论文：数学思想方法

数学思想方法

河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增

数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征

常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下：

类型一：化归思想方法: 重难点突破：解决问题的基本思想就是化

未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想

【例1】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径

的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π)

第1个图形 第2个图形 第3个图形

分析：本题考察了扇形面积和n边形内角和公式，解题关键是：是求第n个图形中(n＋2)个半径为1的扇形的面积之和 解析：S???12360?(n?2)-2??180?n?，答案；n?

22

类型二：数形结合: 重难点突破： 根据数学问题的题设和结论之间

的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决；

【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1,动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是 ( )

Y D P 1 3 O 1 (A) Y 2 C 3 1 X O 3 (B) Y A Y 3 B1 X O (C) 3 X O 1 (D) 3 X 分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分．

解析：当点P在BC上时，即0＜x≤1时

1S?PAB?1AB?PB?22?2?x?x

当点P在CD上时，即1＜x≤3时

1S?PAB?12AB?BC?2?2?1?1 答案：B

类型三：分类讨论思想方法: 重难点突破： 被研究问题包含多种

可能情况，而不能一概而论，此时我们必须按可能出现的所有情况来分别讨论解决，得出各种情况下相应的结论．在涉及到此问题时，要遵循不重复、不逸漏任何一种情况和每种可能情况都要按照同一标准进行讨论的原则，也是解决问题的关键．

【例3】(07成都)在平面直角坐标系x0y中，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点P(1.1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是_________． 解析：关键是分两种情况讨论；答案：(－2.O)或(4.O) 【例4】已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ( ) A．20 B．120 C．20或120． D．36

分析：此题需要分类讨论；①当顶角与底角之比为1:4时，设顶角为x0，则有x＋4x＋4x＝180，解得x＝20，此时顶角为20；

0

0

0

0

0

0

0

②当底角与顶角之比为1:4时，设底角为x0，则有x＋x＋4x＝180，解得x＝30，此时顶角为120；故选(C)．

0

0

【例5】(09哈尔滨)如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(－3.4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H， ⑴求直线AC的解析式． ⑵连接BM，如图②，动点P从 点A出发，沿折线ABC方向以 2个单位/秒的速度向终点C匀速 运动，设△PMB的面积为S(S≠0)， 点P的运动时间为t秒，求S与t 之间的函数关系式(要求写出自变 量t的取值范围)；

⑶在⑵的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 分析：⑴中，利用点A的 坐标求出OA的长度为5， 由于四边形ABCD为菱形， 则四条边相等，所以点C的 坐标为(5.0)，由点A与点C 的坐标，利用待定系数法 即可求出直线AC的解析 式；⑵由图形可知，点P在 线段AB上运动与在线段BC上运动，△PMB的面积是不一同的，

E O 图② C x M P1 A H y E O 图① C x M A H y B P B

所以要分两种情况分别计算，利用三角形的面积公式，分别表示出两种情况下的三角形的面积的函数解析式；⑶可先假设此种情况成立，然后由此种情况推出相应的结果，注意还要如⑵一样分两种情况解答，若直接求此角的正切值，会比较困难，我们可通过角的转化，求与其相等的角的正切，这个相等角在一个直角三角形中，这样就可利用正切的定义求出相应的值了． 解析：⑴过点A作AE⊥x轴，垂足为E(如图①) ∵点A的坐标为(－3.4)，∴AE＝4，OE＝3 ∴OA?AE2?OE2?5

∵四边形ABCD为菱形，∴OC＝CB＝BA＝OA＝5 ∴点C的坐标为(5.0)

5k＋b＝0

设直线AC的解析式为y＝kx＋b,则 解得：

1k?- 2

5b? 2

－3k＋b＝0

15x? 22 ∴直线AC的解析式为：y?-⑵∵直线AC的解析式为：y?-5215x?与22y轴交于点M，∴M(0.5) 2∴0M＝，如图②，当点P在AB上运动时， 由题意得，0H＝4，∴HM＝． ∴S＝即

113BP?MH?(5-2t)? 2223155S＝-t?(0≤t＜)．

24232当点P在BC上运动时，记为P1． ∵∠0CM＝∠BCM，C0＝CB，CM＝CM，

∴△0MC≌△BMC，MB＝M0＝，∠MBC＝∠M0C＝90． ∴S＝即

115P1B?BM?(2t-5)?2225255S＝t-(＜t≤5)

242520

y P A H B Q M k P1 E O 图3 C x

⑶当点P在AB上时，设0P与AC交于点Q，连接0B交AC于点k， ∵∠A0C＝∠ABC，∴∠A0M＝∠ABM

∵∠MPB＋∠BC0＝90，∠BA0＝∠BC0，∠BA0＋∠A0H＝90． ∴∠MPB＝∠A0H，∴∠MPB＝∠MBH ∴MP＝MB，∵MH⊥PB

∴PH＝BH＝2，∴AP＝AH－PH＝3－2＝1，∴t＝ ∵AB∥0C，∴∠PAQ＝∠0CQ，又∵∠AQP＝∠CQ0 ∴△AQP∽△CQ0，∴

1AQAP1??，∴AQ＝AC

6QCC050

0

12在Rt△AEC中，AC＝AE2?EC2?42?82?45 ∴AQ＝

125105?45?，QC＝633

在Rt△0HB中，0B＝HB2?H02?22?42?25 ∵AC⊥0B，0K＝KB，AK＝CK ∴0K＝5，AK＝KC＝25 ∴QK＝AK－AQ＝453，∴tan∠0QC＝

0KQK＝

34当点P在BC边上运动时如图③

y P A H B M k P Q E O 图③ C x

∵∠BHM＝∠PBM＝90，∠MPB＝∠MBH

3∴tan∠MPB＝tan∠MBH＝2?3

2451025MB10∴在Rt△MBP，PB＝，∴2t－5＝，∴t＝?2?36tan?MPB334105∴PC＝BC－PB＝5－?

330

由PC∥0A，同理可证△PQC∽△0QA，∴∴QC＝

1AC?5，QK＝KC－QC＝5 4QCPC1?? AQAO3

∵0K＝5，∴tan∠0QA＝

10K?1 KQ综上所述，当t＝时，∠MPB与∠BC0互为余角，直线0P与直

2 325线AC所求锐角的正切值为；当t＝时，∠MPB与∠BC0互为

46余角，直线0P与直线AC所求锐角的正切值为1．

类型四：数学建模思想方法：重难点突破：从分析问题的数量关系

入手，通过抽象、简化、假设引进变量等处理过程，将实际问题用数学思想方式表达，建立数学模型，用数学方法求解，可根据实际问题的不同，建立方程(组)、不等式(组)、函数、几何等模型，培养提高应用数学知识分析问题、解决问题的能力；

【例6】(07临沂市)如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为 ( )

D A．x＝10，y＝14 B．x＝14，y＝10 C．x＝12，y＝15 D．x＝15，y＝12 分析：如图，截取矩形铁皮，则矩形其 中一个顶点可取在DC或BC边上，由于 使截取矩形面积最大，因此只需讨论顶点

在BC边上，当矩形面积最大时，求边长，实质上是确定二次函数顶点坐标问题．

解析：作CE⊥AB于E，则CE∥DA，

A 20 8 C y F x B E 24 N

∴△FNB∽△CEB，∴整理得x?-FNCEx?BN，即BE20?24-y 24-85y?30 455因此S矩形?xy?(-y?30)?y?-y2?30y(8≤y＜24)

445当y?-30?12，即x?-?12?30?15时，S矩形最大，答案(D)

54-2【例7】某校九年⑴班为毕业购买留念品，欲购买价格分别为2元，4元和10元的留念品，每种留念品至少购买一件，共买16件，恰好用去50元，若2元的留念品购买a件， ⑴用含a的代数式表示另外两种留念品的件数； ⑵请你设计购买方案，并说明理由.

解析；⑴设4元的留念品买x件，10元的留念品买y件.， 根据题意得

a＋x＋y＝16 2a＋4x＋10y＝50 4的留念品为

解得

4ax?55-3-7y?a355?4aa-7件，10元的留念品为件 3355?4a≥13⑵由题意得 a-7≥1 解得，10≤a≤13

3

a≥1 ∵a为正整数，∴a＝10、11、12、13 当a＝10时，x＝5，y＝1

114，y＝(不合题意，舍去) 3375当a＝12时，x＝，y＝ (不合题意，舍去)

33当a＝11时，x＝

当a＝13时，x＝1，y＝2

∴购买方案一：2元的买10件，4元的买5件，10元的买1件. 购买方案二：2元的买13件，4元的买1件，10元的买2件.

类型题五：方程思想方法：重难点突破；根据题意设定合适的未知

数，寻求题中的等量关系，列出方程(组)并通过列方程(组)来求解，最后再进行验证是否符合题意，并得出结论；

【例8】小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约为 ( )

A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm

9cm 14cm

解析：本题由图示提供的信息可设一个纸杯高度xcm，在一起两

纸杯间距离为ycm，根据题意得 x＋2y＝9 x＝7 x＋7y＝14 y＝1

∴x＋(100－1)y＝7＋99×1＝106(cm)，答案（A）

解得

类型六：函数思想方法；重难点突破；根据题中的条件及所给数量关系，构造函数关系，使问题在函数关系中实现转化．

【例9】凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每次提高20元的这种方法变化下去．⑴设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1 （元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式． 解：依题意，得y1＝100＋x

y2?x1?10?x 202⑵为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，请说明理由．

解：⑵依题意得 y?(100?x)(100-即y?-1(x-50)2?11250 21x) 2依题意得当x＝40或60可使包房收入最大 当x＝40时，100－0.5×40＝80（间） 当x＝60时，100－0.5×60＝70（间） 为了投资少而利润大，∴ 取x＝60 ∴每间包房每天晚餐应提高60元可获得

0 40 50 60 x y 11250 11200 最大包房费收入，最大包房费收入为11200元．

类型七：整体思想方法；重难点突破；由于题目按常规不容易

求出某一(或多个)未知量时，可打破常规，依据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．

212【例10】(08天津)若(x?1，则(x-______ )?9x)的值为x222111)?x-2x???x?2x?1解析：(x-1xxx?x-4 x222，答案；5 ?(x?1x)-4?9-4?5【例11】关于x的方程kx＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根．⑴求k的取值范围；

⑵是否存在实数k，使方程的两根的倒数等于0，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 解析：⑴依题意得

△＝(k＋2)2－4k?K≠0

2

k4k＞0 4解得：k＞－1且k≠0

⑵设关于x的方程的两根分别为x1，x2．根据根与系数的关系得

x1?x2?-k?21，x1?x2? K4若

x?x211??0，则1?0，即x1x2x1x2?k?2k?0， 14解得：k＝－2 ∵k＞－1且k≠0 ∴k＝－2不合题意，舍去

所以，不存在实数k，使方程的两个实数的倒数和等于0．

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