八年级数学上册 第十三章《轴对称》小专题（四）活用等腰三角形

小专题(四) 活用等腰三角形“三线合一”解题

等腰三角形“顶角平分线,底边上的高,底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等,线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.

类型1 利用“三线合一”求角

1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠

BAD,∠CAD的度数.

解:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=40°.

又AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=×100°=50°.

类型2 利用“三线合一”求线段

2.在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,且AB+AC+BC=50 cm,而AB+BD+AD=40 cm,则AD= 15 cm.

3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB于点E,若CD=4,且△BDC的周长为24,求AE的长.

解:∵BD+BC+CD=24,CD=4,

∴BD+BC=20, ∴AD=BD=BC=10.

又∵AB=AC=AD+CD=14,DE⊥AB,

∴AE=BE=7.

类型3 利用“三线合一”证角(线段)相等

4.如图,已知点D,E,F在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE,DF=FE.求证:∠CAE=∠BAD.

证明:∵AD=AE,DF=FE,∴∠DAF=∠EAF,AF⊥BC. 又∵AB=AC,

∴∠BAF=∠CAF,

∴∠BAF-∠DAF=∠CAF-∠EAF,即∠CAE=∠BAD.

5.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,DB交AC于点F,且AF平分BD,CE交AD于点G,求证:CG=GE.

证明:∵AB=AD,AF平分BD,∴BF=DF. 在△BAF和△DAF中,

∴△BAF≌△DAF(SSS),∴∠BAF=∠DAF. ∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, ∴∠BAC=∠DAE,∴∠CAD=∠EAG.

又∵AC=AE,∴CG=GE.

类型4 利用“三线合一”证垂直

6.如图,在△ABC中,D是BC上一点,P是AD上一点,若∠1=∠2,PB=PC. 求证:AD⊥BC.

证明:作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.

∵∠1=∠2,∴PM=PN.

在Rt△BPM和Rt△CPN中,

∴Rt△BPM≌Rt△CPN(HL), ∴∠ABP=∠ACP. ∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB. ∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.

∵∠1=∠2,∴AD⊥BC.

类型5 利用“三线合一”证线段(或角)的倍数关

系(构造三线法)

7.已知:如图,△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D.求证:∠BAC=2∠DCB.

解:过点A作AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°,

∴∠BAE+∠B=90°.

∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠B=90°,∴∠DCB=∠BAE. ∵AB=AC,AE⊥BC,∴∠BAC=2∠BAE, ∴∠BAC=2∠DCB.

8.如图,已知等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于点

D.试说明:BF=2CD.

解:延长BA,CD交于点E.

∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,BD=BD, ∴△BDC≌△BDE,∴BC=BE.

又∵BD⊥CE,∴CE=2CD.

∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC, ∴∠ABF=∠DCF.

又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,

∴△ABF≌△ACE,∴BF=CE. ∴BF=2CD.

类型6 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造

三线法)

9.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.试说明:CD=AB+BD.

解:在线段DC上取一点E,使DE=BD,连接AE.

∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠ABC=∠AEB.

又∵∠ABC=2∠C,∴∠AEB=2∠C. 而∠AEB=∠CAE+∠C,

∴∠CAE=∠C.

∴CE=AE=AB,∴CD=CE+DE=AB+BD.

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