2011年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）及答案

2011年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数 学 (理科)

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 圆台侧面积公式：S??(r?r?)l.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A???1,0,a?,B?x0?x?1，若A?B??，则实数a的取值范围是

A．(??,0)

B．(0,1)

C．?1?

D．(1,??)

2．已知向量a?(1,1),2a?b?(4,2)，则向量a,b的夹角的余弦值为

??332210 10 C． B．? D．? 1010223．在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若ak?a1?a2?a3???a7，则k?

A．22 B．23 C．24 D．25

A．4．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于 ．．．

A．6 B．6? C．35? D．65?

第4题图

5．已知i为虚数单位，a为实数，复数z?(a?2i)(1+i)

在复平面内对应的点为M，则“a??”是“点M在第四象限”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数y?cos(x?A．??)?sin?(x?)的最小正周期为

???? C．? D．2? 2?x2?2x?1,x?07．已知函数f(x)??2，则对任意x1,x2?R，若0?x1?x2，下列不等

?x?2x?1,x?0 B．? 4式成立的是

A. f(x1)?f(x2)?0 B. f(x1)?f(x2)?0

C. f(x1)?f(x2)?0 D. f(x1)?f(x2)?0

x2y28．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)与抛物线y2?8x有一个公共的焦点F，且两曲线

ab的一个交点为P，若PF?5，则双曲线的渐近线方程为

A．x?3y?0 B．3x?y?0 C．x?2y?0 D．2x?y?0

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)

9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各 随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. s1，s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差， 则s1 s2.（填“?”、“?”或“＝”）. 10. 如果(x+第9题图

1n)展开式中，第四项与第六项的系数相等， x则n= ，展开式中的常数项的值等于 . 11. 已知直线x?2y?2与x轴，y轴分别交于A,B两点， 若动点P(a,b)在线段AB上，则ab的最大值为__________. 12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是 ． 13．若点P在直线l1:x?y?3?0上，过点P的直线l2 与曲线C:(x?5)?y?16只有一个公共点M， 则PM的最小值为__________.

22 (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

第12题图

14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1,?3).若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是 ． 15．（几何证明选讲）如图，在?ABC中， DE//BC， EF//CD，若BC?3,DE?2,DF?1， 则AB的长为___________．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

在?ABC中，已知A?45，cosB??第15题图

4. 5 (Ⅰ)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC?10,D为AB的中点，求CD的长.

17．（本题满分14分）

某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX. 18．（本题满分12分）

设数列?an?是首项为a?(a???)，公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且

S1,S2,S3成等差数列.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）记bn?

19．（本题满分14分）

如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O， PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA?AB?4， NC?2，M是线段PA上一动点．

（Ⅰ）求证：平面PAC?平面NEF；

（Ⅱ）若PC//平面MEF，试求PM:MA的值； （Ⅲ）当M是PA中点时，

求二面角M?EF?N的余弦值． 20．（本题满分14分） 第19题图

an的前n项和为Tn，求Tn. 2nx2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，以原点为圆心，椭圆短半轴ab3长为半径的圆与直线x?y?2?0相切，A,B分别是椭圆的左右两个顶点， P为椭圆C上

的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P与A,B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2，证明：k1?k2为定值；

（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若说明轨迹是什么曲线． 21．（本题满分14分）

已知三次函数f?x??ax3?bx2?cx?a,b,c?R?.

（Ⅰ）若函数f(x)过点(?1,2)且在点1,f?1?处的切线方程为y?2?0，求函数

OPOM??，求点M的轨迹方程，并

??f?x?的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间??3,2?上任意两个自变量的值x1,x2都有

f(x1)?f(x2)?t，求实数t的最小值；

（Ⅲ）当?1?x?1时，f?(x)?1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f?x?的表达式.

2010年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分） 题号 选项

1 B

2 C

3 A

4 C

5 A

6 C

7 D

8 B

二、填空题（每题5分，共30分） 9．? 10．8，70 11． 12．?121?9 13．4 14．(2,2k??) 15． 2324,5三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解

：

（

2Ⅰ）

?cosB?且

B?(0?,180?)，

∴sinB?1?cosB?3．-------------------------------2分 5cosC?cos(180??A?B)?cos(135??B)

------------------------------- 3分

?cos135?cosB?sin135?sinB??---------6分 （Ⅱ

）

由

24232?????． ----------------------252510（

Ⅰ

）

可

得

sinC?1?cos2B?1?(?由

正

弦

定

理

227)?2． -------------------------------8分 1010BCAB10AB??得，即，解

7sinAsinC22102222得

AB?14． -------------------------------10分

在?BCD中，BD?7， CD?7?10?2?7?10?所

4?37， 5以

CD?37． -------------------------------12分 17．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）第二组的频率为1?(0.04?0.04?0.03?0.02?0.01)?5?0.3，所以高为

0.3?0.06．频率直方图如下： 5

-------------------------------2分 第一组的人数为

120200?200，频率为0.04?5?0.2，所以n??1000． 0.60.2195 ?0.65．

300由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为1000?0.3?300，所以p?第四组的频率为0.03?5?0.15，所以第四组的人数为1000?0.15?150，所以a?150?0.4?60．

-------------------------------5分

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为

60:30?2:1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6

人． -------------------------------6分 随机变量X服从超几何分布．

0312C12C6C12C6515，， P(X?0)??P(X?1)??33C18204C1868

21C12C33P(X?2)?36?C186830C12C655． -------------------------------10分 P(X?3)??3C18204，

所以随机变量X的分布列为

X P

∴

0

5 204数

1

15 68学

2

33 683

55 204-------------------------------12分

期望

EX?0?5153355?1??2??3??2． -------------------------------142046868204分

18．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）∵S1?a1，S2?a1?a2?2a1?2，S3?a1?a2?a3?3a1?6，-------------------------------2分

由S1,S2,S3成等差数列得，2S2?解

得

S1?S3，即22a1?2?a1?3a1?6，

故

a1?1，

an?2n?1；

---------------------------------------4分 （

Ⅱ

）

bn?an2n?11n??(2n?1)()nn222，

---------------------------------------5分

12131n22211121113(3?)?5(4?)??n?(2?3)n?(n)?(?2①?得，Tn?1?()??222222法1：Tn?1?()?3?()?5?()???(2n?1)?()， ①

1121n?11)， ( )2②

①?②得，Tn?111111?2?()2?2?()3???2?()n?(2n?1)?()n?1

22222211(1?n)2?1?(2n?1)?(1)n?1?3?1?2n?1?2?2n?1n?11222221?2，

---------------------------------------10分 ∴Tn?3?42n?12n?3??3?． ------------------------------2n2n2nan2n?111??n??， 2n2n2n?12n---------12分 法2：bn?nk设Fn??k?1，记f(x)??(kxk?1)，

k?12k?1n?nk???x?xn?1??1?(n?1?nx)xn?则f(x)???x????x???， ??n1?x(1?x)k?1?k?1???nk∴

?1?Fn?4?(n?2)???2?n?1，

---------------------------------------10分 故

11(1?n)2?4?(n?2)?1?1?1?3?2n?3． ------------------------------Tn?Fn?2n?1nn12221?2---------12分 19．（本题满分14分） 解：法1：（Ⅰ）连结BD，

∵PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA?BD， 又∵BD?AC，AC?PA?A， ∴BD?平面PAC，

又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF//BD， ∴EF?平面PAC，又EF?平面NEF，

∴平面PAC?平面NEF；---------------------------------------4分 （Ⅱ）连结OM，

∵PC//平面MEF，平面PAC?平面MEF?OM， ∴PC//OM， ∴

PMOC1??，故PM:MA?1:3 -------------------------------8分 PAAC4（Ⅲ）∵EF?平面PAC，OM?平面PAC，∴EF?OM， 在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，∴NO?EF，

M?E?F的∴?MON为所求二面角

---------------------------------------10分

∵点M是PA的中点，∴AM?NC?2，

平

面

角

，

所以在矩形MNCA中，可求得MN?AC?42，NO?6，MO?22， --------------------12分

MO2?ON2?MN233在?MON中，由余弦定理可求得cos?MON?， ??2?MO?ON33∴

二

面

角

M?EF?N的余弦值为

?33． ---------------------------------------14分 33法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则P(0,0,4)，C(4,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，

????????∴PC?(4,4,?4)，EF?(?2,2,0)，

?????设点M的坐标为(0,0,m)，平面MEF的法向量为n?(x,y,z)，则ME?(4,2,?m)，

???????4x?2y?mz?06?n?ME?0x?1z?y?1所以?????，即，令，则，， ??m??2x?2y?0??n?EF?06?故n?(1,1,)，

m?????24?0，解得m?3， ∵PC//平面MEF，∴PC?n?0，即4?4?m故AM?3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；故PM:MA?1:3

--------------------------8分

??????NEF（Ⅲ）N(4,4,2)，则EN?(0,2,2)，设平面的法向量为m?(x,y,z)，

????????2y?2z?0?m?EN?0则??????，即?，令x?1， ??2x?2y?0???m?EF?0??则y?1，z??1，即m?(1,1,?1)，

当M是PA中点时，m?2，则n?(1,1,3)，

????1?1?333∴cos?m,n??， ??333?11∴二面角M?EF?N的余弦值为?20．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x?y?b， ∵直线

22233．-------14分 33

x?y?2?0与圆相切，∴d?2?b2，即

b?2，

---------------------------------------1分

又e?所

c3222，即a?3c，a?b?c，解得a?3，c?1， ?a3以

椭

圆

方

程

为

x2y2??1． ---------------------------------------3分 3222x0y0222?2?x0??1，即y0（Ⅱ）设P(x0,y0)(y0?0)， A(?3,0)，B(3,0)，则，

332y0y0则，， k1?k2?x0?3x0?3---------------------------------------4分

22222?x0(3?x0)y2?23?32??， 即k1?k2?2x0?3x0?3x0?3320∴

k1?k2为定值

2． ---------------------------------------6分 3（Ⅲ）设M(x,y)，其中x?[?3,3]．

2222x?2?xOPx2?6223P???C由已知及点在椭圆上可得， ??22222x?y3(x?y)OM?整

理

得

(?2?x3??y2?1，)其3中

6x?[?①当??．3 -------------------------------------8分 ,3]3时，化简得y2?6， 3所以点M的轨迹方程为y??6(?3?x?3)，轨迹是两条平行于x轴的线段；

--------------------9分

3②当??时，方程变形为

3-------------------------------------11分 当0???的部分； 当

x2y2??1，其中x?[?663?2?13?23,，]33时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?3?x?333???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?3?x?3的3部分；

当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆． ---------------------------------------14分 21．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）∵函数f(x)过点(?1,2)，∴f(?1)??a?b?c?2， ①

2又f?(x)?3ax?2bx?c，函数f(x)点(1,f(1))处的切线方程为y?2?0，

∴??f(1)??2?0，∴??a?b?c??2?c?0， ②

?f?(1)?3a?2b由①和②解得a?1，b?0，c??3，故

f(x)?x3?3x---------------------------------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）f?(x)?3x2?3，令f?(x)?0，解得x??1， ∵f(?3)??18，f(?1)?2，f(1)??2，f(2)?2， ∴在区间??3,2?上fmax(x)?2，fmin(x)??18，

∴对于区间??3,2?上任意两个自变量的值x1,x2，|f(x1)?f(x2)|?20，

∴t?20，从而t的最小值为20---------------------------------------8分

（Ⅲ）∵f?(x)?3ax2?2bx?c，

?f?(0)?c则 ??f?(?1)?3a?2b?c，可得6a?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)．

??f?(1)?3a?2b?c∵当?1?x?1时，f?(x)?1，∴f?(?1)?1，f?(0)?1，f?(1)?1， ∴6|a|?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?4，

∴a?23，故a的最大值为23， ?当a?2?f?(0)?c?13时，?f?(?1)?2?2b?c?1，解得b?0，c??1，

??f?(1)?2?2b?c?1∴

a取得最大值f?x??23x3?x． ---------------------------------------14分

；

； 时

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