2011年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理科)及答案
更新时间:2023-11-26 17:44:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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2011年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数 学 (理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 圆台侧面积公式:S??(r?r?)l.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A???1,0,a?,B?x0?x?1,若A?B??,则实数a的取值范围是
A.(??,0)
B.(0,1)
C.?1?
D.(1,??)
2.已知向量a?(1,1),2a?b?(4,2),则向量a,b的夹角的余弦值为
??332210 10 C. B.? D.? 1010223.在等差数列?an?中,首项a1?0,公差d?0,若ak?a1?a2?a3???a7,则k?
A.22 B.23 C.24 D.25
A.4.若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 ...
A.6 B.6? C.35? D.65?
第4题图
5.已知i为虚数单位,a为实数,复数z?(a?2i)(1+i)
在复平面内对应的点为M,则“a??”是“点M在第四象限”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数y?cos(x?A.??)?sin?(x?)的最小正周期为
???? C.? D.2? 2?x2?2x?1,x?07.已知函数f(x)??2,则对任意x1,x2?R,若0?x1?x2,下列不等
?x?2x?1,x?0 B.? 4式成立的是
A. f(x1)?f(x2)?0 B. f(x1)?f(x2)?0
C. f(x1)?f(x2)?0 D. f(x1)?f(x2)?0
x2y28.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)与抛物线y2?8x有一个公共的焦点F,且两曲线
ab的一个交点为P,若PF?5,则双曲线的渐近线方程为
A.x?3y?0 B.3x?y?0 C.x?2y?0 D.2x?y?0
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题(9~13题)
9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各 随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示(如右图). s1,s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差, 则s1 s2.(填“?”、“?”或“=”). 10. 如果(x+第9题图
1n)展开式中,第四项与第六项的系数相等, x则n= ,展开式中的常数项的值等于 . 11. 已知直线x?2y?2与x轴,y轴分别交于A,B两点, 若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为__________. 12. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的值是 . 13.若点P在直线l1:x?y?3?0上,过点P的直线l2 与曲线C:(x?5)?y?16只有一个公共点M, 则PM的最小值为__________.
22 (二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
第12题图
14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,?3).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是 . 15.(几何证明选讲)如图,在?ABC中, DE//BC, EF//CD,若BC?3,DE?2,DF?1, 则AB的长为___________.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
在?ABC中,已知A?45,cosB??第15题图
4. 5 (Ⅰ)求cosC的值;
(Ⅱ)若BC?10,D为AB的中点,求CD的长.
17.(本题满分14分)
某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
(Ⅰ)补全频率分布直方图并求n、a、p的值;
(Ⅱ)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和期望EX. 18.(本题满分12分)
设数列?an?是首项为a?(a???),公差为2的等差数列,其前n项和为Sn,且
S1,S2,S3成等差数列.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)记bn?
19.(本题满分14分)
如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,EF与AC交于点O, PA、NC都垂直于平面ABCD,且PA?AB?4, NC?2,M是线段PA上一动点.
(Ⅰ)求证:平面PAC?平面NEF;
(Ⅱ)若PC//平面MEF,试求PM:MA的值; (Ⅲ)当M是PA中点时,
求二面角M?EF?N的余弦值. 20.(本题满分14分) 第19题图
an的前n项和为Tn,求Tn. 2nx2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?,以原点为圆心,椭圆短半轴ab3长为半径的圆与直线x?y?2?0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点, P为椭圆C上
的动点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1?k2为定值;
(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若说明轨迹是什么曲线. 21.(本题满分14分)
已知三次函数f?x??ax3?bx2?cx?a,b,c?R?.
(Ⅰ)若函数f(x)过点(?1,2)且在点1,f?1?处的切线方程为y?2?0,求函数
OPOM??,求点M的轨迹方程,并
??f?x?的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间??3,2?上任意两个自变量的值x1,x2都有
f(x1)?f(x2)?t,求实数t的最小值;
(Ⅲ)当?1?x?1时,f?(x)?1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f?x?的表达式.
2010年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:(每题5分,共40分) 题号 选项
1 B
2 C
3 A
4 C
5 A
6 C
7 D
8 B
二、填空题(每题5分,共30分) 9.? 10.8,70 11. 12.?121?9 13.4 14.(2,2k??) 15. 2324,5三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分) 解
:
(
2Ⅰ)
?cosB?且
B?(0?,180?),
∴sinB?1?cosB?3.-------------------------------2分 5cosC?cos(180??A?B)?cos(135??B)
------------------------------- 3分
?cos135?cosB?sin135?sinB??---------6分 (Ⅱ
)
由
24232?????. ----------------------252510(
Ⅰ
)
可
得
sinC?1?cos2B?1?(?由
正
弦
定
理
227)?2. -------------------------------8分 1010BCAB10AB??得,即,解
7sinAsinC22102222得
AB?14. -------------------------------10分
在?BCD中,BD?7, CD?7?10?2?7?10?所
4?37, 5以
CD?37. -------------------------------12分 17.(本题满分14分) 解:(Ⅰ)第二组的频率为1?(0.04?0.04?0.03?0.02?0.01)?5?0.3,所以高为
0.3?0.06.频率直方图如下: 5
-------------------------------2分 第一组的人数为
120200?200,频率为0.04?5?0.2,所以n??1000. 0.60.2195 ?0.65.
300由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1000?0.3?300,所以p?第四组的频率为0.03?5?0.15,所以第四组的人数为1000?0.15?150,所以a?150?0.4?60.
-------------------------------5分
(Ⅱ)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为
60:30?2:1,所以采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6
人. -------------------------------6分 随机变量X服从超几何分布.
0312C12C6C12C6515,, P(X?0)??P(X?1)??33C18204C1868
21C12C33P(X?2)?36?C186830C12C655. -------------------------------10分 P(X?3)??3C18204,
所以随机变量X的分布列为
X P
∴
0
5 204数
1
15 68学
2
33 683
55 204-------------------------------12分
期望
EX?0?5153355?1??2??3??2. -------------------------------142046868204分
18.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)∵S1?a1,S2?a1?a2?2a1?2,S3?a1?a2?a3?3a1?6,-------------------------------2分
由S1,S2,S3成等差数列得,2S2?解
得
S1?S3,即22a1?2?a1?3a1?6,
故
a1?1,
an?2n?1;
---------------------------------------4分 (
Ⅱ
)
bn?an2n?11n??(2n?1)()nn222,
---------------------------------------5分
12131n22211121113(3?)?5(4?)??n?(2?3)n?(n)?(?2①?得,Tn?1?()??222222法1:Tn?1?()?3?()?5?()???(2n?1)?(), ①
1121n?11), ( )2②
①?②得,Tn?111111?2?()2?2?()3???2?()n?(2n?1)?()n?1
22222211(1?n)2?1?(2n?1)?(1)n?1?3?1?2n?1?2?2n?1n?11222221?2,
---------------------------------------10分 ∴Tn?3?42n?12n?3??3?. ------------------------------2n2n2nan2n?111??n??, 2n2n2n?12n---------12分 法2:bn?nk设Fn??k?1,记f(x)??(kxk?1),
k?12k?1n?nk???x?xn?1??1?(n?1?nx)xn?则f(x)???x????x???, ??n1?x(1?x)k?1?k?1???nk∴
?1?Fn?4?(n?2)???2?n?1,
---------------------------------------10分 故
11(1?n)2?4?(n?2)?1?1?1?3?2n?3. ------------------------------Tn?Fn?2n?1nn12221?2---------12分 19.(本题满分14分) 解:法1:(Ⅰ)连结BD,
∵PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA?BD, 又∵BD?AC,AC?PA?A, ∴BD?平面PAC,
又∵E,F分别是BC、CD的中点,∴EF//BD, ∴EF?平面PAC,又EF?平面NEF,
∴平面PAC?平面NEF;---------------------------------------4分 (Ⅱ)连结OM,
∵PC//平面MEF,平面PAC?平面MEF?OM, ∴PC//OM, ∴
PMOC1??,故PM:MA?1:3 -------------------------------8分 PAAC4(Ⅲ)∵EF?平面PAC,OM?平面PAC,∴EF?OM, 在等腰三角形NEF中,点O为EF的中点,∴NO?EF,
M?E?F的∴?MON为所求二面角
---------------------------------------10分
∵点M是PA的中点,∴AM?NC?2,
平
面
角
,
所以在矩形MNCA中,可求得MN?AC?42,NO?6,MO?22, --------------------12分
MO2?ON2?MN233在?MON中,由余弦定理可求得cos?MON?, ??2?MO?ON33∴
二
面
角
M?EF?N的余弦值为
?33. ---------------------------------------14分 33法2:(Ⅰ)同法1;
(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,则P(0,0,4),C(4,4,0),E(4,2,0),F(2,4,0),
????????∴PC?(4,4,?4),EF?(?2,2,0),
?????设点M的坐标为(0,0,m),平面MEF的法向量为n?(x,y,z),则ME?(4,2,?m),
???????4x?2y?mz?06?n?ME?0x?1z?y?1所以?????,即,令,则,, ??m??2x?2y?0??n?EF?06?故n?(1,1,),
m?????24?0,解得m?3, ∵PC//平面MEF,∴PC?n?0,即4?4?m故AM?3,即点M为线段PA上靠近P的四等分点;故PM:MA?1:3
--------------------------8分
??????NEF(Ⅲ)N(4,4,2),则EN?(0,2,2),设平面的法向量为m?(x,y,z),
????????2y?2z?0?m?EN?0则??????,即?,令x?1, ??2x?2y?0???m?EF?0??则y?1,z??1,即m?(1,1,?1),
当M是PA中点时,m?2,则n?(1,1,3),
????1?1?333∴cos?m,n??, ??333?11∴二面角M?EF?N的余弦值为?20.(本题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为x?y?b, ∵直线
22233.-------14分 33
x?y?2?0与圆相切,∴d?2?b2,即
b?2,
---------------------------------------1分
又e?所
c3222,即a?3c,a?b?c,解得a?3,c?1, ?a3以
椭
圆
方
程
为
x2y2??1. ---------------------------------------3分 3222x0y0222?2?x0??1,即y0(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0?0), A(?3,0),B(3,0),则,
332y0y0则,, k1?k2?x0?3x0?3---------------------------------------4分
22222?x0(3?x0)y2?23?32??, 即k1?k2?2x0?3x0?3x0?3320∴
k1?k2为定值
2. ---------------------------------------6分 3(Ⅲ)设M(x,y),其中x?[?3,3].
2222x?2?xOPx2?6223P???C由已知及点在椭圆上可得, ??22222x?y3(x?y)OM?整
理
得
(?2?x3??y2?1,)其3中
6x?[?①当??.3 -------------------------------------8分 ,3]3时,化简得y2?6, 3所以点M的轨迹方程为y??6(?3?x?3),轨迹是两条平行于x轴的线段;
--------------------9分
3②当??时,方程变形为
3-------------------------------------11分 当0???的部分; 当
x2y2??1,其中x?[?663?2?13?23,,]33时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?3?x?333???1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?3?x?3的3部分;
当??1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆. ---------------------------------------14分 21.(本题满分14分) 解:(Ⅰ)∵函数f(x)过点(?1,2),∴f(?1)??a?b?c?2, ①
2又f?(x)?3ax?2bx?c,函数f(x)点(1,f(1))处的切线方程为y?2?0,
∴??f(1)??2?0,∴??a?b?c??2?c?0, ②
?f?(1)?3a?2b由①和②解得a?1,b?0,c??3,故
f(x)?x3?3x---------------------------------------4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)f?(x)?3x2?3,令f?(x)?0,解得x??1, ∵f(?3)??18,f(?1)?2,f(1)??2,f(2)?2, ∴在区间??3,2?上fmax(x)?2,fmin(x)??18,
∴对于区间??3,2?上任意两个自变量的值x1,x2,|f(x1)?f(x2)|?20,
∴t?20,从而t的最小值为20---------------------------------------8分
(Ⅲ)∵f?(x)?3ax2?2bx?c,
?f?(0)?c则 ??f?(?1)?3a?2b?c,可得6a?f?(?1)?f?(1)?2f?(0).
??f?(1)?3a?2b?c∵当?1?x?1时,f?(x)?1,∴f?(?1)?1,f?(0)?1,f?(1)?1, ∴6|a|?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?4,
∴a?23,故a的最大值为23, ?当a?2?f?(0)?c?13时,?f?(?1)?2?2b?c?1,解得b?0,c??1,
??f?(1)?2?2b?c?1∴
a取得最大值f?x??23x3?x. ---------------------------------------14分
;
; 时
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