，所需时间是6分钟，如果锯成9段，需要多少分钟？

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