2012丰台二模数学（理）试题答案

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2012

年北京市丰台区高三二模

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．(1,?2) 10．737 11．3， 4712．31.25 13． 96 14．1，a?1 注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第

二个空答对得2分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为f(x)?cosx(3cosx?sinx)?3＝3cosx?sinxcosx?3 =3(21?cos2x1)?sin2x?3 22＝313 cos2x?sin2x?222?63． 2＝cos(2x?)?（Ⅰ）f()?cos(2??3??3 ?)?362=??????7分

33???3． ???22?2（Ⅱ）因为 x?[0,]，

所以

?????2x??． 666?5?3??，即x?时，函数y?f(x)有最小值是?1?． 61225?12时

，

函

数

当 2x?当

x?y?f(x)有最小值是

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?1?

3． ????????13分 216．解：（Ⅰ）依题意，E??100?0.05?80a?60b?0?0.7?22，

所以 80a?60b?17．

因为 0.05?a?b?0.7?1，

所以a?b?0.25． 由

?80a?60b?17,??a?b?0.25, 可得

?a?0??b?0 ????????7分

.15.（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．

奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A，

则P(A)?0.05?0.05?2?0.05?0.1?2?0.05?0.15?0.1?0.1?0.0375．

答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ????????13分

17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．

因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP为三角形BDF中位线，

F所以BF // OP，

EP因为BF?平面ACP，OP?平面ACP，

所以BF // 平面ACP． ????????4分 (ⅱ)因为∠BAF=90o， A所以AF⊥AB，

O因为 平面ABEF⊥平面ABCD， B且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，

所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，

所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐

标系O?xyz．

zFEPDC11所以 B(1,0,0)，E(,0,1)，P(0,1,)，C(1,2,0)． 22????????11所以 BE?(?,0,1)，CP?(?1,?1,)，

22BADy

xC 中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com

????????????????BE?CP45??????所以cos?BE,CP??????， |BE|?|CP|15即异面直线BE与CP所成角的余弦值为

45． ???15?????9分

（Ⅱ）解：因为AB⊥平面ADF，

??所以平面APF的法向量为n1?(1,0,0)．

设P点坐标为(0,2?2t,t)，

????????在平面APC中，AP?(0,2?2t,t)，AC?(1,2,0)，

???2t?2)， 所以 平面APC的法向量为n2?(?2,1,t??????????|n?n2|26??所以 cos?n1,n2????1??， ?3|n1|?|n2|2t?22(?2)2?1?()t解得t?此

2，或t?2（舍）． 3时

|PF|?

5． ????????14分 318．解：（Ⅰ）因为a1?4，an?1?an?p?3n?1，

所以a2?a1?p?31?1?3p?5；a3?a2?p?32?1?12p?6． 因为a1，a2?6，a3成等差数列，

所以2(a2?6)=a1+a3， 即6p?10?12?4?12p?6， 所以 p?2． 依题意，an?1?an?2?3n?1， 所以当n≥2时，a2?a1?2?31?1，

a3?a2?2?32?1，

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??

an?1?an?2?2?3n?2?1， an?an?1?2?3n?1?1．

相加得an?a1?2(3n?1?3n?2???32?3)?n?1，

3(1?3n?1)?(n?1)， 所以 an?a1?21?3所以 an?3n?n．

当n=1时，a1?31?1?4成立， 所

以

an?3n?n． ????????8分

（Ⅱ）证明：因为 an?3n?n，

n2n2所以 bn?n?n．

(3?n)?n3(n?1)2n2?2n2?2n+1*?=因为 bn?1?bn?，(n?N)． n+1nn?1333若 ?2n+2n?1?0，则n?又因为 b1?所

21?3，即 n?2时 bn?1?bn． 214，b2?， 39以

bn?4． ????????13分 9

219．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C：x?2py(p?0)，

因为点P到焦点F的距离为5，

p的距离为5． 2p?1，p?2． 因为P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得 2所以点P到准线y??所

以

抛

物

线

的

标

准

方

程

为

x2?4y． ????????4分

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121即 y?x，所以 y'?x，点P(±4，4)，

4211所以 y'|x??4??(?4)??2，y'|x?4??4?2．

22所以 点P(-4，4)处抛物线切线方程为y?4??2(x?4)，即2x?y?4?0； 点P(4，4)处抛物线切线方程为y?4?2(x?4)，即2x?y?4?0．

P点处抛物线切线方程为

2x?y?4?02x?y??4． ????????7分

（Ⅱ）设直线l的方程为y?2x?m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立 ??x2?4y2x?m，消y得 x2?8x?4m?0，??64?16m?0?y?． 所以 x1?x2?8，x1x2??4m， 所以

x1?x22?4，y1?y22?8?m， 即AB的中点为Q(4,8?m)．

所以 AB的垂直平分线方程为y?(8?m)??12(x?4)． 因为 四边形AMBN为菱形，

所以 M(0,m?10)，M，N关于Q(4,8?m)对称， 所以 N点坐标为N(8,m?6)，且N在抛物线上， 所以 64?4?(m?6)，即m?10， 所

以

直

线

l的方程y?2x?10． ????????14分

20．解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?xlnx?(1?x)ln(1?x)，(0?x?1)，

则f?(x)?lnx?ln(1?x)?lnx1?x． 令f?(x)?0，得x?12．

或

为，

中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com 11当0?x?时，f?(x)?0，f(x)在(0,)是减函数，

2211当?x?1时，f?(x)?0，f(x)在(,1)是增函数， 221所以 时取得最小值，即f(x)在x?211f()?ln． ????????4分 22（Ⅱ）因为 f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)，

所以 f?(x)?lnx?ln(a?x)?ln所以当x?x． a?xa时，函数f(x)有最小值． 2?x1，x2∈R+，不妨设x1?x2?a，则

x1lnx1?x2lnx2?x1lnx1?(a?x1)ln(a?x1)?2?x1?x2x?xln(12) 22?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?． ???

?????8分

（Ⅲ）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当n?1时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n?k( k∈N*)时命题成立，

即若x1?x2???x2k?1，则x1lnx1?x2lnx2???x2klnx2k??ln2． 当n?k?1时，

kx1，x2，?，x2k?1?1，x2k?1满足 x1?x2???x2k?1?1?x2k?1?1．

设F(x)?x1lnx1?x2lnx2???x2k?1?1lnx2k?1?1?x2k?1lnx2k?1， 由

（

Ⅱ

2）

1?1得

F(?1?x)?=

????(x?2k?1?x?)k?1?2

l2xk?n(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2k?1?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?(x1?x2?...?x2k?1)ln2

=(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2k?1?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?ln2．

由假设可得 F(x)??ln2?ln2??ln2kk?1，命题成立．

所以当 n?k?1时命题成立．

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

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所

以

若

?xi?1i?12n，则

n xlnx??ln2?iii?12n． ????????13分 (i,n?N*)（证法二）若x1?x2???x2n?1， 那么由（Ⅱ）可得

x1lnx1?x2lnx2???x2nlnx2n

?(x1?x2)ln[(x1?x2)?ln2]???(x2n?1?x2n)ln[(x2n?1?x2n)?ln2] ?(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?(x1?x2?...?x2n)ln2 ?(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?ln2

?(x1?x2?x3?x4)ln(x1?x2?x3?x4)??(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?2ln2 ???(x1?x2?...?x2n)ln[(x1?x2???x2n)?ln2]?(n?1)ln2??ln2n．

????

????13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）

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