九年级数学上册22.1.2+二次函数y=ax2的图象和性质同步测试+新人

二次函数y＝ax2的图象和性质

1．关于二次函数y＝8x2的图象，下列说法错误的是( C ) A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)

【解析】 ∵抛物线y＝8x2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．

3

2．对于二次函数y＝－x2，下列说法错误的是( A )

4A．开口向上 B．对称轴为y轴 C．顶点坐标为(0，0) D．当x＝0时，y有最大值0

3

【解析】 当a＝－＜0时，二次函数的图象开口向下．

4

3．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( A ) A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，－2) D．(4，－2)

1212

4．已知二次函数：y＝2 013x2，y＝－2 013x2，y＝x，y＝－x，它们图象的共同

2 0142 014特点为( D )

A．都关于原点对称，开口方向向上 B．都关于x轴对称，y随x增大而增大

C．都关于y轴对称，y随x增大而减小 D．都关于y轴对称，顶点都是原点

【解析】 根据y＝ax2的图象特征判断．D正确．

5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( D ) A．y＝x2 B．y＝x－1 31

C．y＝x D．y＝ 4x

【解析】 A不正确，二次函数y＝x2的对称轴为x＝0，在对称轴右侧y随x的增大而增大；B、C中y随x的增大而增大，均不正确，D正确．

图22－1－7

1

6．函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛

2物线对应的函数依次是( D ) 1

A．y＝x2，y＝x2，y＝2x2

21

B．y＝x2，y＝x2，y＝2x2

21

C．y＝2x2，y＝x2，y＝x2

21

D．y＝2x2，y＝x2，y＝x2

2

【解析】 |a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．

2

7．抛物线y＝－x2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x＝__0__

3时，函数有最大值为__0__．

8．若二次函数y＝(m＋2)xm2－3的图象开口向下，则m＝__－5__．

??m＋2<0，

【解析】 根据题意知?2 解得m＝－5.

?m－3＝2，?

39．一个二次函数的图象如图22－1－8所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y＝x2__，

4当x＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x轴对称，那3么另一个函数的解析式为__y＝－x2__，当x＝__0__时，函数y有最__大__值为__0__．

4 图22－1－8

33

【解析】 设y＝ax2，则3＝4a，a＝，∴y＝x2.

44

当x＝0时，y有最小值．关于x轴对称的抛物线的解析式中a值互为相反数． 1

10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝x2，y＝x2，y＝－x2.

2解：列表：

x 1y＝x2 2y＝x2 y＝－x2 描点、连线画图象．

(1)完成上述表格，在图22－1－9中画出其余的两个函数的图象；

(2)由图22－1－9中的三个函数图象，请总结二次函数y＝ax2中a的值与它的图象有什么关系？

… … … … －3 9 －2 2 －1 1 －1 0 0 1 －1 2 2 4 3 －9 … … … …

图22－1－9

9119

解：(1)第二行依次填，，，；

2222第三行依次填4，0，1，9；

第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．

(2)a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小．

11．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( C )

【解析】 在同一平面直角坐标系中，a值的正、负情况应保持一致，只有A、C符合条件，又因为两图象应有两个交点，故选C. 12．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式；

(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y＝ax2，

得－8＝a×(－2)2，解出a＝－2， 所求抛物线的函数解析式为y＝－2x2. (2)因为－4≠－2×(－1)2，

所以点B(－1，－4)不在此抛物线上． (3)由－6＝－2x2，得x2＝3，x＝±3，

所以抛物线上纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)，(－3，－6)．

图22－1－10

13．如图22－1－10，已知直线l过A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在9

第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为，求a的值．

2解：设点P(x，y)，直线AB的解析式为y＝kx＋b， 将A(4，0)，B(0，4)分别代入y＝kx＋b， 得k＝－1，b＝4，故y＝－x＋4， 91

∵△AOP的面积为＝×4×y

229∴y＝

4

97

再把y＝代入y＝－x＋4，得x＝，

4479

所以P(，) 44

7936把P(，)代入到y＝ax2中得：a＝. 4449

14．问题情境：

如图22－1－11，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，点D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别为yE，yF. 特例探究： 填空：

当m＝1，n＝2时，yE＝________，yF＝________； 当m＝3，n＝5时，yE＝________，yF＝________． 归纳证明：

对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想． 拓展应用：

(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a>0)”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；

(2)连接EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．

图22－1－11 解：2 2 15 15 归纳证明：猜想：yE＝yF.

证明：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)， ∴C，D的横坐标分别为m，n. ∵C，D在抛物线y＝x2上，

∴C点的坐标为(m，m2)，D点的坐标为(n，n2)．

设直线OC的解析式为y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1 m，n2＝k2n，解得k1＝m，k2＝n，

∴直线OC的解析式为y＝mx. 直线OD的解析式为y＝nx，

把E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx得 yE ＝mn，yF ＝mn，∴yE＝yF. 拓展应用：(1)yE＝yF.

(2)n＝2m，四边形OAEF为平行四边形．

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