工程力学材料力学篇复习资料

工程力学材料力学篇学习资料

声明一：材料力学篇书上有好多经典的例题，需要你认真琢磨~考试比重来讲静力学也就占20分，而材料力学则占80分，所以要认真复习哦~

声明二：本资料列出的都是考试重点，可能不会包含程老师上课讲的所有内容，彻底掌握本资料上的所有内容考试就ok啦~

声明三：由于本人比较笨，有些图片不会用电脑生成，只能用相机照下来再插进去，可

能效果不太好，望见谅

声明四：本资料在编辑过程中难免会出现一些错误，本人也会尽最大努力保证资料的准确性，避免严重性的错误，如发现错误，还望见谅并告诉笔者，笔者会第一时间进行修正。

声明五：本资料会先说知识点后讲题，基本都是课后练习题（我们那届留的作业~但可能会跟你们的有些出入）

声明六：本资料的所有解释与注释都是本人原创，全世界独一无二~如有盗版，追究到底！

PS：吐血整理BY吴奂…… 下面进入正题

第七章：绪论

本章概况：本章会引入几个新的概念，了解并且掌握就可以了 重点一：何谓应力？

答：应力有点类似我们初中学的压强一样，如图所示，在界面m-m上任意一点k的周围取一微笑面积△A，并设作用在该面积上的内力为△F，则△A与△F的比值，称为△A内的平均应力，用p表示，即p=△F/△A，当△A趋近于0时，p称为k点处的应力或总应力。

重点二：何谓正应力与切应力？

答：如图可知，应力p的方向与F的方向是一致的，为了分析方便，通常将应力p延截面法向与切线方向分解为两个分量，延截面法向的应力分量称为正应力，用σ表示；延截面切向的应力分量称为切应力，用τ表示；很显然p2=σ2+τ2。

重点三：单位换算

力与面积的基本单位分别为N与m2，应力的单位是Pa，名为帕斯卡，1Pa=1N/m2，应力的常用单位是MPa，1MPa=103x103Pa（没有找到10的6次方这个符号，囧==！） PS：正应变与切应变考试不考，划重点的时候应该不会画，如果画了看看书120页就会了，本章没有课后练习题。。。。。

第八章：轴向拉伸与压缩

本章概况：本章的轴力图和低碳钢的拉伸力学性能是必考的，轴力图考画图，是一道大题，低碳钢考的是选择题或者填空。除此之外，连接部分的强度计算也是考试的重点！ 重点一：何谓轴力？

答：一根杆左右两端分别受一个F的力，那么它是是平衡的，那么它的任何一个部位都是平衡的，假设将一根杆用截面法切开，必有一个内力让切开的部分保持平衡，这个轴向的内力就是轴力，用FN表示，轴力或为拉力，或为压力，规定拉力为正，压力为负，这里的压力和拉力都是以研究对象为参考系的，具体情况需要具体分析，如图所示：

重点二：如何计算轴力？ 答：如图所示：

（a） 图所示的拉压根，承受三个轴向载荷，由于在截面B处作用有外力，杆件AB与

BC的轴力将不同，所以要分段研究。

利用截面法在AB段去1-1截面将杆件切开，并选取切开后的左端为研究对象，列∑Fx=0，求得FN1=2F，对于左端切开部分的杆件而言，FN1为拉力，所以这个轴力FN1就是正的；同理在BC段选取2-2截面将杆件切开，下面介绍两种方法，重在体会！ （1） 选取2-2截面的左端部分为研究对象，以向右为正方向，列∑Fx=0即F-2F+FN2=0，

求得FN2=F，FN2为正，说明方向向右，对于研究对象而言（研究对象是2-2截面的左边部分），右方向的力是拉力，所以这个轴力就是正的！

（2） 选取2-2截面的右边部分为研究对象，以右为正方向，列∑Fx=0即F+FN2=0，解

得FN2=-F，FN2为负，说明方向向左，对于研究对象而言(研究对象是2-2截面的右端部分)，向左的轴力是拉力！所一这个轴力是正的！

总结：1求轴力的时候，如果处了杆件两端还受其他外力的话，我们一定要分段研究！ 2利用∑Fx=0求出FN，注意拉为正压为负（拉或压都是相对于研究对象而言的），熟练地话可以直接看出来。

3对于研究对象的选取：通过对2-2截面的研究我们发现，虽然研究对象不同，但是结果是相同的，所以我们应该选择受力较少的一段为研究对象，这样会方便我们的计算！

重点三：如何画轴力图？

答：画轴力图要注意一下几个要素：1.横纵坐标与原点，横坐标为x，纵坐标为FN，原点为0；2轴力图是一个围合的图形，图形的跨度与杆件的长度一致，图形的转折点是杆件受外力的那个点；3在X轴上面的轴力为正，下面的为负，注意标上符号（即圆圈里加上+或-），并且注意给围合的部分画上竖向的阴影；4转折点注意标上空心的小圆圈与轴力的大小。我们对上面的例题画轴力图，如图所示：（轴力图很重要，这里我就放大一下，仔细看哦~）

PS：回去再看看124-125页的例题8-1，很简单的，你可以不必按照步骤看，按照我给你提供的方法算，画起来很简单的！~~ 重点四：低碳钢的拉伸力学性能

先看个图吧：横坐标是应变，纵坐标是应力，把这个图长得啥样记住！

这部分考试会考选择或者填空，在这里我要强调四个阶段与三个特殊点，一定要背下来！ 四个阶段：1：线性阶段图中OA段，即应力与应变成正比的阶段；2屈服阶段：应力与应变之间不再保持正比的关系，在此阶段内，应力几乎不变，而应变却急剧增加，材料失去了抵抗变形的能力。当应力达到一定值时，应力虽不增加（或在微小范围内波动），而变形

却急剧增长，这种现象称为屈服；3硬化阶段：经过了屈服阶段后，材料又增强了抵抗变形的能力，这是要使材料继续变形需要增大应力，这种现象称为应变硬化！；4颈缩阶段：当应力增长至最大值σb之后，材料的某一局部显著收缩，产生颈缩，颈缩现象出现之后，试件继续变形所需的拉力减小，最后试件在颈缩处断裂

三个特殊点：一：σp称为比例极限，它就是线性阶段最高点A所对应的正应力，没啥特殊含义；二：σs称为屈服应力或屈服极限，它的含义是指使材料发生屈服的正应力；三σb称为强度极限，强度极限是材料所能承受的最大应力，超过这个极限再用力的话材料就断裂了。

PS：这个图如果你看不懂的画把它转过来，让它的横坐标是应力，纵坐标是应变。 重点五：连接部分强度计算的方法

解释：这一部分主要是分析铆钉的挤压与剪切

一：剪切强度分析：【τ】是许用切应力，一般题中都会给的；我们来看一个图

这是一个平面图（立体的我不会画。。。。），想象一下把，一个铆钉连接住两块板，在这个铆钉的圆截面上可能会出现剪切的现象，使铆钉断裂，设铆钉的圆截面面积为A，铆钉半径为r，那么作用在这个圆截面上的切应力τ=F/A=F/πr2，为了不使铆钉的圆截面发生剪切断裂，这个剪切应力应该满足的条件是τ≦【τ】

PS：我这个图画的实在水，但愿你能理解吧，实在看不明白我再给你讲。。。。 二：挤压强度分析：【σbs】是许用挤压应力；σbs是最大挤压应力，我们再来看一个图。。。。

想象一下，在拉耳片的时候可能会由于轴向拉力使铆钉和耳片的连接部分发生挤压断裂，我们设耳片的厚度为δ，铆钉的直径为d，受挤压的横截面如图所示，是一个矩形，我们设挤压截面的面积为A，则A=δd，那么轴向拉压所产生的最大挤压应力为σbs=F/A=F/δd，为了使连接部分不发生断裂，条件就是σbs≦【σbs】 下面我们来分析两道例题，加强对知识的应用与强化 例8-12如图所示铆接接头，承受轴向拉力F的作用，试求该拉力的许用值。一致板厚δ=2mm，板宽b=15mm，铆钉直径d=4mm，许用切应力【τ】=100MPa，许用挤压应力【σbs】=300MPa，许用拉应力【σ】=160MPa

解题思路：你肯定会疑惑，前面只讲了【τ】与【σbs】，这里怎么出来个【σ】呢？解释：这里的【σ】是让我们对拉伸强度进行分析；对于铆钉我们要研究剪切强度与挤压强度；对于杆，我们要分析拉伸强度；所以我们的解题思路就是分别对剪切强度，挤压强度，与拉伸强度进行分析，得出的三个F取最小的。

解：（1）剪切强度分析

铆钉圆截面上的切应力τ=4F/πd3，根据要求。我们要使τ≦【τ】，解得F≦1257N （2）挤压强度分析

铆钉与孔壁的最大挤压应力为σbs=F/δd，为了满足条件，我们要使σbs≦【σbs】 解得F≦2400N

（3） 拉伸强度分析

解释：对拉伸强度进行分析时我们要分析F所产生的最大拉应力σmax，通过对题的分析，我们不难得出σmax=F/（b-d）δ 由题意可知：σmax≦【σ】，解得：F≦3520N 综合以上三方面考虑，F的许用值是1257N

总结：这块你晕也好不理解也好，这都没有关系！，做这块的题就是照葫芦画瓢，非常的模式化，当然了，你能理解是最好滴！总结一下这种题的做题步骤就是：剪切强度分析，挤压强度分析，拉伸强度分析。。。。。。很模式化吧==! 例题8-14

如图所示拉杆，用四个直径相同的铆钉固定在格板上，拉杆与铆钉的材料相同，试校核铆钉与杆的强度。已知载荷F=80KN，板宽b=80mm，板厚δ=10mm，铆钉直径d=16mm，许用切应力【τ】=100MPa，许用挤压应力【σbs】=300MPa，许用拉应力【σ】=160MPa

解题思路：对于铆钉，我们要分析挤压强度与剪切强度，对于杆我们要分析拉伸强度 （1） 剪切强度分析

新概念的引入：当各铆钉的材料与直径均相同时，且外力的作用线通过铆钉群切面的形心时，我们认为每个铆钉剪切面的剪力均相同，即Fs（剪力）=F/n，n为铆钉的数量，你不用管它为什么，记住就ok啦，记住你就能做题啦~ Fs=F/4=20KN，τ=4Fs/πd2=99.5MPa≦【τ】

（2） 挤压强度计算

新概念的引入：铆钉所受挤压力与铆钉切面上的剪力相同，这个概念也是你记住就ok啦，不用管为什么，即Fb=Fs=20KN

最大挤压应力σbs=Fb/δd=125MPa≦【σbs】 （3） 杆的拉伸强度分析

杆的受力轴力图如（c）图所示，显然呢，1-1截面上的正应力最大 Σmax=FNmax/（b-d）δ=125MPa≦【σ】 可见，铆钉与拉杆均满足强度要求。 习题详解：

8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。

2kN

（a）

3kN (c)

F (a) 2kN 3kN (d)

F F (b) N 1kN 2F

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

1 F 1 F 2 2 (2) 取1-1截面的左段；

F 1 1 FN1

?F(3) 取2-2截面的右段；

x?0 F?FN1?0 FN1?F

FN2 2 2 ?F(4)轴力最大值：

x?0 ?FN2?0 FN2?0

FNmax?F

友情提示：牢记轴力拉为正，压为负！！！

（b）

(1) 求固定端的约束反力；

解释：这种题求固定端的约束力是为了取2-2截面右端作为研究对象，方便计算，当然了你也可以不求固定端的约束力，那么研究2-2截面时你只能取2-2的左端为研究对象 2F 1 2 F FR

1 2 ?F

x?0 ?F?2F?FR?0 FR?F

(2) 取1-1截面的左段；

F 1 FN1

1 ?F(3) 取2-2截面的右段；

x?0 F?FN1?0 FN1?F

FN2

2 2 FR

?Fx?0 ?FN2?FR?0 FN2??FR??F

解释：这里的FN2是设正求负，后面有很多题都是这么做的，我就不详细解释了，他是设向右为正方向，然后求出来FN2是负的，所以方向想右，对于研究对象FN2是压力

(4)轴力最大值：

FNmax?F

总结：做这种题你没必要像答案一样设定一个方向为正方向，然后再求，直接一步到位，选好研究对象，拉为正压为负，根本不用算，一看就看出来了，简单的很。。。。 （c）

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

1 3kN 2 2kN 2kN

1 2

(2) 取1-1截面的左段；

2kN 1

FN1

1

3 3 3kN ?F(3) 取2-2截面的左段；

x?0 2?FN1?0 FN1??2 kN

2kN 1 3kN 1 2 FN2

2

?F(4) 取3-3截面的右段；

x?0 2?3?FN2?0 FN2?1 kN

3 FN3

3 3kN ?F(5)轴力最大值：

x?0 3?FN3?0 FN3?3 kN

FNmax?3 kN

友情提示：在计算轴力的时候，尤其是应用截面法的时候，我们都是根据外力来算轴力，因为轴力它是内力，千万不要把上一步求出来的轴力放入下面计算轴力的方程中，这样就大错特错了！

（d）

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

1 N

1 (2) 取1-1截面的右段；

1 2kN FN1

1

2 2 1kN 1kN ?Fx?0 2?1?FN1?0 FN1?1 kN

(2) 取2-2截面的右段；

FN2

2 1kN ?(5)轴力最大值：

2 Fx?0 ?1?FN2?0 FN2??1 kN

FNmax?1 kN

习题8-2试画出8-1所示各杆的轴力图。 解：(a)

(b)

FN F (+) (-) F

x FN F (+) x

解释一下:最左边的力偶是1KN.M…..没照下。。。。sorry。。。。。

解：取三段，左边的我称作1-1截面，中间的我称作2-2截面，右边的我称作3-3截面 1-1截面：取左端为研究对象，T=1KN.m，方向向上，用右手螺旋法则那么一握，大拇指方向向左，负的，ok~

2-2截面：取左端为研究对象，T=3KN.m，方向向上，用右手螺旋法则那么一握，大拇指方向向左，负的，ok~

3-3截面：取右端为研究对象，T=0…….

Tmax=3KN.m

PS：这个扭矩图很简单。。。应该会画吧~

本章结束~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

第十章弯曲内力

重点一：剪力与弯矩（重点）

1何谓剪力？：梁在受垂直向上或者向下的外力的情况下，如果利用截面法将梁切开，截面上会产生一个竖直方向的力，使切开的部分保持平衡，这个竖直方向的力就叫做剪力，用Fs表示。如图所示：

2.何谓弯矩？：如图所示，咱们研究切开的部分，如果以C点为支点，那么Fay会对C点产生一个力矩的M（c）F，那么，为了使切开的部分保持平衡，截面处必将产生一个力矩M来平衡M（c）F，这个M就叫做弯矩~

3剪力的正负：在所切横截面的内侧取微段为研究对象，凡企图使微段沿顺时针转动的剪力为正，反之则为负，如上图所示Fs是正的。

4.弯矩的正负：在所切横截面的内侧取微段为研究对象，使微段上端受压的弯矩为正，反之则为负，如上图所示M是正的。 5.计算剪力与弯矩的方法概括如下：

（1）在需求内力的横截面处将梁切开，并选切开后的任意一段为研究对象 （2）画所选梁端的受力图，图中剪力Fs与弯矩M可以假设为正（设正求负）

（3）由平衡方程∑Fy=0计算剪力FS；由平衡方程∑Mc=0计算弯矩M，C为所切横截面的中心。

PS：自己看一下教材196页的例题10-1，很简单的~ 重点二：画剪力图与弯矩图（灰常重要）

步骤：1.先求支反力（约束力）2.画受力图3根据平衡方程∑Fy=0求剪力FS的方程4根据平衡方程∑Mc=0求弯矩M关于x（距离）的平衡方程5根据以上两个方程画图，注意事项跟画轴力图，扭矩图一样。请仔细阅读教材198-201页的例题10-2,10-3,10-4,10-5.

注释：这里所说的方法是大众方法，怎么说呢，准确性很高，但是浪费时间，即使你图画错了也有步骤分，下面我会介绍一种简单方法，也就5s时间就能画出来剪力图与弯矩图，但是一旦画错了就没有分了。。。但是非常简便，节省时间，熟练掌握的话建议用下面的简单方法。

重点三：用简便方法画剪力图与弯矩图

解释：根据例题10-2,10-3,10-4,10-5.，我们不难发现，如果剪力的方程式常数，那么弯矩的方程就是关于距离x的一元一次方程，图像就是一次函数；如果剪力的方程是关于x的一元一次方程（一次函数），那么弯矩方程就是关于x的一元二次方程，图像就是二次函数。经过研究，我们发现，哇塞，原来剪力方程就是弯矩方程的导数方程！ 下面介绍简单方法：1.求支反力（约束力）2.根据外力画剪力图3.根据剪力图，外力偶与打伞原理画弯矩图.很简单，就两个步骤。下面我们来详细说明与举例。

详细说明步骤2：如何根据外力画剪力图呢？我们规定，外力向上为正，向下为负！也就是说在根据这个外力画的剪力图中，向上的外力时正的，向下的外力是负的，估计你可能看不太懂，有点迷糊，没关系，一会举个例子你就明白了。

详细说明步骤3：我们规定，外力偶顺时针为正，逆时针为负！注意跟第三章力偶系规定的方向不一样，千万不要记混了！！；那么什么叫打伞原理呢？：你可能会发现有的题中存在均布载荷的作用，存在均布载荷的题中剪力图是一次函数，那么弯矩图就应该是二次函数！咱们把均布载荷想象成雨滴，函数图象想象成雨伞，如果均布载荷箭头向下，雨是从上往下滴落的，这个时候咱们打伞就应该是弧度冲外，就是抛物线的开口向下；如果均布载荷的箭头向上，你就理解成地下有喷泉喷上来吧，这时候你的伞就应该倒过来打，也就是抛物线的开口向上！嗯……..说了这个多估计你都蒙圈了。。。我们来举例说明吧！

举例一，例题10-3之打伞原理

咱们按照步骤来做题啦~

1. 求支反力，求得Fay=Fby=ql/2，方向是向下的，那么剪力图的起点A那个剪力对应

的值就是负的！后面呢，是存在均布载荷的作用，均布载荷是向上的，那么在剪力图中体现的就是正的，这个图像呢一点一点的往上走，走了l那么长，剪力最初是—ql/2后来经过均布载荷的作用加上了ql，最终变成ql/2，到了B点又受到了一个向下的力Fby=ql/2，然后曲线围合起来，ok，画完了~

2. 根据外力偶和打伞作用画弯矩图，这题里没有外力偶，happy~咱们看这个均布载荷

是向上的，所以伞就应该倒过来打，也就是抛物线的开口是向上的，起点没有外力偶就是零，终点也没有外力偶也是零~至于这个最低点是怎么算出来的呢？不要忘记剪力是弯矩的导数啊！，剪力图中0~l/2对应的面积不就是抛物线最低点的那个数值么~

举例二之根据外力画剪力图，如图所示

解：先求支反力Fay=bF/l，Fby=aF/l方向都是向上的，然后就可以画剪力图啦~起点A外力向上，大小是Fb/l，所以剪力图的起点就是（0，Fb/l），然后平着画，画到C点，来了个向下的外力F，然后呢这个剪力图就忽然向下了，由Fb/l剪掉了F的大小变成了—Fa/L，后来又平着走，走到B点受到了一个向上的力Fby，大小刚好是Fa/l，然后围合起曲线，ok，剪力图画完了~

一看这题没有外力偶与均布载荷~太好了，咱们就再根据这个剪力图画弯矩图。刚开始的时候没有外力偶，所以起点A的弯矩为（0,0），剪力是弯矩的导数么，AC段剪力是正的常数，那么弯矩图就是过一三象限的一次函数，然后就画一次函数，画画画画到了最高点，这个最高点的大小就是剪力图中矩形的面积，Fab/l，到了C点，剪力图变成负的常数了，所以这个弯矩图就要往下走，这个弯矩图变成了过二四象限的一次函数，最后走到头，把曲线围合起来，ok，画完了~ 举例三之根据外力偶画弯矩图，如图所示

解：还是先求这个支反力，求得Fay=Me/l方向向下，Fby=Me/l方向向上。 然后根据外力画剪力图，起点A外力时向下的Fay=Me/L，所以剪力图中起点A就是（0，-Me/l），然后一直平着走，走到B点受到了一个向上的Fby=Me/l，曲线围合起来。 然后根据这个剪力图与外力偶画弯矩图，起点没有外力偶，所以弯矩是0，弯矩图中起点A的坐标就是（0,0）然后剪力是负的常数，那么弯矩就应该是过二四象限的一次函数，咱们就往下画画画，画到C点，C点的纵坐标是C点对应的剪力图围成矩形的面积，然而C点受到了一个顺时针的外力偶M，前面说过规定顺时针的外力偶是正的，所以图像向上走了M，由—aMe/l加上M变成了bMe/l，然后继续往下走走走，走到B点，曲线闭合。。。。。。。。。 建议：掌握基本方法是根本，不要投机取巧，简便方法是掌握基本方法以后才可以学的，你可以按照我写的简便方法做一做书上的例题与课后习题，课后习题主要做一下10-2的cef，10-5的cdf，很简单的，我在这偷偷懒就不一一写答案了，完了不会的你再问我~

第一十章弯曲应力

重点一：对称弯曲正应力（灰常重要）

解释：杆在弯曲的情况下轴向方向产生的应力叫做对称弯曲正应力！用σ表示。 1.对称弯曲正应力的求法公式：σ=My/Iz，My是M乘以y，M是弯矩！y是截面处的点距截面轴线的距离，Iz叫做惯性矩，不同界面的惯性矩Iz不同，下面会详细介绍。 2.最大弯曲正应力 解释：由上面的公式可知σmax=Mymax/Iz=M/（Iz/ymax），这里引入一个新的概念Wz，Wz=Iz/ymax，叫做抗弯截面系数，那么σmax=M/Wz 3关于惯性矩Iz与抗弯截面系数Wz

解释：考试与做题主要分两种情况，一种是矩形截面，一种是圆截面。

矩形截面：Iz=bh3/12，b是矩形的宽度，h是矩形的长度；Wz=Iz/ymax=Iz/（h/2） 所以Wz=bh2/6，所以σmax=M/Wz=M/（bh2/6）

圆形截面：Iz=πd2d2/64，d是直径，所以Wz=Iz/ymax=Iz/（d/2）=πd3/32，所以σmax=M/Wz=M/（πd3/32）。

重点二：对称弯曲切应力（灰常重要）

解释：对称弯曲与圆轴扭转不同，圆轴扭转只有切应力，二对称弯曲既存在正应力也存在切应力。对称弯曲切应力咱们只研究矩形截面。题中可能会涉及工字钢，但是考试不考，看看公式就能做题了。

对称弯曲切应力公式：τy=（3Fs/2bh）x（1—4y2/h2）

Fs是剪力，y是研究点距截面轴线的距离，b是矩形的宽度，h是矩形的长度，如图所示：

由公式或者图像，我们都可以看出，当y=0的时候，对称弯曲切应力τ取最大值，所以τmax=3Fs/2bh=3Fs/2A，A是矩形截面的面积。

Ps：工字钢截面的题你有精力就看看书吧，课后题没有，考试也不能考，这几张就是根据公式做题，背好了公式就成了。 习题详解：

11-10梁截面如图所示，剪力Fs=50KN，试计算该截面上的最大弯曲切应力以及A与B点处的弯曲切应力（木有答案…….我今天10赶时间点要出去，就简单说一下思路吧，至于计算的细节你就自己按计算器吧。。。。见谅~）

解题思路：最大弯曲切应力τmax=3Fs/2bh，一带公式就算出来了；A点与B点的弯曲切应力就套公式呗，根据公式τy=（3Fs/2bh）x（1—4y2/h2）来计算，A点的y是25，

B点的y是15。

11-15图示矩形截面钢梁，承受集中载荷F与集度为q的均布载荷作用，试确定截面尺寸b。

已知载荷F=10 kN，q=5N/mm，许用应力[σ] =160Mpa。

b F q

A B

2b 1m 1m 1m RA RB

解题思路：已知条件中给出[σ]，咱们求出最大弯曲正应力是一个带b的式子，然后列一个不等式尺寸b就出来了 解：(1) 求约束力：

RA?3.75 kNm RB?11.25 kNm

(2) 画出弯矩图：

(3)依据强度条件确定截面尺寸

M

3.75kNm (+) (-) x

2.5kNm ?max?MmaxWz?3.75?10bh626?3.75?104b636?????160 MPa

解得：

b?32.7 mm

友情提示：在步骤（1）与步骤（2）之间应该插入一个剪力图，我们可以看出来画剪力图与弯矩图是多么的重要，所以一定要熟练掌握画剪力图与弯矩图。 本章结束~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

第十二章弯曲变形略过……………..

下面来看第十三章

第十三章应力状态分析

本章概论：本章就是研究个应力圆，简单的很，当时考试考了一个填空题，5分~ 重点一：微体概念的引入

解释：微体就是为了研究一个物体局部某点受力所假想出来的一个小正方体，微体变长均是无穷小，但研究的时候我们把微体视为六面体。 重点二：平面应力状态

解释：仅在微体的四个侧面上作用有应力，且其作用线均平行于微体不受力的表面的应力状态，称为平面应力状态。如图b所示~本章的题都是围绕平面应力状态展开的。

重点三：切应力互等定理（灰常重要）

解释：在平面应力状态下，微体上四个面所受切应力大小相等，并且头对头，脚对脚，如图所示

重点四：平面应力状态下四个面受力规律

解释：如图a所示，我们研究平面应力时需要建立坐标系x轴与y轴，σx，σy分别平行于x轴与y轴，τx与τy分别垂直于x轴与y轴。在数值上τx与τy大小相等（切应力互等定理），在方向上，正应力以拉伸为正；切应力以企图使微体沿顺时针方向转动者为正，反之为负。

重点五：平面应力状体下的斜面应力计算的解释方法

解释：如上图所示，σα=（σx+σy）/2+（σx-σy）cos2α/2—τx.sin2α τα=（σx—σy）sin2α/2+τx.cos2α（这个公式需要记住，，，，解析法会用到） 方位角α正负的规定：以坐标轴x轴为始边，沿逆时针方向转动得到的角度为正，反之为负。

重点六：应力圆

解释：σα与τα均为α的函数，二者存在一定的函数关系，通过推导计算，得出结论，σα与τα满足圆形轨迹的参数方程，所以今后将σα与τα放在圆中研究，这个圆就叫做应力圆

重点七：应力圆的圆心坐标与半径（灰常重要）

圆心C的坐标（（σx+σy）/2,0），半径R=

?

（（σx-σy）/2）2+

τx2；那个长的怪怪的符号是根号，，，囧，，，，如图所示。。。

重点八：应力圆的特性（灰常重要） 解释：在应力圆上点A（σx，τx），点B（σy，τy），AB两点的连线是通过应力圆圆心的，也就是说线段AB就是应力圆的直径，这个是可以通过公式推导出来的，有兴趣的画我可以给你推一遍。。。没兴趣记住就成了！如图所示，通过观察微体与应力圆我们发现，在微体上点A点B相差90度，而在应力圆上点A点B相差180度，也就是说，如果微体斜面C的方位角是α，那么在应力圆中点C就是点A绕半径在应力圆上旋转2α所得到的点，然后我们再根据集合关系就很容易求出某方位角斜面上的应力了！

重点九：教材280页例题13-1，请仔细观看

重点十：平面应力状态的极值应力

通过分析应力圆重点七那个图，我们发现σ最大值出现在应力圆于σ轴相交的的右边的交点，σ最小值出现在应力圆于σ轴相交的左边交点（小学识图能力。。。汗、、、、、）所以正应力的最大值就是圆心横坐标加半径，最小是就是圆心横坐标减半径；

即σmax=（σx+σy）/2+R；σmin=（σx+σy）/2—R

同样分析那个图哈，τ的最大值出现在圆心正上方那个点，最小值出现在圆心正下方那个点，也就是说切应力的最大值就是正的半径，最小值就是负的半径 即τmax=+R；τmin=—R 重点十一：关于方位角

解释：有时候吧，题中给你的那个图方位角不容易看出，比较扭曲，或者他压根就不告诉你方位角，就给你个图，所以这时候呢我们就要利用三角函数与反三角函数求出这个坑爹的方位角。

公式：tan2α=2τx/（σy-σx）；tanα=τx/（σmin-σx）=τx/（σy-σmax） 重点十二：主平面与主应力

主平面：切应力为零的平面称为主平面

主应力：主平面上的正应力为主应力，主应力一般用σ1，σ2，σ3表示，并且σ1≧σ2≧σ3，一般情况下若σ1＞0，σ3＜0，那么σ2=0。 重点十三：仔细观看教材283页例题13-2

重点十四：纯剪切状态

PS：这可能会考你个选择题，纯剪切状态在后面第十四章有所应用，所以还是了解一下吧 解释：纯剪切状态就是正应力为零，只存在切应力的状态，对应的微体图与应力圆图如下图所示：

这个σ与τ的最大值在图中非常明显吧，但我还是解释一下吧。。。。

σmax=R=τ；σmin=—R=—τ

τmax=R=τ；τmin=—R=—τ

强调：方位角α=45度，也就是说出现极值应力的截面的方位角是45度，这就是为啥低碳钢断裂的那个切面角为啥是45度了。 习题详解：

习题13-2（b，d），没有答案我就不一步一步写了~解题思路就是根据图写出σx，τx，σy，τy，然后根据重点五的公式一算就算出来了，建议你再用几何法画圆再算一算~强化一下几何法。

习题13-11，只求AC不求B。

解题思路：这题稍微有点难度，一根杆受到一个向下的剪力作用会产生对称弯曲正应力与对称弯曲切应力，所以这个题是单向拉伸与纯剪切组合的应力状态。很简单么，按部就班的来，根据对称弯曲正应力与切应力的公式求出AC两点的正应力与切应力，注意是矩形截面哦~然后对号入座，根据应力圆的公式找圆心，定半径，画出应力圆，找出主应力就ok了~至于方位角可以用解析的方法也可应在圆中用几何的方法。

本章结束。。。。。头好大。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

第十四章复杂应力状态强度问题

本章概况：考试会出一道大题，20分左右，是拉弯扭问题的组合…………. 重点一：第三强度理论

解释：第三强度理的强度条件为σr3=σ1-σ3≦[σ]，σ1与σ3是前面所学的主应力，一般考试会考你请用第三强度理论校核该杆件！ 重点二：第四强度理论

第四强度理论的强度条件为σr4=（1/?2）（?（σ1-σ2）2+（σ2-σ3）2+（σ3-σ1）2）≦[σ]

解释：σ1，σ2，σ3都是主应力，一般考试会考你用第四强度理论校核杆件！

重点三：单向拉伸与纯剪切组合应力状态的强度条件（灰常重要）

解释：如图所示称为单向拉伸与纯剪切组合应力状态，现根据第三与第四强度理论建立相应的强度条件。

现在我给你推导一下哈~

这种状态下σx=σ，τx=τ，σy=0，τy=-τ

根据上一章所学的公式σ1=σmax=圆心横坐标加半径=（1/2）σ+?（（σ/2）2+τ2）=1/2

（σ+?（σ2+4τ2））

σ3=σmin=圆心横坐标减半径=（1/2）σ-?（（σ/2）2+τ2）=1/2（σ-?（σ2+4τ2）） σ2=0

将上述σ1，σ2，σ3带入重点一与重点二的公式中得到单向拉伸与纯剪切状态下的三四强度理论条件，即：

第三强度理论条件：σr3=?（σ2+4τ2）≦[σ]………………（1） 第四强度理论条件：σr4=?（σ2+3τ2）≦[σ]………………（2） 考试的时候会让你根据这两个强度理论算题。

重点四：弯扭组合强度计算（灰常重要）

解释：推导过程巨坑爹………不过为了让你更好的理解，我还是推一遍吧。。。。

首先有一个前提：弯扭组合也属于单向拉伸与纯剪切的应力状态。推导过程中，σ取对称弯曲正应力，τ取圆轴扭转切应力。因为是强度条件的判断，所以σ与τ都取最大值！ 如图所示：就是一根圆杆的弯扭组合。

根据图我们画出弯矩M与扭矩T，这应该是小菜一叠。由图可知A点最危险。前提已经说了，弯扭组合也属于单向拉伸与纯剪切的应力状态，所以根据上面的（1）式与（2）式得出如下式子：

σr3=

?（σM2+4τ2）≦[σ]………..（3）

T

σr4=

?（σM2+3τ2）≦[σ]………..（4）

T

解释：σM是对称弯曲正应力最大值，τT是圆轴扭转切应力最大值！

根据以前学的知识σM=M/Wz，τT=T/Wp，因为Wp=2Wz，所以τT=T/2Wz，以下Wz写为W。将σM=M/W，τT=T/2W带入（3）与（4）最终得出弯扭组

合的第三强度条件与第四强度条件，即 σr3=（?（M2+T2））/W≦[σ] σr4=（?（M2+0.75T2））/W≦[σ]

注意：此公式适用于实心圆截面与空心圆截面，上次10级期末考试考与补考都是圆杆的弯扭组合，所以一定要掌握！ 重点五：拉弯扭组合

σr3=

?（（σM+σN）2+4τ

T2

）

≦[σ]

σr4=

?（（σM+σN）2+3τ2）≦[σ]

T

解释：

σ

N是轴向拉力，这个公式就是将试（3）与式（4）中弯曲正应力改写

为弯曲正应力与轴向拉力之和。

重点六：教材301页例题14-4,303页例题14-5

PS：14-5这题涉及到空间合成，考试不会考，但是非常锻炼思维，有助于你理解知识点。 习题详解：

14-6（灰常重要，10级期末考试与补考都是根据这题改编的）既然这么重要呢，我就说的稍微详细一点吧。 图示钢质拐轴，承受铅垂载荷F的作用，试按第三强度理论确定轴AB的直径。已知载荷F=1KN，[σ]=160MPa

习题详解：典型的弯扭组合，最终要计算到AB杆上，所以我们要对AB杆进行受力分析！

受力分析：我们先简单分析一下再画受力图，拐轴CB给拐轴AB一个向下的作用力F，那么拐轴B端受到杆AB向上的支持力，由于作用力反作用力原理，那

么杆AB的B端应该受到拐轴CB所施加的向下的压力！（这块一定要绕明白了。。。。。。）

力矩分析：对拐轴CB而言，如果对B点取距，那么C点的F会对拐轴产生一个向下的力偶，为了使拐轴CB保持平衡，那么杆AB就会给拐轴CB一个向上的力偶，由于作用力反作用力的原理，那么杆AB的B端就会受到一个向下的力偶，这个力偶其实就是杆AB的扭矩T。 现在要透彻详细的分析AB杆！：以上两步已经分析出杆AB的B端受到一个向下的力FB(大小跟F相等)，并且B端受到一个向下转动的扭矩，如果对A点取距，FB会产生一个顺时针的力偶，所以A点处应该有一个逆时针的力偶使杆件保持平衡，同理；B端有一个向下转动的扭矩，那么A端就应该有一个向上转动的扭矩，分析完毕………………………..如图所示~

这个受力图一出来啥都好说了，让咱根据第三强度理论算 第三强度理论不就是σ

r3=（?（M2+T2））/W≦[σ]么~

这里用到M跟T，所以咱先画剪力图，然后画弯矩图，再画扭矩图，找到危险点，往里一套公式就ok了~ 剪力图，弯矩图，扭矩图如下图所示

通过分析与观察，A点是危险点，把A点的M跟T往公式里一套就ok了，注意单位换算哦~~ 例题14-11

解：跟例题14-6差不多甚至比14-6还要简单，它这题省着咱们自己分析了都给你画好了，只不过就是个拉弯扭组合，背熟公式一套公式就成了~ 本章结束………要吐血了……………………………………………………

第十五章 压杆稳定问题

本章概况：本章期末考试会出一道大题，15分左右，但是一点都不

难，就是送分的题 重点一：临界载荷

解释：杆啊开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值称为压杆的临界载荷，用Fcr表示，（说白了就是一根竖直的杆你去压它，开始由直变弯的那个载荷就是临界载荷~）当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将失去稳定。

重点二：临界载荷的欧拉公式（灰常重要）

欧拉公式：Fcr=（π2EI）/（μl）2，解释：I是惯性矩，不同界面的I不同，矩形截面I=bh3/12，圆形截面I=πd2d2/64，E是弹性模量，题中会给！

欧拉公式我们主要掌握两种情况： 第一种：两端铰支，这种情况下μ=1

第二种：一端自由，一端固定，这种情况下μ=2 具体的图你可以看一下教材的318页~我就懒得往上插了 重点三：柔度的引入

解释：柔度用符号λ表示，λ=μL/i，L是杆长，i=?（I/A），A是横截面面积。那么这个柔度λ

有什么用呢？？

再引入俩新的概念λ0与λp，这两个东西题中会给！下面就要注意了

（1） 若λ＞λp，则压杆称为大柔度杆，只有这种情况下才可以用

欧拉公式

（2） 若λ＜λo，则压杆称为小柔度杆，应按强度问题处理 （3） 若λo＜λ＜λp，则压杆称为中柔度杆，应按照经验公式计算

其临界应力，经验公式题中都会给。 重点四：临界应力

解释：临界应力用符号σcr表示，σcr=Fcr/A=π2EI/(（μL）2A),根据公式i=?（I/A），λ重点五：压杆稳定条件

解释：为了保证压杆在轴向压力F作用下不是去稳定，必须满足以下条件。

F≤Fcr/nst=[Fst]，nst称为稳定安全因数，题中会给。。。。 同理：σ≤σcr/nst=[σst]，[Fst]称为稳定许用压力，[σst]称为稳定许用应力。

PS:上边巴拉巴拉的说了一堆估计你有点迷糊，下面看一道例题你就全会了~

=μL/i，推导出σ

cr=π2E/λ2。

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