北师大版 必修1 幂函数 第一课时 函数的奇偶性

函数的奇偶性

y

0

x

2 观察函数 x 11 图象分别如下图 (1)、(2)所示，说说它们的特征.

f ( x) x 1, f ( x) 2

2

探究：已知： 1.f(x)= |x| 2.g(x)=x4+x2+3 3. h(x)= x2+2 求f(-x) 求g(-x) 求h(-x)

解 ： 1. f(-x)= |-x|= |x| 归纳：如果对于函数y=f(x)的定义域内 2. g(-x)=x4+x2+3 的任何一个x,都有f(-x)=f(x),则这个函 数叫做偶函数 3. h(-x)= x2+2

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？

f(-3)=-3=-f(3) f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-2)=-1/2=-f(2) 归纳：如果对于函数y=f(x)的定义域内 f(-1)=-1=-f(1) f(-1)=-1=-f(1) 的任何一个x,都有f(-x)=-f(x),则这个函 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 数叫做奇函数 我们称函数y=x为奇函数.

注意：

1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x,则 -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称).

3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.

若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.问题：若f(x)为奇函数，且在x=0处有意义，你 能求出f(0)吗？ 5.若奇函数在x=0处有意义，则一定过原点。

6.按照奇偶性的不同，函数可以划分为

奇函数偶函数 既是奇函数，又是偶函数 非奇非偶函数

例5、判断下列函数的奇偶性：

(1) (2) (3) (4)

f ( x) x

4

f ( x) x

5

f ( x) x f ( x) 1 x2

1 x

(三).用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

课堂练习判断下列函数的奇偶性：(1) f ( x ) x (3) f ( x ) 5 (5 ) f ( x ) x 1 1 x (4) f ( x) 0 ( 6 ) f ( x ) x , x [ 1,3 ]2

(2) f ( x) x 12

(四).奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性

例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象. 解：画法略

y

相等

0思考：如果y=f(x)是奇函数呢？

x

y相等

0

x

(五).奇偶函数性质的应用例 4、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x≥0 时，f ( x ) x 2 x ,则 f(-2

)=____2

_。

例 5.已知函数 f ( x ) 对一切 x , y R ,都有 f ( x y ) f ( x ) f ( y ) , (1)求证： f ( x ) 是奇函数； (2)若 f ( 3) a ,用 a 表示 f (1 2 ) .

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