《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题

一、概念叙述

1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、A1空间 14、A2空间 15、可分空间 16、Lindeloff空间 17、Ti空间（i?1,2,3,4） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题

1、有限集不可能有聚点 （ ）

2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A?A （ ） 3、如果A?B??，则A?B?A?B （ ）

4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。 （ ） ５、若f:X?Y是同胚映射，则f?X??Y （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）

第 1 页７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是A2空间 （ ） ９、在Rl中，?a,b?是开集 （ ）

１０、映射f:X?Y是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列?xi?收敛于

x?X，则扑拓空间Ｙ中相应序列?f?xi??收敛于f(x) （ ）

１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y?C （ ） １２、A2空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为T0空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）

１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A?X，则点x是集合Ａ的一个凝聚点

?在A??x?中有一个序列收敛于x （ ）

１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）

１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）

１８、拓扑空间X是一个连通空间当且仅当X中不存在既开又闭的非空真子集. ( )

19、若拓扑空间中的子集A是连通集，则它的闭包A也是一个连通集。

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20、设A、B是拓扑空间X中的两个连通子集，则A?B也是X的一个连通子集 （ ）

21、如果A、B是拓扑空间X中两个不交的开子集，则A、B必是X中隔离子集 （ ）

22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ） 23、正规空间必是Hausdorff空间 （ ）

24、在一个紧致的T2空间中，一个集合是紧致子集?它是一个闭集

（ ）

25、紧空间必是Lindelǒf空间 （ ） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ） 27、正则空间必是Hausdorff空间 （ ）

28、设X?X1?X2是空间X1、X2的积空间，A?X1,B?X2分别是X1、X2中闭集 （ ）

29、设A、B是拓扑空间X中两个子集，并且A?B??，则有

d?A?B??d?A??d?B? （ ）

30、若拓扑空间X是连通空间，则X必是局部连通空间 （ ） 三、填空

1、设f:X?Y是同胚映射，则f必是一一映射，并且 和 都是第 2 页连续的。

2、设Y是拓扑空间?X,??的子集，Y的拓扑?Y称为 ；拓扑空间?Y,?Y?称为?X,??的 。

3、连通空间X中既开又闭的子集只能是 和 。

4、设X是拓扑空间，若X的每一 覆盖都有一个 ， 则X是Lindelǒf空间。

5、正规的 空间或紧致的 空间是T4空间。

6、X是拓扑空间。若X的每一个 开覆盖都有 ，则X是可数紧致空间。

7、如果A是离散空间X中一个非空连通子集，则A必是 。 8、如果X是一个可数集，则X上的可数补拓扑空间必定是 。 9、设X是离散度量空间，X上度量为??x,y????1,x?y,?0,x?y,则X中任一点

x的球形邻域B?x,1?? 。

10、在拓扑空间X中，如果子集A是开集，B是闭集，则A?B是 B?A是 。

11、设?X,??是实数集R上的可数补空间，A是X中一个可数集，B是

X中一个不可数集，则d?A?? ，d?B?= 。

12、如果集合X上的任一拓扑?，拓扑空间(X,?)都是紧致空间，则

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X必是 。 13、在平面空间R2中，度量?定义为任意两点

a??x1,x2?,b??y1,y2?,??a,b??x1?y1?x2?y2,则以原点O为中

心，??0为半径的球形邻域B?0,??的图形是 。

14、积空间X?X1?X2的子基元素的一般形式是 或 。 15、设Y??01,??2,3??是实数空间R的一个子空间，

则Y的子集?0,1?是Y的 。

16、在实数空间R中，取A为整数集，B为有理数集，则A? ， B? 。

17、设X=?a,b,c?，X上拓扑????,X,?a,b??，取子集A??b?，则

d?A?? 。

18、如果X是平庸空间，则X必为紧致空间，它的每一个开覆盖?，必有有限子覆盖A1= 。 四、单选题

1、设X=?a,b,c?，它的一个拓扑是（ ）

?A? ??,?a?,?a,b?,?a,b,c?? ?B? ??,?b?,?c?,?a,b,c?? ?C? ??,?a,b?,?a,c?,?a,b,c?? ?D? ??,?a??b?,?c?,?a,b,c??

第 3 页2、设X是拓扑空间，F为所有闭集构成的族，则有（ ）．

?A?若Ai?F?i?1,2,?? 则有A1?A2???An???F ?B?若Ai?F?i?1,2,?? 则有A1?A2???An???F ?C??,X?F ?D?若A?F 则X?A?F

3 、设 X为拓扑空间，则对?A,B?X，必有（ ）． ?A? ??X ?B? A?A ?C? A?B?A?

B ?D? A是闭集 4、设X为拓扑空间，x?X，则有 （ ）．

?A? x的任意邻域都是X的开集 ?B? x的任意邻域都是X的闭集

?C? 包含x的开集都是x的邻域

?D? 若U1,U2是x的邻域，但U1?U2不是x的邻域

5、已知?0,1?是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间?0,1?中的开集是 （ ）

． ?A? ?0,b? ?B? ?a,b? ?C? ?a,b? ?D? ?

其中a,b??0,1?．

6、设X??a,b,c?，?是平庸拓扑，?X,??中两子集是隔离的是（ ）．?A? ?a?与?b? ?B? ?a,b?与?b,c? ?C? ?a?与?b,c? ?D?

?与?a?

7、下面命题中正确的是（ ）．

?A? 平庸空间是T0空间

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?B? 在T2空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列

?C? T1空间未必是T0空间 ?D? T1空间中每一单点集都是闭集

8、若X是Hausdorff空间，则X必是（ ）．

?A? 正则空间 ?B? 正规空间 ?C? T3空间 ?D? T1空间

9、下面不连通的拓扑空间是（ ）．

(A) 实数空间 ?B? 平庸空间

?C? 包含多于两个点的离散空间 ?D? 拓扑学家正弦曲线S????1????x,sinx???R20?x?1??? 10、下面正确的命题是（ ）．

(A) 设f:X?Y是连续映射，若 X满足第二可数性公理（即X是A2空间），则 Y也是A2空间。

?B?A2空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。

?C? 若拓扑空间Xi?1?i?n?都是A2空间，则积空间X1?X2???Xn也

是A2空间。

?D?A2空间未必满足第一可数性公理。

11、拓扑空间X中，A,B是隔离子集，则在子空间A?B中子集A是（ ）．

?A? 开集，但不是闭集 ?B? 闭集，但不是开集

第 4 页 ?C? 既是开集，又是闭集 ?D? 既不是开集，又不是闭集 12、在实数空间中，子集A??0,1?，B??0,1?，C??0.1?，D??0,1?，其中可能有同胚关系的是（ ）．

?A? A与B ?B? C与D ?C? A与C ?D? B与D

13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为

Hausdorff空间”的（ ）。

?A? 充分条件 ?B? 必要条件

?C?充分必要条件 ?D? 既不是充分条件，也不必要条件

14、设Y??0,1???2,3?是实数空间R的一个子空间，则Y中的子集?0,1?是Y的（ ）．

?A? 开集，但不是闭集 ?B? 闭集，但不是开集

?C? 既是开集，又是闭集 ?D? 既不是开集，又不是闭集

15、设?X,??集合R上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（ ）

?A?

X是A1空间 ?B? X是A2空间

?C?X是可分空间 ?D?X是Lindeloff空间

16、拓扑空间X中“只有单点集”是“X为离散空间”的（ ）

?A? 充分条件 ?B? 必要条件

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?C?充分必要条件 ?D? 既不是充分条件，也不必要条件

五、证明题

1、设X是一个集合，令????，X?，则?是X的一个拓扑． 2、有理数集Q作为实数空间R的子空间是不连通的． 3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．

4、拓扑空间X的子集U是开集的充要条件是U是它的每一点的邻域．

5、若X是T1空间，则X中的每个单点集都是闭集。 6实数空间R不是一个紧致空间。

7、包含不少于两个点的平庸空间不是T0空间。

8、设?X，??为度量空间，如果X为有限集，证明：?X，??为离散空间。

9、设?X，??为拓扑空间，证明：如果X的每一个子集A都满足

d?A???，则?X，??是离散空间。

10、设X为拓扑空间，f:X?R （其中R为实数空间）是连续映射，证明X中的子集A??x?Xf?x??0?为开集。 11、证明：正则的T0空间必是T3空间。

12、证明：实数集R上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff空间。

第 5 页13、设?X,??是度量空间，证明：如果X有一个基只含有有限个元素，则X必为有限集，且?X,??是离散空间。

14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。

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