常微分习题

第六章 线性微分方程组

在微分方程理论中，线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容。首先，自然界或工程技术中的大量实际系统常常可以直接用线性微分方程组描述，从而作为线性微分方程组去研究。其次，从数学的理论研究来说，线性微分方程组的研究，可以籍助于线性代数的知识给出适当和充分的解释。最后，线性微分方程组线性微分方程组的理论也是进一步研究非线性微分方程组的基础。 §1一般理论

考虑标准形式的n阶线性微分方程组

?dy1?dx?a11(x)y1?a12(x)y2???a1n(x)yn?f1(x)??dy2?a(x)y?a(x)y???a(x)y?f(x)?2112222nn2（1.1） ?dx??????????????????????dyn?a(x)y?a(x)y???a(x)y?f(x)n11n22nnnn??dx其中系数函数aij(x)和fi(x)(i,j?1,2?n)在区间a?x?b上都是连续的。 若记A(x)?(aij(x))n?n Y?(y1,y2,?,yn)T f(x)?(f1(x),f2(x),?fn(x))T. 则可以把上面的线性微分方程组（1.1）写成向量的形式

dY?A(x)Y?f(x)（1.1） dx当f(x)?0时，称（1）是非齐次的线性微分方程组。 当f(x)?0时，则方程组的形式为

dY?A(x)Y（1.2） dx通常（1.2）称为相应于（1.1）的齐次线性微分方程组。

和第三章中关于一阶方程的结果类似，我们可以证明如下的关于（1.1）的满足初值条件的解的存在唯一性定理。

存在和唯一性定理：设A(x)和f(x)在区间a?x?b上连续，则初值问题

?dY?A(x)Y?f(x)(1.1)? ?dx??Y(x0)?Y0,x0?(a,b)(1.3)在区间(a,b)内存在唯一的解Y?Y(x).

该定理的证明与第三章定理3.1的证明完全类似，都可用Picard逐次逼近法来证明，只要把定理3.1的绝对值换为向量的范数即可。下面简要地给出证明

?dY?A(x)Y?f(x)(1.1)?证明1)设Y?Y(x)是初值问题?dx 的解，

??Y(x0)?Y0,x0?(a,b)(1.3)则Y?Y(x)是积分方程Y(x)?Y0??xx0定义在(a,b)上的连续解，[A(s)Y(s)?f(s)]ds（1.4）

反之亦然。

2）构造Picard迭代向量函数序列，

?Y(x0)?Y0?x取?（1.5）这样就 得到一个Picard

Y(x)?Y?[A(s)Y(s)?f(s)]ds,(n?1,2,?)0n?1?x0??n迭代序列{Yn(x)}，并从上面的迭代过程不难看出，对于一切n，Picard迭代序列{Yn(x)}在

(a,b)上有定义且连续。

3）向量函数序列{Yn(x)}在(a,b)上是一致收敛的。 考虑向量函数级数Y0??[Y(x)?Ykk?1?k?1(x)], a?x?b（1.6）

由于 级数（1.6）的部分和为

Y0(x)??[Yk(x)?Yk?1(x)]?Yn(x)

k?1n因此，要证明序列{Yn(x)}在(a,b)上一致收敛，只要证明级数（1.6）在(a,b)上一致收敛即可。由于A(x)和f(x)都在(a,b)上连续。所以A(x)和f(x)在(a,b)上都有界。即存在正数L和K，使得

A(x)?L，f(x)?K，a?x?b

取M?LY0?K，下证{Yn(x)}在(a,b)上一致收敛。 首先，由（1.5）可导出下面的估计式：

Y1(x)?Y2(x)??A(s)Y0?f(s)ds?M(x?x0) (x0?x?b)

x0xxY2(x)?Y1(x)??x0A(s)[Y1(s)?Y0(s)]ds??LM(s?x0)ds?x0xML(x?x0)22!

MLm?1(x?x0)m (x0?x?b)由于(x0?x?b)由数学归纳法可得Ym(x)?Ym?1(x)?m!MLk?1(b?x0)k收敛， 0?x?x0?b?x0且级数?k!k?1?由Weiestrass判别法知，级数（1.6）在[x0,b)上一致收敛，因而向量函数序列{Yn(x)}在上

[x0,b)也一致收敛，同理可证{Yn(x)}在(a,x0]上也一致收敛。即有{Yn(x)}在(a,b)上一

致收敛。

令limYn?Y(x)因为，Y(x)是Yn(x)的极限函数，所以Y(x)在上(a,b)连续。

n??4）Y(x)是积分方程（4）在区间(a,b)上的连续解。事实上，因为Yn(x)在(a,b)上一致收敛于Y(x)以及A(x)在(a,b)上的连续性，可知{A(s)Yn?1(s)}在(a,b)上一致收敛于

A(s)Y(s)。对积分方程（1.5）两边取极限得到

limYn(x)?Y0?lim?[A(s)Yn?1(s)?f(s)]ds?Y0??limA(s)Yn?1(s)?f(s)]ds即有

n??n??x0x0n??xxY(x)?Y0??[A(s)Y(s)?f(s)]ds

x0x上式表明，Y(x)是积分方程（1.4）定义在(a,b)上的连续解。即Y(x)是初值问题

?dY?A(x)Y?f(x)(1.1)?的解。 ?dx??Y(x0)?Y0,x0?(a,b)(1.3)5）解的唯一性

?(x)是积分方程（4）的定义在(a,b)上的另一连续解。则有设Y?Yx?(x) ??(s)?f(s)]ds令g(x)?Y(x)?YY?Y0??[A(s)Yx0则g(x)是定义在(a,b)上的非负连续函数，且有

g(x)??xx0?(s))ds?xA(s)Y(s)?Y?(s)ds?LA(s)(Y(s)?Y?x0?xx0g(s)ds,

a?x?b（1.7）取g(x)的一个上界M，则由（1.7）可见g(x)?LMx?x0

(Lx?x0)2然后，把它代入（1.7）的右端，又可推出g(x)?M如此递推，可用归纳法得

2!g(x)?M(Lx?x0)nn!让n??，则上述不等式的右端趋于零。因此可推出

?(x),x?(a,b). Y(x)?Y于是方程组（1）满足初始条件（1.3）的解是存在且唯一的。

注：若将此定理的条件和结论与定理3.1作比较，不难发现这里条件虽然仅要求A(x),f(x)连续，但是由A(x)的连续性可知，在x的任意有限闭区间上函数A(x)Y对Y满足李氏条件。值得注意的是，此定理的结论与定理3.1的结论有不同之处，定理3.1的解的存在是局部的，而此定理则指出解在整个a?x?b上存在，即解的存在区间表示局部的，而是大范围的。 在讨论非齐次线性微分方程组（1.1）之前，先讨论齐次线性微分方程组（1.2）。 1. 1齐次线性微分方程组

这里我们主要研究齐次线性微分方程组（1.2）的所有解的集合的代数结构问题。 用记号S表示齐次线性微分方程组（1.2）的一切解组成的集合。即

的解，称为平凡解，即0?S。S?{Y(x)Y?(x)?A(x)Y(x),a?x?b}易知Y(x)?0是（2）所以集合S不是空集。

设Y1(x)和Y2(x)是（1.2）的解，c1和c2是两个任意常数。直接代入（1.2）验证即知，

c1Y1(x)?c2Y2(x)也是（1.2）的解，这技术线性齐次方程组的叠加原理。

引理1（叠加原理）设Y1(x)和Y2(x)都是齐次线性方程组（1.2）的解，则它们的线性组合

Y?c1Y1(x)?c2Y2(x)（8）也是方程组（1.2）的解，其中c1和c2为实的任意常数。

引理1说明，按通常向量的加法，方程组的解集S构成一个线性空间。问题是：这个空间

的维数是多少呢？为此我们需要引进向量函数的线性相关和线性无关的概念。

设在区间a?x?b上给定m个n维的向量函数Y1(x),?,Ym(x)，若存在m个不全为零的常数c1,?cm，使得对a?x?b有恒等式c1Y1(x)???cmYm(x)?0成立，则称向量函数在区间a?x?b上为线性相关的。否则，称Y1(x),?,Ym(x)为线性无关的。 Y1(x),?,Ym(x)例1证明n个向量函数

?x2??xn??x???????000Y1???,Y2???,?,Yn???

??????????????0???0??0??????在任何区间上都是线性无关的。

证 若不然，Y1,Y2,?,Yn线性相关，则由线性相关的定义知，必存在不全为零的n个常数

?x2??xn??x???????000c1,c2,?cn，使得c1???c2?????cn???0从而可得c1x?c2x2???cnxn?0显

??????????????0???0??0??????然它的零点不会多于n个，因而不可能在任何区间上恒为零，故Y1,Y2,?,Yn在任何区间上线性无关。

例2 向量组Y1???cosx??sinx?,Y??2??在任何区间上线性无关。

??sinx??cosx?证 若c1Y1?c2Y2?0，即

cosxsinx?c1cosx?c2sinx?0由于系数行列式?1?0所以c1?c2?0，故Y1,Y2??sinxcosx?csinx?ccosx?0?12在任何区间上线性无关。

例3 证明向量函数组Y1?(cos2x,1,x)T,Y2?(?sin2x?1,1,x)T 在任何区间I上都是线性相关的。 证 事实上，取c1?1,c2??1则

?cos2x???sin2x??0???????c1?1?c1?2????0?,x?I故Y1,Y2在I上线性相关。 ?x??x??0???????问题是：如何判别向量函数的线性无关性？

下面介绍方程组（2）的解函数向量组Yi(x),(i?1,2,?,n)在定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则。为此我们引进Wronsky行列式概念。 设有n个定义在区间a?x?b上的向量函数

Y1?(y11(x),y21(x),?,yn1(x))T,?,Yn?(y1n(x),y2n(x),?,ynn(x))T（1.9）由这n个向量

函数构成的行列式

y11(x),y12(x),?,y1n(x)W[Y1(x),?Yn(x)]?y21(x),y22(x),?,y2n(x)?yn1(x),yn2(x),?,ynn(x)（Wronsky）行列式。

对（1.10）我们介绍在微分方程理论研究中很有用的一个刘维尔公式。

引理2 设（1.2）的一个解组为Y1(x),?,Yn(x)则它的朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式：

（1.10）称为向量函数组（9）的朗斯基

W(x)?W(x0)en?x0trA(s)ds(x)

x其中x0?(a,b)，而trA(x)表示矩阵A(x)的迹。,(a?x?b)（1.11）

即trA(x)??aj?1jj证明 以n?2的情况为例证明之，对于一般的n，其证明是类似的，n?2时，（1.2）成为

?dy1?a11y1?a12y2??dx ??dy2?ay?ay211222??dx?y11(x)??y12(x)?设Y1???,Y2???是该方程组的两个解，由这两个解组成的朗斯基行列式是

y(x)y(x)?21??22?W(x)?y11y21y12 y22利用行列式的求导公式，有

?dWy11?y21dxy11??y22y21?y12y12a11y11?a12y21a11y12?a12y22y11y12???y22y21y22a21y11?a22y21a21y12?a22y22以?a12乘上式右端第一个行列式的第2行的各元素，然后分别加到第一行上去，以?a21乘上式右端第二个行列式的第一行的各元素，然后分别加到第二行上去，得

y11dW?a11y21dxy12y22?a22y11y21y12y22x2dW?(?ajj(x))W(x)由?[a11(x)?a22(x)]W(x)即dxj?12此解出W，即得W(x)?W(x0)eajj(s)ds?x0?j?1

附注1 由引理2可见，由于x0?(a,b)是任取的，因此（1.2）的n个解Y1(x),?,Yn(x)的朗斯基行列式W(x)或者在整个区间a?x?b上不等于零，或者在整个区间a?x?b上恒等于零。下面的定理表明，这是（1.2）的n个解在a?x?b上是线性无关还是线性相关的

重要特征。

定理1 线性微分方程组（1.2）的n个解组Y1(x),是线性无关的充要条件为?,Yn(x)W(x)?0（1.12）

证明 必要性 我们用反证法。

)0。 考虑下面的齐次线性代数方程组设有某一个x0?(a,b)，使得W(x?它的系数行列式就是W(x0)，因为W(x)?0，c1Y1(x0)?c2Y2(x0)???cnYn(x0)?0（1.13）

所以（1.13）有非零解c1,c2,?,cn。以这个非零解c1,c2,?,cn构成向量函数Y(x)：

Y(x)?c1Y1(x)?c2Y2(x)???cnYn(x)（1.14）易知这个解Y(x)满足初始条件Y(x0)?0（1.15）。但是（1.2）的平凡解Y?0，显然满足初始条件（1.15）。于是由解的唯一性知道

Y(x)?c1Y1(x)?c2Y2(x)???cnYn(x)?0，(a?x?b)即Y1(x),?,Yn(x)在(a,b)上线性

相关。这与Y1(x),?,Yn(x)线性无关矛盾，因此，W(x)?0。

充分性 设W(x)对于一切x?(a,b)都不等于零，于是对任何x?(a,b)，W(x)中的列向量

Y1(x),?,Yn(x)是线性无关的。从而向量函数Y1(x),?,Yn(x)在(a,b)上也是线性无关的。

推论1 线性微分方程（1.2）的n个解组Y1(x),?,Yn(x)是线性相关的充要条件为W(x)?0，

(a?x?b)。

现在，我们来证本节的主要结论。

定理2 齐次线性微分方程组（1.2）在区间a?x?b上有n个线性无关解

?1(x),?2(x),?,?n(x)（1.16）而且它的通解为Y?c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)（1.17）

其中c1,c2,?cn是任意常数。

证明 首先证明方程组（1.2）在区间a?x?b上有n个线性无关的解。 任取x0?(a,b)，根据解的存在唯一性定理，（1.2）分别满足初值条件

?1??0??0???????01?????0??1(x0)??0?,?2(x0)??0?,?,?n(x0)??0?的解?1(x),?2(x),?,?n(x)一定存在。又因

????????????????0??0??1???????为这n个解?1(x),?2(x),?,?n(x)的朗斯基行列式W(x0)?1?0，故根据定理1，

?1(x),?2(x),?,?n(x)是线性无关的。

其次证明（1.17）表示方程组（1.2）的通解。这里需要证明如下两点：

n1

0?c?(x)是（1.2）的解，由引理1立即可推得。

iii?120 方程组（1.2）的任何一解Y(x)必可表示为上述n个线性无关解?i(x)，(i?1,2,?,n)的线性组合。即Y?c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)

任取x0?(a,b)，令Y?c1?1(x0)?c2?2(x0)???cn?n(x0)（1.18）

把（1.18）看作是以c1,c2,?cn为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式为

W(x0)。因为?1(x),?2(x),?,?n(x)是线性无关的。根据定理1知W(x0)?0，由线性代

数方程组的理论，方程组 （1.18）有唯一解c1,c2,?,cn以这组确定了的ci,(i?1,2,?,n)构成向量函数c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)根据引理1，知它是（1.2）的解。注意到（1.18）可知（1.2）的两个解Y(x)与c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)具有相同的初值条件，从而由解的唯一性，得Y(x)?c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)故定理得证。

定理2是本节的主要定理，它告诉我们，只要找到齐次线性方程组的n个线性无关的解，就可以得到它的通解。

通常称齐次线性方程组（1.2）的n个线性无关的解Yi(x),(i?1,2,?,n)为一个基本解组，因此，求（1.2）的通解，只须求它的一个基本解组。

1??2cosxsin2x?1??y1?d?y1??2例1验证微分方程???（1.19）的通解为????dx?y2??1?y2?sin2x??sin2x?1??2??excosx??y1???sinx???c2????c1?x?（1.20）

ycosx???2??esinx??excosx???sinx?解直接代入可以验证?x?,??（1.21）是齐次线性方程组（1.19）在区间

?esinx??cosx????x???上的两个解；且它们的朗斯基行列式W(x)在x?0的值为 10W(0)??1?0

01所以（1.21）是一个基本解组，从而（1.20）是通解。

推论2 线性齐次方程组（1.2）的线性无关解的个数不能多于n个。

证明 设Y1(x),?,Yn(x),Yn?1(x)是方程组（1.2）的任意n?1个解，现任取其中n个解，比如取前n个解Y1(x),?,Yn(x)，于是，或者这n个解线性相关，因而这n?1个解也线性相关；或者这n个解线性无关，从而构成（1.2）的基本解组。由定理2可知，存在c1,c2,?,cn，使得Yn?1(x)?c1Y1(x)???cnYn(x)这说明这n?1个解是线性相关的。 由定理2及推论2可知，线性空间?的维数为n，于是可得结论： 引理3 ?是一个n维线性空间。

最后，我们将本节的定理写成矩阵的形式，这种不同的表示方法今后会有用的。如果一个n?n矩阵的每一列都是（1.2）的解矩阵。

设Yi(x),(i?1,2,?,n)是（1.2）的一个基本解组，矩阵?(x)?(Y1(x),?,Yn(x))（1.22）

称为（1.2）的一个基解矩阵。

一旦求得（1.2）的一个基解矩阵?(x)，则由定理2可知，它的通解为Y??(x)C（1.23）其中 是n维的任意常数列向量。

从定理1，定理2及（1.23）式，可得如下推论

推论3 1）设?(x)是方程组（1.2）的一个基解矩阵，则对于任一个非奇异的n阶常数矩阵C，矩阵?(x)??(x)C（1.24）也是（1.2）的一个基解矩阵。2） ?(x)和?(x)都是方程组（1.2）的基解矩阵，则必存在一个非奇异的n阶常数矩阵C使得（1.24）成立。 证1）首先，根据解矩阵的定义知，方程组（1.2）任一解矩阵Y(x)必满足关系

Y?(x)?A(x)Y(x),(a?x?b)反之亦然。现令?(x)??(x)C,(a?x?b)

微分上式，并注意到?(x)为方程组（1.2）的基解矩阵，C为常数矩阵，得

??(x)???(x)C?A(x)?(x)C?A(x)?(x)即?(x)是方程组（1.2）的解矩阵，又由C的

非奇异性，有det?(x)?det?(x)?detC?0,(a?x?b)由定理1知?(x)即?(x)C也是（1.2）的基解矩阵。

2）因为?(x)为基解矩阵，故其逆矩阵??1(x)一定存在，现令??1(x)?(x)?Y(x)或

?(x)??(x)Y(x)易知Y(x)是n?n可微矩阵，且detY(x)?0又?(x)为基解矩阵。于是，

A(x)?(x)???(x)???(x)Y(x)??(x)Y?(x)?A(x)?(x)Y(x)??(x)Y?(x)?

A(x)?(x)??(x)Y?(x)由此推知?(x)Y?(x)?0进而推知Y?(x)?0即Y(x)为常数矩阵，记为C，又由detY(x)?0故C为非奇异的n 阶常数矩阵。因此我们有?(x)??(x)C。

1.2非齐次线性方程组

现在，我们可以利用上面1.1的结果来推导非齐次线性方程组

dY?A(x)Y?f(x)（1.1）的通解结构。 dx首先讨论非齐次线性方程组（1.1）和与它对应的齐次线性方程组

dY?A(x)Y（1.2）之间的关系。 dx引理4 如果?(x)是与（1.1）对应的齐次线性方程组（1.2）的一个基本解矩阵，?(x)是

*（1.1）的一个特解，则（1.1）的任一解Y??(x)可以表示为?(x)??(x)C???(x)（1.25）

*其中C是一个与?(x) 有关的常数列向量。

证明 首先证明公式（1.25）表示非齐次线性方程组（1.1）的解。事实上，由（1.25）得

??(x)???(x)C??*?(x)?A(x)?(x)C?A(x)?*(x)?f(x)?A(x)[?(x)C??(x)]?f(x)?A(x)?(x)?f(x)即由（1.25）式表达的?(x)是方程组（1.1）的解。

*

其次，由Y??(x)是方程组（1.1）的任一解，则有??(x)?A(x)?(x)?f(x) 另外，?*(x)为（1.1）的一个特解。从而有

?*?(x)?A(x)?*(x)?f(x)两式相减后，得(?(x)??*(x))??A(x)(?(x)??*(x))

这就是说?(x)??*(x)是齐次线性方程组（1.2）的一个解，因此，由（1.23）可知，存在常数列向量C，使得?(x)??*(x)??(x)C

从而?(x)??*(x)??(x)C这就证明了公式（1.25）表达了方程组（1.1）的一切解。 由引理4可知，若已知齐次线性微分方程组（1.2）的一个基解矩阵?(x)，那么非齐次线性方程组（1.1）的求解问题就归纳为求它的一个特解?*(x)。至于如何求这个特解?*(x)，下面介绍拉格朗日的常数变易法。这种方法的基本思想如下。

因为Y??(x)C是齐次方程组（1.2）的解，所以它不可能是非齐次方程组（1.1）的解。现在我们希望把C换为x的待定的向量函数C(x)，使得?(x)??(x)C(x)（1.26）是线性非齐次方程组（1.1）的一个特解。为此，把（1.26）代入方程组（1.1），得到

*??(x)C(x)??(x)C?(x)?A(x)?(x)C(x)?f(x)（1.27）由于?(x)是（1.2）的基解矩阵，

故??(x)?A(x)?(x)把它代入（1.27），消去相应的项，得到?(x)C?(x)?f(x)（1.28） 又因为?(x)是（1.2）的基解矩阵，所以它的朗斯基行列式det?(x)?0，(a?x?b)从而

??1(x)存在。用??1(x)左乘（1.28）的两侧，得到C?(x)???1(x)f(x)

由于我们只需要它的一个特解，故取初值条件为C(x0)?0的特解

C(x)????1(s)f(s)ds把上式代回（1.26）式，就得到非齐次线性微分方程组的一个特解

x0x?*(x)??(x)???1(s)f(s)ds（1.29）

x0x

这样一来，我们就得到下面的引理5

引理5 设?(x)是（1.2）的一个基解矩阵，则（1.29）式给出非齐次线性方程组（1.1）的一个特解。

综合上面的结果，我们得到

定理3 设?(x)是（1.2）的一个基解矩阵，则非齐次线性方程组（1.1）在区间a?x?b上的通解可以表示为Y??(x)(C??xx0??1(s)f(s)ds)（1.30）其中C是n维的任意常数列向

量，而且（1.1）满足初值条件Y(x0)?Y0的解为Y??(x)??1(x0)Y0??(x)（1.31）其中x0?(a,b)。

?xx0??1(s)f(s)ds附注2 公式（1.30）和（1.31）称为非齐次线性方程组（1.1）的常数变易公式。 例2求解初值问题

?1??2cosxsin2x?1?d?y1????y1??cosx?2???????????yy2??sinx?1dx2??2??sin2x?1??sinx?? ??2????y1(0)??0???y(0)???1???2???解 由例1知，对应的齐次线性方程组有一个基解矩阵

?excosx?sinx??(x)??x?

?esinxcosx?可以求出

?e?xcosxe?xsinx??1?10??(x)??,?(0)????

cosx??01???sinx?1由公式（1.31），即得到所求初值问题的解为

?y1??10??0?x?e?scosse?ssins??coss???????(x)[??????0??ds]y011sins?sinscoss??????2?????excosx?sinx??1?e?x??0?x?e?s???(x)[??????ds]??x???001esinxcosx1?????????(ex?1)cosx?sinx???x?(e?1)sinx?cosx??由上面可见，只要知道齐次线性方程组（1.2）的一个基本解矩阵，就可以通过积分求出非齐次线性方程组（1.1）的通解或特解。但是使用公式（1.30）或（1.31）时，需要计算逆矩阵??1

，即方程组 ?x?，而往往结果是很繁的。因此在具体求解时，可由（1.28）

?(x)y11(x)?c2?(x)y12(x)???cn?(x)y1n(x)?f1(x)?c1?c?(x)y(x)?c?(x)y(x)???c?(x)y(x)?f(x)?121222n2n2（1.32） ?????(x)yn1(x)?c2?(x)yn2(x)???cn?(x)ynn(x)?fn(x)?c1中解出ci?(x)??i(x),(i?1,2,?,n)积分后得到ci(x)??i(x)dx?ci,(i?1,2,?,n)

?把它们代入（1.26），就得（1.1）的通解。 非齐次线性微分方程组也有叠加原理 设方程组

dY?A(x)Y?fi(x),(i?1,2)分别有解Y1(x),Y2(x)，则Y1(x),Y2(x)是方程组 dxdY?A(x)Y?c1f1(x)?c2f2(x)的解。 dx§2 常系数线性微分方程组

在上一节定理3中给出的常数变易公式，是二章一阶线性方程的求解公式的推广，但是两者有一个很大的区别。一阶线性方程的求解公式提供了实际求解的计算公式，但这里给出的常数变易公式（1.30）和（1.31）却依赖于齐次方程组（2）的一个基解矩阵?(x)，而在一般情况下，我们很难求出?(x)的有限形式。因此，常数变易公式（1.30）和（1.31）解提供的仅是一种结构公式，并没有完全解决非齐次线性微分方程组（1.1）的求解问题。在本节的讨论中，我们将看到，对于常系数线性齐次方程组，求它的基本解矩阵可以归纳为代数运算。因此，系数为常数的线性方程组的求解问题将获得彻底解决。 所谓常系数线性微分方程组，指的是线性微分方程组

dY?AY?f(x)（2.1）其中的系数dx矩阵A为n阶常数矩阵，而f(x)是在a?x?b上连续的向量函数。

由前面的讨论可知，求解线性微分方程组（2.1）的关键是求出相应的齐次线性微分方程组

dY?AY（2.2）的一个基本解矩阵。 dx当n?1时，矩阵A就是一个实数a，此时方程（2.2）成为 dy?ay（2.3） dx它的通解是y?ec其中c为任意常数。下面我们将要指出，齐次线性微分方程组（2.2）也有类似的结果。在此之前，我们需要定义矩阵指数函数e并讨论其性质。 2.1矩阵指数函数的定义和性质 命题1 矩阵A的幂级数

?A2AkAk0（2.4）是绝对收敛的。这里我们规定A?E E?A???????E??2!k!k?1k!AxaxAAn?证明 对一切正整数n，有从而有 n!n!E??k?1nn?AAAkA?E???1???e因此矩阵级数（2.4）是绝对收敛的。 k!k?1k!k?1k!kkn利用命题1,现以记号e（或expA）表示上述矩阵级数的和，并称为矩阵A的指数函数，

AAk即e??.

k?0k!A?命题2 矩阵指出函数有下面的性质：

1） 若矩阵A，B是可交换的，即AB?BA。则exp(A?B)?expA?expB（2.5） 2） 对任何矩阵A，(expA)?1存在。且(expA)?1?exp(?A)（2.6） 3） 若P是一个非奇异的n阶矩阵。则exp(PAP?1)?P(expA)P?1（2.7）

?AkBl证明1）由于矩阵级数expA??和expB??是绝对收敛的，因而关于绝对收敛

k!l!k?0l?0?值级数运算的一些定理。如任意改变项的顺序及级数的乘法定理等结果，都可用于矩阵级数，

由绝对收敛级数的乘法定理得

A2B21expA?expB?(E?A???)(E?B???)?E?(A?B)?(A2?2AB?B2)??2!2!2!（2.8）

另一方面，由二项式定理及AB?BA，得

exp(A?B)?E?(A?B)?11(A?B)2???E?(A?B)?(A2?2AB?B2)??2!2!（2.9）比较两式（2.8），（2.9），即推得（2.5）

2）由于A与?A是可交换的，故由性质1）有expA?exp(?A)?exp(A?A)?exp0?E。故(expA)3）由于

??(PAP?1)kPAkP?1Ak?1exp(PAP)?E???E???E?P(?)P?P(expA)P?1。

k!k!k?1k?1k?1k!?1??1?exp(?A)。

有了矩阵函数的基本概念及其性质，我们就可以利用它来研究方程组（2.2）的基本解矩阵，

进而给出其通解。

2.2常系数齐次线性方程组的基本解矩阵

显然，常系数齐次 线性方程组是变系数齐次线性方程组的特殊情形。因此关于变系数齐次

线性方程组的结果都可以用于常系数齐次线性方程组。然而由于它的特殊性，我们将看到，对于一般的变系数齐次线性方程组，其基解矩阵一般往往不易求得，但对于常系数齐次线性方程组，我们总可以求出它的基解矩阵。

定理4 矩阵指数函数?(x)?exA是（2.2）的一个标准基解矩阵（即基解矩阵?(x)满足

?(0)?E）。

xkAk证明 由于级数exp(xA)?E??在x轴上处处收敛。它的每一项都是x的连续可微

k!k?1?xk?1k函数，由它的每一项导数组成的级数?A在x轴上的任何闭区间上都是一致收敛

K?1(k?1)!?的。于是exp(xA)在x轴上处处连续可微，其导数可以由逐项求导得到。于是我们有

dx2A3xk?12?(x)?(exp(xA))??A?xA????Ak??dx2!(k?1)!?A(E?xA?x2xA???Ak?1??)?Aexp(xA)?A?(x)2!(k?1)!2k?1

这表明?(x)是（2.2）的基解矩阵。

另一方面，由于?(0)?E，所以det?(0)?detE?1?0，因此，?(x)?exp(xA)是（2.2）的基解矩阵，且是标准的。

由定理4可知，方程组（2.2）的通解为Y(x)?exp(xA)C其中C是一个常数向量。 若?(x)是方程组（2.2）满足初始条件?(x0)?Y0的解。从而有Y0?exp(x0A)C即有

C?exp(?x0A)Y0故得方程组（2.2）满足初始条件Y(x0)?Y0的解为

?(x)?exp(xA)exp(?x0A)Y0?exp[(x?x0)A]Y0

类似把定理4应用到定理3，即得

推论3 常系数非齐次微分方程组（2.1）在区间(a,b)上的通解为

Y?exp(xA)C??exp[(x?s)A]f(s)ds（2.10）

x0x其中C为任意的常数列向量；而（2.1）满足初始条件Y(x0)?Y0的解为

Y?exp[(x?x0)]AY0??exp[(x?s)A]f(s)ds（2.11）其中x0?(a,b)

x0x定理4告诉我们，方程组（2.2）的基解矩阵就是矩阵exp(xA)。问题似乎已解决了。但是

exp(xA)是一个矩阵级数。这个矩阵的每一个元素是什么呢？即这种用矩阵无穷级数定义的

指数函数exp(xA)，是否可以用初等函数的有限形式表达出来，若可能的话，又如何计算它呢？

首先我们指出，在某些特殊情况下，容易得到方程组（2.2）的基解矩阵exp(xA)的具体形式。

?a1?例1设A?????a2???为一个对角矩阵，试求出（2.2）的基解矩阵。 ???an?解由矩阵指数函数的定义，可得

?a1?exp(xA)?E?x?????ea1x???????ea2xa2?a12??2?x????2!?????an??a22??a1k?k?x??????k!?????an2???a2k????????ank????????eanx????akyk因此它可以分别上述结果是很明显的，因为在上述特殊情况下，方程组可以写成yk进行积分而得到。 例2 试求

dY?11????Y的基解矩阵。 dx?01??1?01???1??1??00??0???1??01??10?其中?E?ZE????为单位矩阵，而

0?01??解 因为A???01?。由于单位矩阵与任一矩阵是可以交Z???为幂零矩阵（即它的某一方幂为零矩阵）

?00?换的，故得到

?exexp(xA)?exp(xE)?exp(xZ)???0?01??00?但是??????0

0000????20??01?x2?01?[E?x???????] x?e??00?2!?00?2

?1x??ex所以级数只两项。因此，基解矩阵就是exp(xA)?e????01???0xxex? x?e?由上例可以看出，幂零矩阵的指数函数展开式实际上是一个有限和。这是我们解决问题的关

键所在。

由线性代数可知，任一矩阵A在相似变换下都可以化为约当标准型J，而J的每一约当块

exp(xJ)可以表成初等函数有限和的形式。又可分解为矩阵?E和一个幂零矩阵之和。因此，

2.3利用约当标准型求基解矩阵

由线性代数中的约当标准型定理知道，对于任给的n阶矩阵A。必存在一个非奇异的n阶矩

阵P，使得A?PJP?1?J1?其中J?????J2???为约当标准型，而???Jm???i?Ji?????1?i????是对应于矩阵A的初等因子(???)ni的n阶约当块。

ii?1???i??i,(i?1,2,?,m)是A的特殊值，且

n1?n2???nm?n。则Ji有如下分解式

??i?Ji??????i??01????0???????E?Z

i????1?????i??0?其中Z是幂零矩阵（它的ni次幂为零矩阵）。由于矩阵?iE与任何矩阵都可以交换，因此用例2类似的方法容易得出

?0??xJi?ixe?eE[E?x??????00??00xni?1???0(ni?1)!????1??001????0100??x2??0????0?1????2!???1??0???0?0????

01??0????]??0?0??由此可得它的初等函数有限和的形式，即

exJi?x2xni?1???1x?2!(n?1)!i???xni?2?1x????e?ixx?(ni?2)!?（2.12）(i?1,2,?,m)。

????????x????1????? ???exJm??xA再用例1的方法可得

?exJ1?exJ??????exJ2又由命题2中的结论3），有e?ePxJP?PexJP?1（2.13）

xA?1实际上，公式（2.13）已经给出了计算方程组（2.2）的基解矩阵e的一个方法。另外，由§1中的推论3及P的可逆性，可知eP也是（2.2）的一个基解矩阵。再由（2.13）得到

xAexAP?PexJ（2.14）即

?exJ1?exAP?P?????其中exJiexJ2???（2.15） ???exJm??，(i?1,2,?,m)由（2.12）给出。

由上述讨论可知，从（2.14）或（2.15）来求（2.2）的基解矩阵，与从（2.13）来求（2.2）

的基解矩阵相比，虽然可以避免求逆矩阵且减少一次矩阵的乘法运算。但是求约当标准型J和过渡矩阵P的计算量一般仍然很大。因此实际求解时，是在上述分析的基础上，先搞清楚（2.2）的解的形状，然后用待定系数法来求解。

2.4待定指数函数法

由于矩阵A的约当标准型倚赖于它的特征根的重数，下面我们分两种不同的情形讨论 一）A只有单的特征根

设?1,?2,?,?n是A的n个不同特征根，则A的约当标准型J就是一个对角矩阵。从而由（2.14）即可得相应的基解矩阵

?e?1x??(x)?exAP?P?????e?2x??? ???nx?e??显然?(0)?P，故有exA??(x)??1(0)（2.16）

这样，问题的关键是如何确定矩阵P，令?i表示P的第i列的向量， 则有?(x)?(e1?x?1,e?x?2,?,e?x?n)由此可以看出方程组（2.2）有如下形式的解：e?x?i其

2ni中?i是一个待定的常数列向量。

考虑（2.2）的形式为Y?e?x?,??0（2.17）的解。其中常数?和向量?是待定的，为此，将（2.17）代入（2.2），得到?e?x??Ae?x?因为e?x?0上式变为(A??E)??0（2.18）

这就表示e?x?是（2.2）的解的充要条件就是常数?和向量?满足方程（2.18），方程（2.18）可以看作向量?的n个分量的一个齐次线性代数方程组。根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是?满足方程det(A??E)?0（2.19）对应（2.19）的每一个特征根?j；将它代入（2.18），求得的非零向量?i，称为矩阵A的对应?j的特征向量。由以上讨论，就得如下引理

引理6 微分方程组（2.2）有非零解Y?e应的特征向量。

进一步，我们可以证明如下定理

定理5 设n阶矩阵A有n个互不相同的特征根?1,?2,?,?n，则矩阵函数

?x?当且仅当?是矩阵A的特征根，且?是与?相

?(x)?(e?1x?1,e?2x?2,?,e?nx?n)是（2.2）的一个基解矩阵。其中?i是A的与?i相应的特

征向量。

证明 由引理6知每一个向量函数e?jx?j,(j?1,2,?,n)都是（2.2）的解，因此

?(x)?(e?1x?1,e?2x?2,?,e?nx?n)是（2.2）的一个解矩阵，又由线性代数的结果，对应于不

同的特征根的特征向量是线性无关的，所以det?(0)?det(?1,?2,?,?n)?0因此由定理1可知。?(x)的（2.2）的一个基解矩阵。

利用引理6，还可证明以下强于定理5的结果的一个定理。

定理5 设?1,?2,?,?n是矩阵A的n个线性无关的特征向量。则矩阵函数

*?(x)?(e?1x?1,e?2x?2,?,e?nx?n)是方程组（2.2）的一个基解矩阵，其中?1,?2,?,?n是矩

阵A的与?1,?2,?,?n相应的特征根，它们不必互不相同。

证明 由引理6知，?(x)是（2.2）的一个解矩阵，又因为向量?1,?2,?,?n是线性无关的，所以det?(0)?det(?1,?2,?,?n)?0因此由定理1知，?(x)是（2.2）的一个基解矩阵。

?5?28?18?dY?????153?Y的通解 例3 求微分方程组

dx???3?16?10?解 特征方程为det(A??E)??3(1??2?)因0此矩阵A有特征根?1?0，?2?1和

?3??1，都是单根。

对于?1?0，求非零向量?1?(?11,?21,?31)T使得

?5?28?18???11??????153????21??0 ?3?16?10???????31?解上述关于未知数?11,?21,?31的方程组，即得

?5?11?28?21?18?31?0????11?5?21?3?31?0 ?3??16??10??02131?11第2个方程乘以4加上第3个方程乘以3即得第一个方程，所以为了求解上述方程组，只要

解第2第3两式即可。解得

?1153?16?10??213?1?103??31?153?16即

?11?2??21?1??311

??11???2?????故可取?1???21????1?

????1??31???类似可求得

?2??3?????2???1,????3?0?

?2??1?????因此所求通解为

??2??2??3???????Y?c1??1??c2??1?ex?c3?0?e?x其中c1，c2，c3为任意常数。

?1??2??1???????附注1在本教材中，我们讨论实数域上的微分方程，因此这里A为实矩阵。然而这时A的特征根不一定是实数，而可能有（共轭的）复特征根，从而定理5中的矩阵?(x)可能是复的。但是我们知道，如果A是实的，那么e也是实的。因此，当A是实的时，公式（2.16）给出一个构造实的基解矩阵的方法。 例4 求解微分方程组

xAdY?11????Y ?11dx??解 特征方程为

1??1??2?2??2?0

?11??特征根为?1?1?i,?2?1?i

对于?1?1?i求非零向量?1?(?11,?21)T使得

??i1???11???????0 ??1?i??21???i?11??21?0?1?即?故可取?1??? ???11?i?21?0?i??i?类似可求得相应于?2?1?i的特征向量为?2???

?1?由定理5知，矩阵

?e(1?i)x?(x)??(1?i)x?ieie(1?i)x?x?eix?e?ix(1?i)x?e??ieie?ix? ?ix?e??1就是一个基解矩阵，这是一个复值矩阵。根据（2.16）及附注，可得实的基解矩阵

ixxA?1x?ee??(x)?(0)?e?ix?ie?cosxsinx?ex????sinxcosx?ie?ix??1i?1x?eix??e?ix?ix??2?iee??i1?ie?ix??1?i????ix??e???i1?

由此可得微分方程组的通解Y?c1e?x?cosx?x?sinx??ce?2??其中c1和c2是任意常数。

??sinx??cosx?不难看到利用公式（2.16），从复矩阵?(x)构造实的基解矩阵的方法中，需要计算逆矩阵

??1(0)，一般当n较大时，计算量是比较大的，因而在应用时并不是太方便。下面再介绍

一个从复值解求实值解的方法。

设（2.2）有一个复值解Y1?u(x)?iv(x)。因为A是实值的，可知Y1的共轭

1Y2?u(x)?iv(x)也是（2.2）的一个复值解。从而它们的实部u(x)?(Y1?Y2)和虚部

21v(x)?(Y1?Y2)都是（2.2）的实值解，这样，就可以从一对共轭的复值解推导出另外一

2i对实值解，以代替原来的那一对复值解，最后得到n个线性无关的实值解。

从上例的?(x)可以看出，它的第一列

?eix?x?cosx?x?sinx?Y1?e?ix??e???ie??是一个复值解。

?sinxcosx?????ie?x因此，它的实部和虚部u(x)?ex??cosx?x?sinx?,v(x)?e???是二个线性无关的实解，因此

??sinx??cosx??cosx?x?sinx?同样可得通解Y?c1e???c2e??

?sinxcosx????x二）A有重的特征根

若矩阵A的特征根有重根时，那么就得不到n个不同的特征根。在这种情况下，一般说来也就得不到n个线性无关的特征向量以构成（2.2）的n个线性无关的解。下面我们就来讨论这种情形。

设A是一个n?n矩阵，?1,?,?s是A的不同特征根，它们的重数分别为n1,?,ns，这里

n1?n2???ns?n。在A的约当标准型J中，与?i相对应的约当块可能不止一个，但这

些约当块的阶数之和为ni，?i?1,2,?,s?。由（2.15）式可以推出，在（2.2）的基解矩阵

exAP的所有列向量中，与?i相关的ni列都具有下列形式

??xx2xni?1Y?e??0??1??2????ni?1?（2.20）

1!2!(ni?1)!???ix其中?j，?j?0,1,?,ni?1?是n维常数列向量，下面的引理7就给出了确定诸?j的方法。 引理7 设?i是矩阵A的ni重特征根，则（2.2）有形如（2.20）的非零解的充要条件是：?0是齐次线性代数方程组

(A??iE)ni??0（2.21）的一个非零解。而（2.20）式中的?1,?,?ni?1是由下面的关系式

逐项确定的：

??1?(A??iE)?0???(A??E)??2i1（2.22） ?????n?1?(A??iE)?n?2i?i证明 设齐次微分方程组（2.2）有形如（2.20）的非零解，于是把（2.20）代入（2.2）得到

xxni?1xxni?2?ix?ie(?0??1????ni?1)?e(?1??2????ni?1)1!(ni?1)!1!(ni?2)!?ixxx?Ae?i(?0??1????ni?1)1!(ni?1)!消去e

?ixni?1

，得

xxni?1xxni?2(A??iE)(?0??1????ni?1)??1??2????ni?1

1!(ni?1)!1!(ni?2)!比较x的同次幂的系数即得

?(A??iE)?0??1?(A??iE)?0??1??2?(A??iE)?0??2?(A??iE)?1??2??亦即?? ???(A??E)??ni?1(A??E)?0??ni?1ini?2??ni?1i???(A??iE)?n?1?0?(A??E)ni??0i?i0?因此，?0是（2.21）的非零解（否则（2.20）是（2.2）的零解），而?1,?,?ni?1满足（2.22）。注意在?1,?,?ni?1中只有前m个是非零向量，以后的全是零向量，其中m可能是1,2,等等，但最多是ni。

以上的推导过程可以全部逆推回去，故引理得证。

由线性代数的知识，我们有如下结果。

命题4 设矩阵A的互不相同的特征根为?1,?,?s，它们的重数分别为n1,?,ns，

(n1?n2???ns?n)；记n维常数列向量所组成的线性空间为V，则1）V的子集合

Vi?{??V(A??iE)ni??0}是矩阵A的ni，?i?1,2,?,s?维不变子空间，并且

2）V有直和分解V?V1?V2???Vs这样我们就可得如下主要结果。

定理6 设n阶实值常数矩阵A在复数域中互异的特征根为?1,?,?s，相应的重数分别为

n1,?,ns，(n1?n2???ns?n)。则常系数齐次线性微分方程组（2.2）有基解矩阵?(x)(1)(1)1为[e1P1(x),?,ePn1(x);?;e?x?x?sx?sx(s)(s)P(x),?,eP1ns(x)]（2.23）其中

P(x)??(i)j(i)j0x(i)x2(i)xni?1(i)??j1??j2????j,ni?1（2.24）是与?i相应的第j个向量多项1!2!(ni?1)!iii??????式?i?1,2,?,s;j?1,2,?,ni?，而?10是齐次线性代数方程组（2.21）的ni个,?20,?,?ni0线性无关解，且??jk?，?i?1,2,?,s;j?1,2,?,ni;k?1,2,?,ni?1?是把??j0?代替（2.22）

ii中的?0而依次得出的?k。

附注2 当所得出的?(x)是复值时，可利用本节附注1所述的方法，从?(x)提取实值基解矩阵。

0??31dY?????4?10?Y 例5 求解方程组

dx???4?8?2?3??解 由于det(A??E)??41?1???800??(??2)(??1)2 ?2??4所以矩阵A有特征根?1??2（单重根），?2?1（二重根）。

?0???如前例那样，容易求得?1??2对应的特征向量?1??0?

?1???考察二重特征根?2?1，容易算出

?A??2E?2?210??000????????4?20???000? ?4?8?3??28449?????22故，方程?A??2E???0有二个线性无关的解为

?10?11??3????????7?和?20???6? ?0??20?????把它们分别代入（2.22），并注意ni?2，得

?210??11??15??210??3??0?????????????11???4?20?7??30???4?20和21??????????6???0?

?4?8?3??0??20??4?8?3??20??0?????????????从而可得到方程组的一个基解矩阵

?0??(x)??0?e?2x?(11?15x)ex??7?30x?ex100xex3ex???6ex? 20ex??因此，方程组的通解为Y??(x)C其中C为任意常数列向量。或改写成下列形式

?0??11?15x??3???????Y?c1?0?e?2x?c2??7?30x?ex?c3??6?ex其中ci，?i?1,2,3?是任意常数。

?1??100x??20????????5?10?20?dY????5510?Y 例6 求解方程组

dx?9??24?解 由于det(A??E)??(??5)(?2?4??5)

所以矩阵A有特征根?1?5,?2?2?i,?3?2?i都是单根。

??10?10?20??102?????010???010? 对于?1?5，可以算出(A??1E)??5?2??44????000???2???（符号?表示对矩阵施行初等变换的过程），因此与?1相应的特征向量可取为?1??0?

?1?????10??7?i?10?20????3?i10???01对于?2?2?i，可以算出(A??2E)??5??2?47?i???00????3?i???因此与?2相应的特征向量可取为?2??2?i?

??2???31??i?22?11?i?

2??0????3?i???而?3??2，因此?3??2??2?i?从而可得方程组的一个基解矩阵

??2?????2ex??(x)??o?5x?e??3?i?e?2?i?x?3?i?e(2?i)x???2?i?x?2?i?x?2?i?e?2?i?e?

?2e?2?i?x??2e?2?i?x??为了得到实基解矩阵，采用附注1的方法，由?(x)的第二列，即

??3??1???3?i????2?i?x??????2x2?i???2??i??1??e?cosx?isinx???e??2???????????2??0???

??3????1???1??3????????????????2?cosx???1?sinx?e2x?i???1?cosx??2?sinx?e2x???0?????2????????????2????0??取实部与虚部，得到二个线性无关的实解

?3cosx?sinx??cosx?3sinx??2x??2x?2??2cosx?sinxe,???cosx?2sinx3????e

??2cosx????2sinx????于是方程组的实基解矩阵为

??2e5x?(x)??0???e5x??3cosx?sinx?e2x?cosx?3sinx?e2x???2cosx?sinx?e2x??cosx?2sinx?e2x?

?2cosxe2x?2sinxe2x???(x)C其中C为三维的任意常数列向量。 因此所求方程组的通解为Y??注意：在某些特殊情形下，也可以不采用上述介绍的方法求解，而是针对矩阵A的特点采

用相应的方法求解。

?220?dY????0?11?Y 例7 求解方程组

dx???002?解 经过计算可知，矩阵A有单重特征根?1和二重特征根2，很自然可以采用上面介绍的方法求解。但是，根据矩阵A的特点。我们可以采用较简捷的方法。将方程组写成分量的形式

?dy1?dx?2y1?2y2??dy2??y2?y3 ??dx?dy3?dx?2y3?容易看到，由第三个方程的线性方程

dy3?2y3容易求得y3?c3e2x将它代入第二个方程，得到关于y2dxdy2??y2?c3e2x dx求解此一阶线性方程，得

1y2?c2e?x?c3e2x

3再把y2代入第一个方程，得到关于y1的线性方程

dy12?2y1?2c2e?x?c3e2x dx3求此一阶线性方程，得

22y1?c1e2x?c2e?x?c3xe2x

33因此，方程组的通解为

?2??2??3x???3??1?????1?2x??Y?c1?0?e2x?c2?1?e?x?c3?e其中c1,c2,c3是任意常数。

?3??0??0?????1??????????

?dy1?dx?2y1?2y2??dy2??y2?y3 ??dx?dy3?dx?2y3?容易看到，由第三个方程的线性方程

dy3?2y3容易求得y3?c3e2x将它代入第二个方程，得到关于y2dxdy2??y2?c3e2x dx求解此一阶线性方程，得

1y2?c2e?x?c3e2x

3再把y2代入第一个方程，得到关于y1的线性方程

dy12?2y1?2c2e?x?c3e2x dx3求此一阶线性方程，得

22y1?c1e2x?c2e?x?c3xe2x

33因此，方程组的通解为

?2??2??3x???3??1?????1?2x??Y?c1?0?e2x?c2?1?e?x?c3?e其中c1,c2,c3是任意常数。

?3??0??0?????1??????????

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