江西省南昌市第二中学、临川区第一中学等2016届高三4月份联考（二）数学（理）试题

2016届高三年级四月份联考（二）

数学（理）试卷

命题人：南昌二中 周启新

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U?R，A?{x|x2?2x?0}，B?{x|x??1}，则集合e??U(A?B)=（ ） A．(??,?1]?(0,??) B．(??,?1)?[0,??) C．(?1,0] D．[?1,0) 2．复数Z?(sinθ?2cosθ)?(sinθ?2cosθ)i是纯虚数，则sinθcosθ＝（ ）

5225 B．? C． D．

52253．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） ①y?f(|x|) ②y?f(?x) ③y?xf?x? ④y?f?x??x

A．?A．①③ A．2

B． ②③ C．①④ D．②④ B．5 C．10

D．lg50

4．等比数列?an?中，a3?5，a8?2，则数列?lgan?的前10项和等于（ ）

5．如图给出的是计算

1111?????的值的一个框图， 24620C．i?10? D．i?11?

其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．i?8? B．i?9?

6．已知抛物线C:y2?4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中 点坐标为(2,2)，则AB所在直线的方程为（ ） A．x?y?4?0

B．x?y?0

C．2x?y?2?0 D．2x?y?6?0

7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行 了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方 ^

程y＝0.72x＋58.4. 10 20 30 40 71 76 79 表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88

零件数x（个） 加工时间y(min) 8．(x?50 89 a2)(3x?)5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ） xxA．2520 B．1440 C．?1440 D．?2520

39．圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍。O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任

2取一点P，则使|PO|?r的概率为( )

1123A． B． C． D．

3234

1

10．下列四个命题中，正确的有( )

①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题“?x?R，使得x2?x?1?0”的否定是:“对?x?R， 均有x2?x?1?0” ； ③命题“p?q为真”是命题“p?q为真”的必要不充分条件； ④若函数f(x)?x3?3ax2?bx?a2在x??1有极值0，则a?2,b?9或a?1,b?3. A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D．3个

x2y211．过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与

ab双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(1,2) B．(1,5) C． (2,2) D． (2,5)

12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球 的表面积为( ) A.

2 2 主视图

D.

侧视图 1 1 4141? 48B．12?

C.

25? 441? 4俯视图 第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

?????13．设向量a与b的夹角为?，且a?(3,3),2b?a?(?1,1)，则cos??__________．

?x?1,y?1?则W?14．实数x，y满足不等式组?y?0,的取值范围是_________.

x?x?y?0,?15．己知函数f(x)?23x?x2?ax?1的图像上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都3大于零，则实数a的取值范围为 ．

16．在数列{an}中，a1?0，an?2?(?1)nan?2.记Sn是数列{an}的前n项和，则

S2016?S 2013? . 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内． 17．（本小题满分12分）

如图,D是直角?ABC斜边BC上一点,AC?3DC． （Ⅰ）若?DAC?30,求角B的大小；

（Ⅱ）若BD?2DC,且AD?2,求DC的长．

2

?18．（本小题满分12分）

某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）： 男 女 7 15 5 7 8 9 9 9 8 16 1 8 4 5 2 9 8 3 5 6 17 0 2 7 5 4 6 1 2 4 18 0 1 1 19 男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；

（II）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望． 19．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，?DAB??DAA1。 （Ⅰ）求证：A1B?BC；

? （Ⅱ）若AD?AB?3BC，?A1AB?60，

点D在平面ABB1A1B的中点， 1上的射影恰为线段A求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小． 20．（本小题满分12分）

x2y26已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦距为42，抛物线C2：

ab3x2?2py(p?0)的焦点F是椭圆C1的顶点．

????????（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足FP?FQ?0，且直线PQ与C2相切，求?FPQ 的 面积． 21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)??aln(x?1)?（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；

a?1?a?1(a?R) x?11nn?a（Ⅰ）讨论f(x)在(0,??)上的单调性； （Ⅱ）若对任意的正整数n都有(1?)

?e成立，求a的取值范围．

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四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O的半径为 4，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC?2，?BOD??A，OB与⊙O相交于点E.

（Ⅰ） 求BD长；

（Ⅱ）当CE?OD时，求证：AO?AD. 23、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

?x?2?2cos?（?为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标

?y?2sin?原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

??cos(??)?22 (??0,0???2?)．

4 （Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

已知曲线C1的参数方程为? （Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为45的直线交C2于点A．求|PA|的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知?x0?R使得关于x的不等式|x?1|?|x?2|?t成立．

(I)求满足条件的实数t的集合T；

(Ⅱ)若m?1，n?1，且对于?t?T，不等式log3m?log3n?t恒成立，试求m?n的最小值.

?2016届高三年级四月份联考（二）数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12.D

4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．

7310 14． [?1,1) 15． (3,) 16． 2016

210ACDC. ?sin?ADCsin?DAC三、解答题

17.解： （Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有

因为AC?3DC,所以sin?ADC?3sin?DAC?3. 2又?ADC??B??BAD??B?60??60? 所以?ADC?120°. 于是?C?180??120??30??30?,所以?B?60°. ……………………6分 （Ⅱ）设DC?x,则BD?2x,BC?3x,AC?3x.

AC36,cosB?,AB?6x. ?BC33222在?ABD中,由余弦定理,得 AD?AB?BD?2AB?BDcosB,

6222即(2)?6x?4x?2?6x?2x??2x2 ,得x?1. 故DC?1. ………12分

3165?168?166.5cm．………3分 18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为

2（II）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0,1,2. ………4分

于是sinB?

2110C80C10C8C1080C82C10528则P(X?0)?，，， ?P(X?1)??P(X?2)??222C1817C18153C18153(每项2分)……………………………10分 因此，X的分布列如下： 0 X 1 2 80 28 5 P 15315317∴．（未化简不580281368E(X)?0??1??2???（人）171531531539扣分）……12分 88?（人） 18919．解：（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于 点O，连OD，如图19—1所示。

ΔABD， 由AA1D≌1?AB，?DAB??DAA1，可得ΔAA（或是，因为X服从超几何分布，所以E(X)?2? 所以A1D?BD，

由于O是线段A1B的中点，所以DO?A1B，

又根据菱形的性质知AO?A1B，所以A1B?平面ADO，

所以A1B?AD，又因为AD∥BC，所以A1B?BC。……………6分

5

图19—1

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