八年级数学反比例函数精练精析

第十七章《反比例函数》

提要：本章的重点是结合图象，总结出反比例函数的性质.另一个重点是用待定系数法求反比例函数的解析式，这种方法在求四种基本函数解析式中都已经用到，通过练习，可以观察出有几个待定系数，就需要几对自变量与函数的对应值，即几个方程. 由于知识的限制，无法估计出这个图象到底是什么样子，所以本章的难点就利用是描点法画函数图象.

习题：

一、填空题

1．一般地，函数__________是反比例函数，其图象是__________，当k?0时，图象两支在__________象限内．

2．已知反比例函数y?2，当y?6时，x?_________．

x3．反比例函数y?(a?3)xa2?2a?4的函数值为4时，自变量x的值是_________． 4．反比例函数的图象过点（－3，5），则它的解析式为_________．

5．若函数y?4x与y?1的图象有一个交点是（1，2），则另一个交点坐标是

x2_________． 6．已知反比例函数y??7．反比例函数y??8的图象经过点P（a+1，4），则a=___ __． x6图象上一个点的坐标是 ． xk，?2)在反比例函数y?的图象上，则k? ． 8．已知点(1xk，?6)，则这个反比例函数的解析式9．已知反比例函数y?的图象经过点A(?3x是 ． 10．若反比例函数y??1的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，则y1______y2（填x“?”或“?”或“?”）．

11．写出一个图象在第一、三象限的反比例函数的解析式 ． 12．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数关系式_____________ 13．已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则m的值是＿＿． 14．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反

比例函数关系，其图象如图17-1所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米

1

y A O B htt图17-2 图17-1

15．如图17-2，反比例函数y?

x 5的图象与直线y?kx(k?0)相交于B两点，AC∥y x轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于 个面积单位．

?3)，B(?4，?5)，C(?，32)16．在△ABC的三个顶点A(2，中，可能在反比例函数k(k?0)的图象上的点是 ． x17．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼

y?镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为 ．

18．小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明步行速度y(m/min)可

15002；水平地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为xm，x15002那么该物体对地面压强y(N/m)可以表示为y?；?，函数关系式

x1500y?还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例： ．．x以表示为y? ．

二、选择题

，?1)的反比例函数解析式是（ ） 19．下列函数中，图象经过点(1A．y?1 xB．y??1 xC．y?2 x

D．y??2 xy 1 20．在反比例函数y?k?3图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的x取值范围是（ ）

A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜0 21．如图17-3，某反比例函数的图像过点M（?2，1），则此反比例函数

表达式为（ ）

A．y?2211 B．y?? C．y? D．y??

xx2x2xx -2 O 17-3 图 2

22．已知反比例函数y?k的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A(27，y1)、xB（5，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）

A、y1＞y2 B、y1＝y2 C、y1＜y2 D、无法确定

23．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （ kPa ）

是气体体积V（m3 ）的反比例函数，其图象如图17-4所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

5544A．不小于m3 B．小于m3 C．不小于m3 D．小于m3

4455图17-4

24．反比例函数y?图17-5

k的图象如图17-5所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于xx轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 25．对于反比例函数y?2，下列说法不正确的是（ ） ．．．xB．它的图象在第一、三象限

D．当x?0时，y随x的增大而减小

?1)在它的图象上 A．点(?2，C．当x?0时，y随x的增大而增大 26．如图17-6，A、B是反比例函数y＝

2的图象上的两点．AC、xBD都垂直于x轴，垂足分别为C、D．AB的延长线交x轴于点E．若C、D的坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE的面积与ΔACE的面积的比值是（ ）． A．

1111 B． Ｃ． D． 24816图17-6

k2?127．在下图中，反比例函数y?的图象大致是（ ）

x 3

28．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y??2图象上的两个点，且a1＜a2，x则b1与b2的大小关系是（ ）

A．b1＜b2 B．b1 = b2 C．b1＞b2 D．大小不确定

k229．反比例函数y??（k为常数，k?0）的图象位于（ ）

xＡ．第一、二象限 Ｃ．第二、四角限

Ｂ．第一、三象限 Ｄ．第三、四象限

30．如图17-7，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=方程kx+b=

2的图像，则关于x的x图17-7

2 的解为（ ） x A．xl=1，x2=2 B．xl=-2，x2=-1 C．xl=1，x2=-2 D．xl=2，x2=-1 31．已知正比例函数y1?k1x和反比例函授y2?（ ） k2的值分别为：

k2的图像都经过点（2，1），则k1、x1111，k2=2 B．k1=2，k2= C．k1=2，k2=2 D．k1=，k2= 2222m32．函数y?x?m与y?(m?0)在同一坐标系内的图象可以是（ ）

x A．k1=

y y y y x

x

x

x

O O B．

O C．

O D．

A．

三、解答题

k33．直线y?kx?b过x轴上的点A（3，0），且与双曲线y?相交于B、C两点，

2x已知B点坐标为（?

34．已知一次函数y?x?2与反比例函数y?k的图象的一个交点为P（a，b），且P

1，4）

，求直线和双曲线的解析式． 2x到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式．

4

35．已知函数y?(m2?2m)xm2?m?1?2是一次函数，它的图象与反比例函数y?k的

x图象交于一点，交点的横坐标是

36．已知：反比例函数y?1，求反比例函数的解析式． 3k和一次函数y?2x?1，其中一次函数的图像经过点（k，5）． x（1）试求反比例函数的解析式；

（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标．

37．已知反比例函数y??3m和一次函数y?kx?1的图象都经过点P(m，?3m)． x（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；

（2）若点M(a，y1)和点N (a?1，y2)都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1大于y2．

38．如图17-8已知一次函数y??x?8和反比例函数y?不同的公共点A、B．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若ΔAOB的面积S＝24，求k的值．

k图象在第一象限内有两个x 5

图17-8

39．如图17-9，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y?的图象的两个交点．

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

m x图 17-9

40．从甲、乙两题中选做一题即可．如果两题都做，只以甲题计分．

题甲：如图17-10，反比例函数y?

k

的图象与一次函数y?mx?b的图象交于x

A(1，3)，B(n，?1)两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

6

y A O x B 图17-11

41．如图17-11，一次函数y?kx?b的图象与反比例函数y? A(?2，1)，B(1，n两点．)（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积．

y A O B 17-10 图x m的图象交于x

42．如图17-12，已知直线y?横坐标为4． （1）求k的值；

1kx与双曲线y?(k?0)交于A，B两点，且点A的2xk(k?0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积； xk（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y?(k?0)于P，Q两点（P点在第一

x（2）若双曲线y?象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

y A O B

图17-12

x 7

参考解析 一、填空题

1．y?k，k?0；双曲线；二、四

x2．1

3（点拨：将y?6代入解析式，解关于x的方程即可）

3．?1 （点拨：由函数y?(a?3)xa2?2a?4为反比例函数可知a2?2a?4??1，可解得a=-1，a=3（舍去），将a=-1，y=4代入，求解关于x的方程） 4．y??15

x（点拨：利用待定系数法求解）

15．（?，?2）（点拨：可通过将两个函数组成关于x、y的二元一次方程组求解，或者由

2图象的对称性可知，两个交点关于原点对称） 6．－3（点拨：将点P（a+1，4）代入） 7．满足条件xy??6的任一点(x，y)均可

，?2)代入函数解析式） 8．－2（点拨：将点(19．y?18?6)代入函数解析式） （点拨：将点A(?3，x10．＜（点拨：利用函数图象，在每一象限内，函数值随着自变量的增大而减小，A、B两点都在第一象限内，所以可得出结论）

2 x212．答案不唯一，如：y＝－

x11．答案不唯一，如：y＝

13．－3 （点拨：在同一反比例函数图象上的所有点的横纵坐标的乘积是一个定值，据此可求得结果m的值）

14．0.5（点拨：在同一反比例函数图象上的所有点的横纵坐标的乘积是一个定值，据此可求出当力达到10牛时，移动距离为0.5米）

15．10（点拨：由对称性知识可分析得知，△ABC的面积是图象上某一个点横纵坐标乘积绝对值的2倍）

16．B（点拨：根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积等于函数的系数k可知，因为k是大于0的，所以可能在图象上的点只有B） 17．y?100（点拨：利用待定系数法可求得结果） x3218．体积为1 500cm的圆柱底面积为xcm，那么圆柱的高y(cm)可以表示为y?（其它列举正确均可） 二、选择题

19．B（点拨：图象上横纵坐标的点的乘积是一个定值为-1）

20．A（点拨：在每一象限内，y都随x的增大而减小，则系数为正数）

1 500x 8

21．B（点拨：利用待定系数法，设y?k，然后将点M（-2，1）代入求出待定系数即可） x22．A（点拨：利用函数图象，将点A、B在图象上描出，然后判断函数值的大小） 23．C（点拨：根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式）

24．D（点拨：由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为

4，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数为-4）

25．C（点拨：系数为2，大于0，图象为位于一、三象限，在每一象限内，函数值随着自

变量的增而减小）

26．D（点拨：由图象上的已知点的坐标可知，两个三角形的底与高的比均为1：4，所以面积之比为1：16） 27．D（点拨：因为一个数的平方具体非负性，所以k?1一定大于或等于1，故函数图象位于一、三象限）

28．D（点拨：函数的系数小于0，图象位于二、四象限，在每一象限内，函数值随着自变量的增大而减小，但现在的A、B两点并不能确定是否在同一象限内，因而无法作出判断）

29．C（点拨：系数为负数，图象位于二、四象限） 30．C（点拨：则关于x的方程kx+b=

y=

22的解，可以看作是一次函数y=kx+b与反比例函数x2的图像的交点的横坐标） x31．A（点拨：将点（2，1）分别代入两个函数解析式即可）

32．B（点拨：先由反比例函数的图象判断反比例函数的系数m的符号，然后再由同一个图

象中的直线判断一次函数中m的符号，看两个m的符号是否能一致） 三、解答题

133．解析：由题意知点A（3，0），点B（?，4）在直线y?kx?b上，由此得

223?0?k?bk?k??2?1k?4??2 ? ?? ?点B4）（?，在双曲线y?上1，k??2

?2x?b?3?4??1k?b2?2?2?双曲线解析式为y??

x34．解析：由题设，得

?b?a?2?a1?6?a2??8?48 k?? ? ，，或，， y?b??b?8b??6b?8b??6?a?6a??8??1?2xa?k?48?k?48?22????a?b?10035．解析：由已知条件

?m2?2m?0?m?0,m??2? ? ?? ?m?1使y?3x?2 代入y?k 2x??m??2或m?1?m?m?1?0

9

?3x2?2x?k?0 因图象交于一点，???0 即4?12k?0 ?k??1 ?y??1．

33x36．解析：（1） 因为一次函数y?2x?1的图像经过点（k,5）所以有 5?2k?1

解得k?3，所以反比例函数的解析式为y?3． x33??y?x??x??1??（2）由题意得：? 解这个方程组得： x2???y??3??y?2y?2x?1??因为点A在第一象限，则x?0，y?0，所以点A的坐标为（

3，2） 237．解析：（1）y??2x?1；（2）∵M、N都在y??2x?1上，∴y1??2a?1，

y2??2(a?1)?1??2a?3，∴y1?y2??2a?1?(?2a?3)??1?3?2?0，

∴y1?y2．

0?k?16，k?7，38．解析：（1）（2）略解：∵S?AOB?S?COB?S?COA?1OC(x2?x1)?24 2∴24?4(x2?x1)，∴(x1?x2)2?4x1x2?36，而x1?x2?8,x1?x2?k， ∴64?4k?36，∴k?7

39．解析：（1）∵ 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=

m的图象上， xm?2?,??m??8,??4∴? 解得?又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=kx+b的图象上，

mn?2.???4?.?n???4k?b?2,?k??1,8∴? 解得? ∴ 反比例函数的解析式为y??，一次函数的解析式

x?2k?b??4.?b??2.为y=-x-2 ．（2）x的取值范围是x>2或-4＜x＜0 .

，3)在y?40．解析：（1）?A(1k33?1)在y?的图象上，?k?3，?y? ，又?B(n，xxx?1) ，?的图象上，?n??3，即B(?3，数的解析式为y??3?m?b解得：m?1，b?2， 反比例函

??1??3m?b，3，一次函数的解析式为y?x?2， x（2）从图象上可知，当x??3或0?x?1时，反比例函数的值大于一次函数的值．

m，在反比例函数y?的图象上，∴m?(?2)?1??2．∴反41．解析：（1）∵点A(?21)x22，n)也在反比例函数y??的图象上，比例函数的表达式为y??． ∵点B(1xx

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∴n??2，即B(1，，，点B(1，?2)．把点A(?21)?2)代入一次函数y?kx?b中，得

??2k?b?1，?k??1，∴一次函数的表达式为y??x?1． 解得???k?b??2，?b??1．∴直线y??x?1与x轴的交点为C(?1，0)．（2）在y??x?1中，当y?0时，得x??1． ∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

1113∴S△AOB?S△AOC?S△BOC??1?1??1?2??1?．

222242．解析：（1）?点A横坐标为4，?当x?4时，y?2．

y N O C D A M 12)．?点A是直线y?x与双曲线?点A的坐标为(4，2ky?(k?0)的交点，?k?4?2?8．

xx 答图17－1 x?1?点C的坐标为(18)，．（2）如答图17－1，当y?8时，过点A，C?点C在双曲线上，

分别做x轴，y轴的垂线，垂足为M，N，得矩形DMON．

S矩形ONDM?32，S△ONC?4，S△CDA?9，S△OAM?4．

S△AOC?S矩形ONDM?S△ONC?S△CDA?S△OAM?32?4?9?4?15．

11

∴n??2，即B(1，，，点B(1，?2)．把点A(?21)?2)代入一次函数y?kx?b中，得

??2k?b?1，?k??1，∴一次函数的表达式为y??x?1． 解得???k?b??2，?b??1．∴直线y??x?1与x轴的交点为C(?1，0)．（2）在y??x?1中，当y?0时，得x??1． ∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

1113∴S△AOB?S△AOC?S△BOC??1?1??1?2??1?．

222242．解析：（1）?点A横坐标为4，?当x?4时，y?2．

y N O C D A M 12)．?点A是直线y?x与双曲线?点A的坐标为(4，2ky?(k?0)的交点，?k?4?2?8．

xx 答图17－1 x?1?点C的坐标为(18)，．（2）如答图17－1，当y?8时，过点A，C?点C在双曲线上，

分别做x轴，y轴的垂线，垂足为M，N，得矩形DMON．

S矩形ONDM?32，S△ONC?4，S△CDA?9，S△OAM?4．

S△AOC?S矩形ONDM?S△ONC?S△CDA?S△OAM?32?4?9?4?15．

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