初高中衔接教材含答案

初高中数学衔接教材

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初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

?a(a?0)?⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即a??0(a?0)

??a(a?0)?⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式:|x|?a(a?0)??a?x?a；|x|?a(a?0)?x??a或x?a 2 乘法公式：

⑴平方差公式：a?b?(a?b)(a?b) ⑵立方差公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) ⑶立方和公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) ⑷完全平方公式：(a?b)?a?2ab?b，

22222(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc

⑸完全立方公式：(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

3 分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax?b解的讨论 ①当a?0时，方程有唯一解x?b； a②当a?0，b?0时，方程无解

③当a?0，b?0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组 （1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 １

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（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程：ax2?bx?c?0(a?0) ①方程有两个实数根???b?4ac?0

2???0???0??②方程有两根同号?? ③方程有两根异号?? ccxx??0xx??01212??aa??bc22④韦达定理及应用：x1?x2??,x1x2? , x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2,

aa?b2?4ac, x3?x3?(x?x)(x2?xx?x2)?(x?x)?(x?x)2?3xx?

x1?x2?(x1?x2)?4x1x2??1212112212?1212?aa28 函数

（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y?kx?b（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k?0， b?O，则经2、3、4象限；当k?0，b?0时，则经1、2、4象限；当k?0， b?0时，则经1、3、4象限；当k?0， b?0时，则经1、2、3象限。

④当k?0时，y的值随x值的增大而增大，当k?0时，y的值随x值的增大而减少。 （4）二次函数：

bb24ac?b2, )?①一般式：y?ax?bx?c?a(x?(a?0)，对称轴是x??2a2a4ab4ac?b2（－,)； 顶点是

2a4a2②顶点式：y?a(x?m)?k(a?0)，对称轴是x??m,顶点是??m,k?；

2③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的交点 （5）二次函数的性质

①函数y?ax?bx?c(a?0)的图象关于直线x??②a?0时，在对称轴 （x??2b对称。 2abb）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x??）右侧；y的2a2ab4ac?b2值随x值的增大而增大。当x??时，y取得最小值

2a4abb③a?0时，在对称轴 （x??）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x??）右侧；y的

2a2ab4ac?b2值随x值的增大而减少。当x??时，y取得最大值

2a4a

２

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1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4．

|x－3|

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3；

P C A ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4，即?2x?4＞4，B D 解得x＜0， x 0 1 3 4

又x＜1，∴x＜0；

|x－1|

②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即1＞4，

图1．1－1

∴不存在满足条件的x；

③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． －1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．

由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． 所以，x＜0，或x＞4．

练 习

1．填空：（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________.

2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）

（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a?b； （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； （2）立方差公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b；

（3）三数和平方公式 (a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b； （5）两数差立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b．

３

332233322322222233223322222x 解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x

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对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

22226242解法一：原式=(x?1)??(x?1)?x?? =(x?1)(x?x?1) =x?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x?1． 例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

练 习

1．填空：

2226121211a?b?(b?a)（ ）； 9423（2）(4m? )2?16m2?4m?( )；

（1）

（3）(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )． 2．选择题：

1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 211122（A）m （B）m2 （C）m2 （D）m

431622（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）

（1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例

22如3a?a2?b?2b，a?b等是无理式，而2x?22x?1，x2?2xy?y2，a2等是有理式． 21．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运

算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

?a,a?0,222．二次根式a的意义: a?a??

?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式：

6（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4xy(x?0)．

解： （1）12b?23b； （2）ab?a

2b?ab(a?0)；

４

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（3）4xy?2x63y??2x3y(x?0)．

例2 计算：3?(3?3)． 解法一： 解法二：

3?(3?3?(3?3＝)3＝)33?333?3＝＝3?133?33(3?1)3?(3?3) ＝＝＝．

29?36(3?3)(3?3)13?133?1＝ ＝＝．

23?13(3?1)(3?1)(3?1)2和22－6. 6?4例3 试比较下列各组数的大小：

（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11?

12?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?10(11?10)(11?10)1， ??111?1011?10又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．

11?10?22－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 （2）∵22－6? 又 4＞22， ∴6＋4＞6＋22， ∴2＜22－6. 6?4例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．

解：(3?2)2004?(3?2)2005＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2) ＝?(3?2)?(3?2)?2004???(3?2)＝12004?(3?2)

＝3?2．

1?2(0?x?1)． 2x121 解：（1）原式?5?45?4 （2）原式=(x?)?x?，

xx2例 5 化简：（1）9?45； （2）x?(5)2?2?2?5?22 ∵0?x?1，

12 ?(2?5) ∴?1?x，

x1 ?2?5?5?2． 所以，原式＝?x．

x3?23?222 例 6 已知x?，求3x?5xy?3y的值 ． ,y?3?23?2 ? 解： ∵x?y?3?23?2??(3?2)2?(3?2)2?10，

3?23?2xy?

3?23?2??1，

3?23?2５

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∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

练 习

1．填空： （1）1?3＝__ ___；

1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；

（3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?5x?1?x?1x?1?x?1，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?12．选择题：等式x成立的条件是 （ ） x?2（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2

x?x?2a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．

a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAA?MAA?M??； ． BB?MBB?M 上述性质被称为分式的基本性质．

am?n?p 2．繁分式: 像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值．

x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解： ∵?，

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5, ∴? 解得 A?2,B?3．

?2A?4,111??例2 （1）试证：（其中n是正整数）；

n(n?1)nn?1111???? （2）计算：； 1?22?39?101111?????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有

2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，

nn?1n(n?1)n(n?1)

６

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111??（其中n是正整数）成立．

n(n?1)nn?11111111119?????(1?)?(?)???(? ?)1?＝． （2）解：由（1）可知

10101?22?39?1022391011111111111) ＝?（3）证明：∵ ＝(?)?(?)???(?， ????2n?12334nn?12?33?4n(n?1) ∴

1

又n≥2，且n是正整数，则 一定为正数，

n＋1

1111

∴＜ ． ????2?33?4n(n?1)2例3 设e?解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，

∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝ ＜1，舍去；或e＝2．

2

∴e＝2．

练 习

c，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a111? (?)；

nn?2n(n?2)x2x?y2?，则＝（ ） 2．选择题：若

yx?y3654 （A）１ （B） （C） （D）

545x?y223．正数x,y满足x?y?2xy，求的值．

x?y1111???...?4．计算． 1?22?33?499?1001．填空题：对任意的正整数n，

习题1．1

A 组

1．解不等式： (1) x?1?3； (2) x?3?x?2?7 ； (3) x?1?x?1?6．

332．已知x?y?1，求x?y?3xy的值．

3．填空：（1）(2?3)(2?3)＝________；

22 （2）若(1?a)?(1?a)?2，则a的取值范围是________；

1819（3）11111?????________．

1?22?33?44?55?6

B 组

3a2?ab11? ； 1．填空： （1）a?，b?，则223a?5ab?2b23x2?3xy?y222 （2）若x?xy?2y?0，则? ；

x2?y22．已知：x?

yy11,y?，求的值． ?23x?yx?y７

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C 组

1．选择题：

?b??a，则 （ ）

（A）a?b （B）a?b （C）a?b?0 （D）b?a?0

（1）若?a?b?2ab?1等于 （ ） a（A）?a （B）a （C）??a （D）?a 1122．解方程2(x?2)?3(x?)?1?0．

xx1111?????3．计算：． 1?32?43?59?111111

????4．试证：对任意的正整数n，有＜ ．

1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)4

（2）计算a?

1.1.1．绝对值： 1．（1）?5；?4 （2）?4；?1或3 2．D 3．3x－18 1.1.2．乘法公式：1．（1）a?13111b （2）, （3）4ab?2ac?4bc 224 2．（1）D （2）A

1.1.3．二次根式：1． （1）3?2 （2）3?x?5 （3）?86 （4）5．

2．C 3．1 4．＞

991

1.1.4．分式： 1． 2．B 3． 2?1 4．

2100习题1．1 A组：1．（1）x??2或x?4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3 2．1 3．（1）2?3 （2）?1?a?1 （3）6?1 351

B组：1．（1） （2），或－ 2．4．

572136,x2?2 3． 2551111?[?] 4．提示：

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)C组：1．（1）C （2）C 2．x1?

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；

（3）x?(a?b)xy?aby； （4）xy?1?x?y． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 1 x x 1 －2 －1 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2

图1．2－1 图1．2－3 图1．2－4 图1．2－2

８

22 初高中数学衔接教材

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示 （如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． x

（3）由图1．2－4，得 x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：

（1）x?9?3x?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解： （1）x?9?3x?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)．

或x?9?3x?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23 ＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22]＝(x?3)(x2?3)．

（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)． 或 2x?xy?y?4x?5y?6=(2x?xy?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)． 3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x?2x?1； （2）x2?4xy?4y2．

解： （1）令x?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，

∴x?2x?1=?x?(?1?2)??x?(?1?2)? =(x?1?2)(x?1?2)．

222－1 1

y

图1．2－5

3322322222222????22（2）令x?4xy?4y=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y，

22 ∴x?4xy?4y=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．

练 习

1．选择题：多项式2x?xy?15y的一个因式为 （ ）

（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．

习题1．2

1．分解因式：

42 （1） a?1； （2）4x?13x?9；

322（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x?5xy?2y?x?9y?4． 2．在实数范围内因式分解：

2（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；

22222（3）3x?4xy?y； （4）(x?2x)?7(x?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

1.2分解因式

1． B

2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a?2ab?b)

９

2222222222 初高中数学衔接教材

（3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．

习题1．2

21．（1）?a?1?a?a?1 （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1?

?? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1?

?5?13??5?13?2．（1）?x???????x??； （2）x?2?5x?2?5； 22?????2?7??2?7?y?? （3）3?x????x?3y??； （4）?x?3?(x?1)(x?1?5)(x?1?5)． 3????3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)

????

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

b2b2?4ac)?我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为(x?． ① 2a4a22

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝

?b?b2?4ac；

2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?b； 2ab2)一定大于或等于零，因此，2a原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

?b?b2?4ac（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；

2ab（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；

2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

22

（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以

①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

１０

a?a2?4a?a2?4x1?， x2?．

22

初高中数学衔接教材

x1?1?1?a， x2?1?1?a；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

?b?b2?4ac?b?b2?4ac 若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 x1?，x2?，

2a2a2

?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb则有 x1?x2?????；

2a2a2aa2?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b?4ac)4acc x1x2????2?． 22a2a4a4aa

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦aa达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

22

所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．

所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－所以，方程的另一个根为－

23． 53，k的值为－7． 563，∴x1＝－． 55解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根

的积大21，求m的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21，

2

∴(x1＋x2)－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．

１１

3k）＋2＝－，得 k＝－7． 553所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

5由 （－

初高中数学衔接教材

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ①

xy＝－12． ②

由①，得 y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6．

∴??x1??2,?x2?6, 或?

?y1?6,?y2??2.因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值； （2）求

11?的值； （3）x13＋x23． 22x1x2解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

∴x1?x2??

53，x1x2??． 22（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝(?)?4?(?) ＝

522324925＋6＝，

44 ∴| x1－x2|＝

7． 221212

（2）

x?x211??x12x22x?x22（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

5325(?)2?2?(?)?3(x1?x2)?2x1x237224． ????329(x1x2)29(?)242 ＝(－

553215)×[(－)2－3×(?)]＝－． 2228 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为

了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

?b?b2?4ac?b?b2?4ac设x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则x1?，x2?，

2a2a2

?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4acb2?4ac???∴| x1－x2|＝ ?． ?2a2a2a|a||a|于是有下面的结论：

１２

初高中数学衔接教材

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝?（其中Δ＝b2－4ac）． |a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②

17

由①得 a＜4，由②得 a＜ ．

4

∴a的取值范围是a＜4．

练 习

1．选择题：

（1）方程x?23kx?3k?0的根的情况是（ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）

221111 （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4444112．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则?＝ ．

x1x2 （A）m＜

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1 A 组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?7；④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之3积为0．

其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相

等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B 组

1．选择题: 若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

１３

初高中数学衔接教材

2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ． 3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

C 组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长

等于（ ）

（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

x1?x2；（2）x13＋x23． 2（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）

x1x2?的值为（ ） x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D）

2 （A）α＋β≥

11 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22c（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是 （ ）

4 （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－（2）求使

3成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； 2x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x（3）若k＝－2，??1，试求?的值．

x2m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2.1 一元二次方程

练习

1． （1）C （2）D 2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0 4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9

习题2．1 A 组

1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；

对于④，其两根之和应为－

2． （3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意． 3１４

初高中数学衔接教材

2． （1）2 （2）3．当m＞－

17 （3）6 （3）3 411，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根； 441 当m＜－时，方程没有实数根．

44．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2， ∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，

∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1， ∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．

B组

1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．

32232222

（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a＋ab＋ab＋b＝a(a＋b)＋b(a＋b)＝(a＋b)( a＋b)＝(a

＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．

22

3．（1）∵Δ＝(－k)－4×1×(－2)＝k＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．

3abc?b3b2?4acx1?x2b33

4．（1）| x1－x2|＝，＝?；（2）x1＋x2＝． 3a|a|22a5．∵| x1－x2|＝16?4m?24?m?2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．

C组 1．（1）B （2）A （3）C 提示：由Δ≥0，得m≤

（4）B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝x1x2＝

12． 3．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－

1，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．

3成立． 29(k?1)k?13，∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－＝－，

4k4k29(k?1)793即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．

4k522x1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2?－2＝（2）∵?2??2??4 x2x1x1x2x1x2x1x24k4k?4(k?1)4?4??? ＝， k?1k?1k?1xx∴要使1?2－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，∴k＋1只能取±1，±2，±4．

x2x1∵x1＋x2＝1，x1x2＝

又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．

x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5． x2x11（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ②

81xx2 ①2÷②，得1?2＋2＝8，即???6，∴??6??1?0， ∴??3?22．

?x2x1∴能使

１５

初高中数学衔接教材

4．（1）Δ＝2(m?1)2?2?0；

m2 （2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．

4∴x1?1?5，x2?1?5．

①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0， ②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，

∴m＝0．此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．

5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a，

由一根大于1、另一根小于1，得 (x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a的取值范围是a＜－2．

2．2 二次函数

2

2.2.1 二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质

22

问题1 函数y＝ax与y＝x的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝

x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 12

x，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝2… … y 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），

2

2从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x的图象可以y＝2x 2

由函数y＝x的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝

y＝x2 并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

１６

－1 12

x，y＝－2x2的图象，2O 图2.2-1

x y y＝2(x＋1)2＋1 y＝2(x＋1)2 y＝2x2 O 图2.2-2

x 初高中数学衔接教材

b2b2bb2

由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－

4a4aaab2b2?4ac)? ?a(x?， 2a4a2

2

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

b4ac?b2,)，对称轴为直线x＝（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?2a4abbbb－；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着x的增大而增大；当x＝?时，2a2a2a2a4ac?b2函数取最小值y＝．

4ab4ac?b22

,)，对称轴为直线x＝（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?2a4abbbb－；当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着x的增大而减小；当x＝?时，2a2a2a2a4ac?b2函数取最大值y＝．

4a2

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，

∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)； 当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B(23?323?3,0)和C(?,0)，与y轴的交33点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件

１７

初高中数学衔接教材

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B）, 将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，

有??70?130k?b, 解得 k＝－1，b＝200．

50?150k?b,?∴ y＝－x＋200．

设每天的利润为z（元），则

z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600，

∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元． 例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．

b2b2解法一：y＝x＋bx＋c＝(x+)?c?，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到

242bby?(x??4)2?c??2的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，

24?b??4?0,??2 ? 解得b＝－8，c＝14． 2?c?b?2?0,?4? 解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．

22

由于把二次函数y＝x的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

y y y y 说明：在本例中，利用了分2 4 a4 类讨论的方法，对a的所有可能

4 情形进行讨论．此外，本例中所2 a2 研究的二次函数的自变量的取 a 值不是取任意的实数，而是取部 x x O a O O a x 2

－2 a －2 2 －2 ①

②

１８ ③

图2.2－6

初高中数学衔接教材

分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

练 习

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ； 当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，

2

抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的

22

判别式Δ＝b－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y2

＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，

则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝?即

bc，x1x2＝， aabc＝－(x1＋x2)， ＝x1x2． aabc2所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x?x?) = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．

aa１９

初高中数学衔接教材

由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y＝x＋1上，2＝x＋1，∴x＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为y?a(x?2)2?1(a?0)， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴?1?a(3?2)2?1，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为y??2(x?2)2?1，即y＝－2x2＋8x－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得 y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为

?12a2?4a2??4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，

4a1∴|－4a|＝2，即a＝?．

2123123所以，二次函数的表达式为y＝x?x?，或y＝－x?x?．

2222 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距

离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线x＝－1．

又顶点到x轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．

∴a＝－

11，或a＝． 2211(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 22所以，所求的二次函数为y＝－ 说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解

题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

２０

初高中数学衔接教材

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

练 习

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

1

（2）函数y＝－ (x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）

2

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换 问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)． （1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2． （2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2． 2．对称变换

y 问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变B(1，3) 换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行y＝1 对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是

O x 要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

A(1,－1) 例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得

２１

图2.2－8

??22?a?b?c,? 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． ??8?c,?8?4a?2b?c,? 初高中数学衔接教材

到图象对应的函数解析式：（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1． 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于y x＝－1 直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，

所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17． O x 2

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直A(1,－1) A1(－3,－1) 线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

图2.2－7

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，故二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1． 二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象． 分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数． 这个函数的解析式为

?80,x??160x??? y??240,x??320x????400,x?

(0,20](20,40]940,8 0](60,80](80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

例4如图2.2-10所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围． D C 分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．

1AP?BC＝x； 211②当点P在线段BC上移动，即2＜x＜4时，y＝PC?AB＝(4?x)?2＝4－x；

2211③当点P在线段CD上移动，即4＜x≤6时，y＝PC?AD＝(x?4)?2＝x－4；

22解：（1）①当点P在线段AB上移动，即0＜x≤2时，y＝

P

A 图2.2－10

B (0?x?2)?x ?4?x(2?x?4)1?④当点P在线段DA上移动，即6＜x＜8时，y=AP?DC=8-x. 综上y=?

2?x?4(4?x?6)??8?x(6?x?8)

2.3 方程与不等式

２２

初高中数学衔接教材

2.3.1 二元二次方程组解法

方程 x2?2xy?y2?x?y?6?0是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中x,2xy,y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

22?x2?4y2?x?3y?1?0,??2x?y?1?0;22??x?y?20, ?22??x?5xy?6y?0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

?x2?4y2?4?0,例1 解方程?

?x?2y?2?0.①②

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x＝2y＋2， ③

把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，即 y(y＋1)＝0． 解得 y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0．

?x1?2,所以原方程组的解是 ?

y?0，?1?x2?0, ?y??1.?2说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

?x?y?7,① 例2 解方程组 ?

② ?xy?12.解法一：由①，得 x?7?y. ③

把③代入②，整理，得y?7y?12?0， 解这个方程，得y1?3,y2?4． 把y1?3代入③，得x1?4；把y2?4代入③，得x2?3． 所以原方程的解是 ?2?x1?4,

?y1?3，?x2?3, ??y2?4.解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y．

2这个方程组的x,y是一元二次方程z?7z?12?0的两个根，解这个方程，得z?3，或z?4．

所以原方程组的解是：??x1?4,?x2?3, ?

?y1?3;?y2?4.练 习

?x2?y2?13,1．下列各组中的值是不是方程组?的解?

x?y?5??x?2,?x?3,?x?1,?x??2,（1）? （2）? （3）? （4）?

?y?3;?y?2;?y?4;?y??3;

２３

初高中数学衔接教材

2．解下列方程组:

?x2y22??y?x?5,?x?y?3,?1,?y?2x,??（1） ?2 （2）? （3） ?5 （4）?2 422??xy??10;?x?y?625;?x?y?8.?y?x?3;?

2.3.2 一元二次不等式解法

二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x y －3 6 －2 0 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 0 4 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知：当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．

这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；

同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．

上例表明：由抛物线与x轴交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．

22

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两

b

个相等的实数根x1＝x2＝－ ，由图2.3－2②可知

2a

b

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－ ； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解．

2a2

（3）如果△＜0，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根， ２４

初高中数学衔接教材

由图2.3－2③可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 例3 解不等式：

（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为 －3≤x≤1． （2）整理，得 x2－x－6＞0． ∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为 x1＝－2，x2＝3．

∴原不等式的解为 x＜－2，或x＜3． （3）整理，得 (2x＋1)2≥0. 由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．

（4）整理，得 (x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立， ∴原不等式的解为 x＝3．

（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．

例4 已知不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx?ax?c?0的解． 解：由不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知a?0，

2bcbc?5,?6，即 ??5,?6． aaaab2c222由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为x?x??0，即 －5x?x?6?0,整理得5x?x?6?0,aa则方程ax?bx?c?0的两根分别为2和3，?2

62所以，不等式bx?ax?c?0的解是 x＜－1，或x＞ ．

5说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

例5 解关于x的一元二次不等式x?ax?1?0(a为实数).

分析：对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式?的符号,而这里的?是关于未知系数的代数式, ?的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对?的符号进行分类讨论. 解: ??a?4,

22?a?a2?4?a?a2?4,x2?. ①当??0,即a??2或a?2时, 方程x?ax?1?0的解是x1?222?a?a2?4?a?a2?4, 或x?所以,原不等式的解集为x?；

22a

②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为 x≠－ ；

2

③当??0,即?2?a?2时,原不等式的解为一切实数.

?a?a2?4?a?a2?4, 或x? 综上, 当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是 x?；

22 当?2?a?2时,原不等式的解为一切实数．

例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来． 分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行 分类讨论．

解：∵y＝(x－a)2＋1－a2，

∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．

（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值 n＝1－a2； (2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值 n＝4a+5；

２５

初高中数学衔接教材

?1?a2(-2?a?1)? (2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值 n＝-2a+2. 综上,ymin=?4a?5(a?-2)

??2a?2(a?1)?

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 练 习

1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．

5?x?,?x1?15,?x2??20,?x1?5,?x2??2,?x1?2,?x2?2,??32．（1）? （2）? （3） （4）? ? ???y?20,y??15;y??2,y?5;y?2,y??2.?1?2?1?2?1?2?y??4.?3?2.3.2 一元二次不等式解法 练 习

4

1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1； （4）x＝4．

3

2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，

（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；

（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1； （3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．

综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a； 当a＝0时，原不等式的解为x＝－1； 当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

习题2．3 A 组

1024??x?,x?,???x1?2,?x1?0,?2?2351．（1）? ? （2）? ?

412y?0,y?0,?1?1?y??.?y?.22??53????x3??3,???x1?3,??x2?3,??x4??3,?x1?3?2,??x2?3?2, （3）? （4） ?????????y1?1,??y2??1,??y4??1.?y3?1,?y1?3?2,??y2?3?2;2．（1）无解 （2）?2323?x? （3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2 33B 组

2221．消去y，得4x?4(m?1)x?m?0． 当??16(m?1)?16m?0,即m?21时，方程有一个实数解． 21?1?x?, 将m?代入原方程组，得方程组的解为?4

2??y?1.2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．则当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a； 当a＝1时，原不等式的无实数解；

当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

C 组

bc

1．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根， ∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．

221

∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0， ∴－ ≤x≤2．

2

2

mm

2．∵y＝－x2＋mx＋2＝－(x－ )2＋2＋ ，

24

mm2mm

3． ∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；当 ＜0，即m＜0时，k＝2；当 ＞2，即m＞4时，k＝2m－2．

2422

２６

初高中数学衔接教材

m?0,?2,?2?m?2,0?m?4, ∴k???4m?4.??2m?2,

衔接知识点的专题强化训练

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即|a|? ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:|x|?a(a?0)?；|x|?a(a?0)?．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1](a?b?c)2?[公式2][公式3]

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下：

?a3?b3(立方和公式) ?a3?b3 (立方差公式)

b? ． a[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作x??a(a?0)，

2(1) (a)2? ；(2) a? ；(3) ab? ； (4) ２７

初高中数学衔接教材

其中a(a?0)叫做a的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x?4．分式

[1]分式的意义 形如

3a AA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时， BBA 分式具有下列性质： （1） ； （2） ．

BAAm?n?p[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，

2mBBn?p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化 因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的 过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）x?2?1 （2）x?1?x?3＞4．

11111例2 计算： （1）(x2?2x?1)2 (2）(m?n)(m2?mn?n2)

5225104342 （3）(a?2)(a?2)(a?4a?16)（4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2

2例3 已知x?3x?1?0，求x?31的值． x3

例4 已知a?b?c?0，求

111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： （1）

例6 设x?

２８

311x22? （4） 2?x3?8x （2） (1?x)?(2?x) (x?1) （3） ab22?32?32?333，求x?y的值． ,y?2?32?3 初高中数学衔接教材

x2?3x?96xx?1x??例7 化简：（1） （2） 221?xx?279x?x6?2xx?1x?xxxxxx(x?1)x?1（1）解法一：原式= ???2??21?x(1?x)?xxx?x?xxxx?2x?x?x?1(x?1)(x?1)x?1x?1xxxxx(x?1)x?1 解法二：原式= ???2?(1?x)?xx(1?x)xx?x?xxx?x?2x?1x?1x?1(x?)?xxx2?3x?96xx?116x?1（2）解：原式= ?????22(x?3)(x?3x?9)x(9?x)2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3)

2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)23?x ???2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3) 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式． 【巩固练习】

1．

11x2?xy?y2,y?解不等式 x?3?x?2?7 2.设x?，求代数式的值．

x?y3?23?2

2．

aba2?b2当3a?ab?2b?0(a?0,b?0)，求??的值．

baab22

3． 设x?5?142，求x?x?2x?1的值． 5.计算(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z) 2

6．化简或计算：

(3)

(1) (18?411321 (2) 2 ?)??2?(2?5)2?2332?35?2xx?xyx?xy?yb?ababa?b (4) (a?)?(??) ?xy?y2a?bab?bab?aabxx?yy２９

初高中数学衔接教材

★ 专题二 因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒 等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有 公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ;[4](a?b?c)2?[5]a3?b3?(立方和公式); [6] a3?b3?;

(立方差公式).

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如 ma?mb?na?nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组 来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法

（1）x?(p?q)x?pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和． ∵x?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)， ∴x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解

由a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解 成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a2?c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2?a2c1，如果它正好等于

a1c1222ax2?bx?c的一次项系数b，那么ax2?bx?c就可以分解成(a1x?c1)(a2x?c2)，其中a1,c1位于上一行，

a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式 能否用十字相乘法分解．

4．其它因式分解的方法: （1）配方法 （2）拆、添项法

【例题选讲】

例1 （公式法）分解因式：(1) 3ab?81b；(2) a?ab

例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab(c?d)?(a?b)cd （2）2x?4xy?2y?8z

３０

22222223476

初高中数学衔接教材

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x?5x?24 (2) x?2x?15 (3) x2?xy?6y2

(4) (x2?x)2?8(x2?x)?12

解：（1）? ?24?(?3)?8,(?3)?8?5? x2?5x?24?[x?(?3)](x?8)?(x?3)(x?8) （2） ? ?15?(?5)?3,(?5)?3??2 ? x2?2x?15?[x?(?5)](x?3)?(x?5)(x?3)

（3）分析：把x2?xy?6y2看成x的二次三项式，这时常数项是?6y，一次项系数是y，把?6y分解成

22223y与?2y的积，而3y?(?2y)?y，正好是一次项系数．

解：x2?xy?6y2?x2?yx?62?(x?3y)(x?2y)

2(4) 由换元思想，只要把x?x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a?8a?12．

2解： (x2?x)2?8(x2?x)?12?(x2?x?6)(x2?x?2)?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1) 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x?5x?2 ；(2) 5x2?6xy?8y2 解：(1) 12x2?5x?2?(3x?2)(4x?1)

222

342?? 1

(2) 5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)

1 2y5?4y

?说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对 有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先 “凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式x?3x?4

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式： (1) ab(c2?d2)?cd(a2?b2)

(3) x?64

2．已知a?b?

3．现给出三个多项式:

4．已知a?b?c?0，求证：a?ac?bc?abc?b?0．

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

３１

3223432

(2) x?4mx?8mn?4n

22 (4) x?11x?31x?21

32

(5) x?4xy?2xy?8y

32232,ab?2，求代数式a2b?2a2b2?ab2的值． 31211x?x?1，x2?3x?1，x2?x，请选择其中两个进行加法运算，并因式分解. 222 初高中数学衔接教材

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)，用配方法将其变形为： ． 由于可以用b?4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b?4ac叫做 一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的根的判别式，表示为：??b?4ac

2

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两个根为x1,x2，那么：x1?x2?222,x1x2?

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”． 上述定理成立的前提是??0．

2

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

222

所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0的两根，

2

所以，x1，x2也是一元二次方程x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

2

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

【例题选讲】

例1 已知关于x的一元二次方程3x?2x?k?0，根据下列条件，分别求出k的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根；（4）方程无实数根．

例2 已知实数x、y满足x2?y2?xy?2x?y?1?0，试求x、y的值．

例3 若x1,x2是方程x?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值：

例4 已知x1,x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根． (1) 是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??(2) 求使

222(1) x12?x22； (2)

11?； (3) (x1?5)(x2?5)； x1x2(4) |x1?x2|．

3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2x1x2??2的值为整数的实数k的整数值． x2x132解：(1) 假设存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??成立．∵ 一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个

2?4k?0?k?0，又x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0 实数根，∴ ?2???(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0?x1?x2?1?的两个实数根，∴ ?k?1

x1x2??4k?

３２

初高中数学衔接教材

∴ (2x1?x2)(x1?2x2)?2(x12?x22)?5x1x2?2(x1?x2)2?9x1x2 ??∴不存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??k?939???k?，但k?0． 4k253成立． 2x1x2x12?x22(x1?x2)24k4(2) ∵ ??2??2??4??4??x2x1x1x2x1x2k?1k?1∴ 要使其值是整数，只需k?1能被4整除，故k?1??1,?2,?4，注意到k?0，要使的实数k的整数值为?2,?3,?5．

【巩固练习】

x1x2??2的值为整数 x2x111?的值为( ) x1x219 A．2 B．?2 C． D．

2222．若t是一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的根，则判别式??b?4ac和完全平方式M?(2at?b)2的

1．若x1,x2是方程2x?6x?3?0的两个根，则

2关系是( )

A．??M

B．??M

C．??M

D．大小关系不能确定

3．设x1,x2是方程x2?px?q?0的两实根，x1?1,x2?1是关于x的方程x2?qx?p?0的两实根， 则p= ，q= ．

4．已知实数a,b,c满足a?6?b,c2?ab?9，则a= ，b= _____ ，c= _____ ． 5．已知关于x的方程x?3x?m?0的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x的方程

2(k?3)x2?kmx?m2?6m?4?0有实数根．

6．若x1,x2是关于x的方程x?(2k?1)x?k?1?0的两个实数根，且x1,x2都大于1．

★

专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1．平面直角坐标系

[1] 组成平面直角坐标系。 叫做x轴或横轴， 叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。

对称点或对称直线方程

３３

对称点的坐标 (1) 求实数k的取值范围；(2) 若

22x11?，求k的值． x22 初高中数学衔接教材

[2] 平面直角坐标系内的对称点：

2．函数图象

[1]一次函数： 称y是x的一次函数，记为：

x轴 y轴 原点 点(a,b) [2] 正比例函数的图象与性质：

直线x?a 函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是 的一条直线，

当 时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；

直线y?b 当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 ． 直线y?x [3] 一次函数的图象与性质：函数y?kx?b(k、b是常数，k≠0)的图象是

y?kx?b(k、b是常数，k≠0)特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。

过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设y?kx?b(k≠0)，则当 直线y??x 时，y随x的增大而 ；当 时， y随x的增大而 ． [4]反比例函数的图象与性质： 函数y?

k

(k≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限， x

在每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y?x与y??x；又是中心对称图形，对称中心是原点． 【例题选讲】

例1 已知A?2,y1?、B?x2,?3?，根据下列条件，求出A、B点坐标．

(1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数y?

k

，3)，B(n，?1)两点． 的图象与一次函数y?mx?b的图象交于A(1x

y k33，3)在y?的图象上，?k?3，?y? 又?B(n，?1)在y?的图象上，解：（1）?A(1A xxx?3?m?b?n??3，即B(?3，?1) ，?解得：m?1，b?2， 反比例函数的解析式为O x ?1??3m?b，B ?3y?，一次函数的解析式为y?x?2，

图（12） x（2）从图象上可知，当x??3或0?x?1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

一次函数的值。

【巩固练习】

1．函数y?kx?m与y?m(m?0)在同一坐标系内的图象可以是（ ） x ３４

初高中数学衔接教材

O A． y x O B． y x O C． y x O D． y x

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB?6，AD?22， 求B,C,D点的坐标．

3．如图，已知直线y?（1）求k的值；

1kx与双曲线y?(k?0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． 2x y A k(k?0)于P，Q两点（P点在第一象限）， x若由点P为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y?

★

专题五 二次函数

B y O x bx＝－ 2ay A(?b4ac?b2,) 2a4aO x 2O x＝－x b4ac?b【要点回顾】 ) A(?,2

2a4a1． 二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质 22

问题[1] 函数y＝ax与y＝x的图象之间存在怎样的关系？

22

问题[2] 函数y＝a(x＋h)＋k与y＝ax的图象之间存在怎样的关系？

2

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

b 2abbb2b2b2b2?4ac2

?a(x?)?由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－，

aa4a4a2a4a2

2

所以，y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax的图象作左右平移、上下平移得到的，

2

二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

３５

22

初高中数学衔接教材

[1]当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口方向 ； 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，函数取最小值 ． 2

[2]当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口方向 ； 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，函数取最大值 ．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 2．二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式： （1）．一般式： ； （2）．顶点式： ； （3）．交点式： ．

说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： ①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求． 3．分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 【例题选讲】

2

例1 求二次函数y＝－3x－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y(件)间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3 已知函数y?x,?2?x?a，其中a??2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

３６

22

初高中数学衔接教材

例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资为y（单位：分），

?80,?160?? 则y是x的函数．这个函数的解析式为y??240,?320???400,x?(0,20]x?(20,40]x?(40,60] x?(60,80]x?(80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如右图所示．

【巩固练习】 1．选择题：

2

（1）把函数y＝－(x－1)＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）

2

（2）函数y＝－x＋4x＋6的最值情况是（ ）

（A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2

2

（3）函数y＝2x＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（ ）

（A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1 （C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11 2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点A（0，?1），B（1，0），C（?1，2）； y(分) 400 （2）已知抛物线的顶点为（1，?3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（?3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，320 ?3）； 240 （4）已知抛物线的顶点为（3，?2），且与x轴两交点间的距离为4．

160

80

O 20 40 60 80 100 x(克)

图2.2－9

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

３７

初高中数学衔接教材

5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

D C （1）求函数y的解析式；

（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围．

P A B 图2.2－10

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的最值．

b4ac?b2二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a?0时，函数在x??处取得最小值，无最大值；

2a4ab4ac?b2当a?0时，函数在x??处取得最大值，无最小值．

2a4a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

23．求二次函数在某一范围内的最值．如：y?ax?bx?c在m?x?n（其中m?n）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x?x0；

第二步：讨论：

[1]若a?0时求最小值或a?0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0?m，即对称轴在m?x?n的左侧；②对称轴m?x0?n，即对称轴在m?x?n的内部； ③对称轴大于n即x0?n，即对称轴在m?x?n的右侧。 [2] 若a?0时求最大值或a?0时求最小值，需分两种情况讨论：

m?n，即对称轴在m?x?n的中点的左侧； 2m?n②对称轴x0?，即对称轴在m?x?n的中点的右侧；

2①对称轴x0?说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y?2x?3x?5； （2）y??x?3x?4．

３８

22 初高中数学衔接教材

例2当1?x?2时，求函数y??x2?x?1的最大值和最小值．

例3当x?0时，求函数y??x(2?x)的取值范围．

例4当t?x?t?1时，求函数y?125x?x?的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125x?x?的对称轴为x?1．画出其草图． 22(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t?1时：

125 当x?t时，ymin?t?t?；

22解：函数y?(2) 当对称轴在所给范围之间．即t?1?t?1?0?t?1时：当x?1时，ymin?(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t?1?1?t?0时：当x?t?1时，ymin125?1?1???3； 22151?(t?1)2?(t?1)??t2?3． 222?12?2t?3,t?0? 综上所述：y???3,0?t?1

?15?t2?t?,t?12?2

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m?162?3x,30?x?54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定

为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线y?x?(m?4)x?2m?3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

23．设a?0，当?1?x?1时，函数y??x?ax?b?1的最小值是?4，最大值是0，求a,b的值．

24．已知函数y?x?2ax?1在?1?x?2上的最大值为4，求a的值．

2 ３９

初高中数学衔接教材

5．求关于x的二次函数y?x2?2tx?1在?1?x?1上的最大值(t为常数)．

★ 专题七 不 等 式

【要点回顾】

1．一元二次不等式及其解法

[1]定义：形如 为关于x的一元二次不等式．

[2]一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)与二次函数y?ax2?bx?c (a?0)及一元二次方程

ax2?bx?c?0的关系(简称：三个二次)．

（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

（1）将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式??0来判断) ．则

b,0)，此时对应的 2ab一元二次方程有两个相等的实数根xx?x2??

2a(也可由根的判别式??0来判断) ．则：

②如果图象与x轴只有一个交点(?

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程 没有实数根 (也可由根的判别式??0来判断) ．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“?0”型的解为x?x1或x?x2 (俗称两根之外)；“?0”型的解为x1?x?x2(俗称两根之间)；

b24ac?b2)?(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax?bx?c?a(x?，结合完全平方式为非负数 2a4a2 的性质求解．

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零. 3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为ax?b 的形式． [1]当a?0时，不等式的解为：x?不等式的解为：x?b；[2]当a?0时，ab； a[3]当a?0时，不等式化为：0?x?b；① 若b?0，则不等式的解是全体实数；② 若b?0，则不等式无解．

４０

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