浅谈反证法在中学数学中的应用

论文提要

反证法是数学中应用广泛的一种重要的间接证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。法国数学家阿达玛说过，“这种证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。

反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。它以其独特的思维方式和证明方法对培养学生的逻辑思维和创造性思维有着重大的意义。在现代数学中，反证法已经成为了最有效的解决数学问题的方法之一。本文主要从反证法的概念、依据、使用方法、优点、适合解的题型和应用举例六个方面浅谈反证法。

浅谈反证法在中学数学中的应用

李雪

摘 要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、如何使用反证法、反证法的优点、反证法适合解的题型和反证法的应用举例六个方面浅谈反证法。

关键词：反证法 证明 矛盾 应用

反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。

一、什么是反证法？

反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设 而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

阿达玛(Hadamard)如是评价反证法：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。 所以，反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

二、反证法的依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是 逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

三、如何使用反证法？

通常模式为：“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：

1

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，穷举：列举出在反设下可能出现的各种情况；

第三步，归谬：把第二步所列举的各种可能情况一一引向矛盾（包括与公理、定义、定

理、题设或临时的假设矛盾）；

第四步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

四、为什么要用反证法

一般若能正方向证出我们所需，我们就没必要反向考虑。所以，反证法的应用一般在于我们正向难以得出我们想要的结论。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。反证法证明前都假设“若??成立，则??”，无形中给我们加了一个条件，我们只需导出矛盾所在即可。所以反证法最大的优点在于：减轻了题目难度，并且有可能将逆向思维转为顺向。

五、反证法适合解的题型

本文展示了反正法应用的技巧性和灵活性，但反证法和其他方法一样都不是万能的，有自身的局限性和使用范围。反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考。

六、反证法的应用

例1、已知a, b, c都是正数，求证：a?证明：不妨设a? a?11b,b?1c1,c?1a1b,b?1c,c?1a中至少有一个不小于2。

全部小于2，

1?2，

bca

由于a,b,c是任意的正数，可以令a?b?c?10,

?2，b??2，c? 则我们有：a?1b?b?1c?c?1a?10.1 显然矛盾。 1b,b?1c,c?1a 所以，假设错误，原命题成立。a?中至少有一个不小于2

【简评】由于本题直接上手证明三者至少有一个不小于2，虽然结论显然，但说理困难，所

以利用反证法，写出问题的逆否命题再来否定问题的否命题是错误的，变得容易很多。

例2、用反证法证明命题“若a,b∈N，ab能被5整除，则a,b中至少有一个能被5整除”。

证明：不妨设 a,b都不能被5整除

即a,b都没有因数5，那么由于ab?a?b,

我们得出ab没有因数5，则ab不能被5整除。矛盾！

所以，假设错误，原命题成立。a,b中至少有一个能被5整除。

【简评】本题直接要求用反证法证明，无需考虑正方向证明，直接写出否命题即可。全部否

定，使a,b都不能整出5，显然能由结论推出条件是矛盾的，本题得解。 例3、用反证法证明：有理数与无理数的和一定是无理数。

证明：不妨设，a为有理数，b为无理数。令a?b?c为有理数。

2

则由于b?c?a，且a,c都是有理数，那么b亦是有理数。矛盾！

所以，假设错误，原命题成立。 即有理数与无理数的和一定是无理数。

【简评】本题亦是要求直接反证法证明，直接写出否命题。我们知道2个有理数的和差积商

都是有理数，能推出我们假设的是错误的，继而得出正确结论。 例4、已知方程ax2?bx?c?0，且a,b,c都是奇数，求证方程没有整数根。

证明：不妨设方程有整数根x，那么：

情况1：若x为奇数，又a,b,c都是奇数，

那么ax2 是奇数，bx是奇数，c是奇数，ax2?bx?c是奇数，所以其

不为0，与原条件矛盾！ 情况2：若x为偶数，又a,b,c都是奇数，那么ax2 是奇数，bx是奇数，c是奇数，ax2?bx?c是奇数，所以其不为0，亦与原条件矛盾！

综上，x既不为奇数又不为偶数，则x不是整数。所以，方程没有整数根。 【简评】正向解题几乎无从下手，于是想到反证法，将结论作为条件，相当于知道了所有的

事实，我们再从事实退其他的结论，最后得出想要的矛盾，这也是反证法的精髓所 在。本题利用反证法简单而且快速的解决问题，实在是爽快。 例5、证明2不是有理数，即2是无理数。

证明：假设2是有理数，则存在a,b?N且a,b互质，使2=a/b,则a2?2b2， 从而a为偶数，记为a?2c，则a2?4c2，则2c2?b2，则b也是偶数。 由a,b均为偶数与a,b互质矛盾，故2是无理数。

【简评】很平常的结论2是无理数，我们都很熟悉，是一个两个直角边为1的等腰直角三

角形的斜边长度，希巴斯因为发现无理数的存在，甚至为了这个真理死亡。但在证明是无理数的时候，正向证明却让人手足无措，于是，反证法更能突显其增加了一个条件而使解决问题的优势大于正向。

例6、在?ABC中，如果?C是直角，那么?B一定是锐角。

证明：假设 ?B不是锐角

情况一：?B是直角，则?B+?C=180，与?A+?B+?C=180矛盾，

故假设不成立；

情况二：?B是钝角，则?A+?B+?C?180，与?A+?B+?C=180矛盾，

故假设不成立；

综上所述，在?ABC中，如果?C是直角，那么?B一定是锐角命题成立。 【简评】显然命题的结论是正确的，但直接证明是比较困难的，而用反证法就容易证明。因

为?B不是锐角有两种情况，即?B为直角或钝角，必须对两种情况均加以否定，才能证明?B一定是锐角。由此，在运用反证法证明命题中，如果命题的反面不止一个，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确。

????七、总结

反证法就是从否定命题的结论入手，并把结论的否定作为已知条件进行正确的推理论证，证明出矛盾的原因是假设不成立，从而证明出了原命题成立。在应用反证法证明问题时，必须按照“反设——穷举——归谬——结论”的思路进行，正难则反，直接的思路较抽象较困难时，其反面就会较具体较容易，它不仅能体现出证明者的智慧，还能体现出数学的概括性和美丽！只要我们正确熟练运用，就能做到精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨，提高数学解题能力和逻辑思维能力，做一名数学高手！

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参考文献：

[1] 欧阳维城：初等数学解题方法研究，湖南教育出版社，1998年第二版。

[2] 龙朝阳：反证法的理论基础与适用范围，安抚师范高等专科学校学报，1999年版。 [3] 叶永艺：正难则反，从反面考虑问题。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rlbt.html