陕西师范大学练习1

陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（一）

一、单项选择题

1. 如果A?B?A?B， 则 ( C )。

A.A?B B. A?B C. A?B D. A?B 2.设S?{0,1,2}，则S上的等价关系有（ D ）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 指出下列运算（ C ）是对应集合的二元运算 A．在有理数集Q上，a?b?a B. 在非零有理数集Q*上，a?b?a?b bC. 在有理数集Q上，a?b?a?b D. 在非零有理数集Q*上，a?b?a2?b2 4. 下列集合（A ）对运算a?b=a?b?2作成交换群。

A．整数集Z B. 非零实数集R* C. 非零有理数集Q* D. 非零整数集Z* 5. 模6加群Z6的生成元有（ A）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.设G?(R*,?)，下列（ B ）规则是群G的自同态映射。

2A.x?2x B. x?x C. x??x D. x??1 x7. 下面（ A ）环是非交换环。 A. (Mn(F),?,?) B. (Z,?,?) C. (Zm,?,?) D. 高斯整环

8. 设F是域，且|F|?16，则F的特征为（ A ）。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

9. 模12的剩余类环Z12中，子环（ B ）无零因子。

A. {0,6} B. {0,4,8} C. {0,3,6,9} D. {0,2,4,6,8,10} 10. 设R，R是两个环，且R~R，则下列命题中的错误的是（C ）。 A. 若R是可换环，则R可换 B. 若R有单位元，则R有单位元 C. 若R无零因子，则R无零因子 D. 若a是R的逆元，则a象是R逆元。 二、计算题

?????? 1

设?,??S5，其中??(123)(45)， ????54132??。

?? 1.求?的周期; 2.求????1及其周期; 3.将????1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。

提示：1．因为?((123))?3,?((45))?2,且(123)(45)?(45)(123),(2,3)?1 故?((123)(45))?6．

2. ????1=(?(1)?(2)?(3))(?(4)?(5))=(541)(32)=(154)(23)，(????1)=6; 3．????1?(154)(23)?(14)(15)(12)(13)(12). 三、计算与证明题 设S3是三次对称群。

1. 把S3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。

2. 证明S3是阶数最小的不可换群。 提示：1.S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)};

2、利用拉格朗日定理及每个元素的平方是单位元是可换群，素数阶群一定是循环群。

四、证明题

假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G 的任意三个元a,x,y来说，有ax～ay?x～y。 证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。 提示：设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即e?H----4分;

?12345??a,b?H,则a～e, b～e因而ae～a?1, be～bb?1,由题设可得e～a?1, e～b?1,---10分; 由对称性及传递性得b?1～a?1,a?1ab?1～a?1e,再由题设得ab?1～e即

ab?1?H,那么与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群

五、证明题

设群G=(a)且a的周期是n.

证明:对n的每一个正因子k,有且只有一个k阶子群。

2

提示：对n的每一个正因子k,，则|a|?k，令H?(a)，则H是G一个k阶子群； 设M?(am)是G任一个k阶子群，则amk?e，于是n|mk，因而mnknkn|m，从而k(a)?H?(a)，---10分 然而|H|?|M|，因而，M?H?(a)，从而G有且只有一个k阶子群。 六、证明题

设G是一个阶大于1的群,证明：G只有平凡子群当且仅当G为素数阶循环群。 提示：充分性，由Lagrange定理知，显然成立。

必要性，因为|G|?1，所以存在a?G,a?e。设H?(a)，则H?{e}，但是H?G，由假设，H?G；若|a|??，则(a2)是G的非平凡子群，与假设矛盾；

若|a|?n是合数，即n?n1n2，n1?1,n2?1，则|an1|?n2，从而(an1)是G的非

平凡子群与假设矛盾。因此G为素数阶循环群。 七、证明题(20分)

假定R[x]是整数环R上的一元多项式。 1. 写出R[x]的理想(2,x)所含元素形式. 2. 证明: (2,x)不是R[x]主理想.

3. 证明:若R是有理数域,那么(2,x)是R[x]的一个主理想. 4. (x)是不是R[x]的最大理想?若R是有理数域时,情形如何?

提示：1、(2,x)刚好包含所有多项式:2a0?a1x???anxn,(ai?R,n?0).

2、假定(2,x)是主理想,即(2,x)?(p(x))那么2?(p(x)),x?(p(x)), 因而 2?q(x)p(x),x?h(x)p(x)但由2?q(x)p(x),可得p(x)?a?R,即

nknka??1, x?h(x)a这样?1?p(x)?(2,x)是矛盾的.

3、 若R是有理数域,那么R[x]包含有理数11,于是2?1?(2,x),因而它的理想 22(2,x)含有单位元1,因此(2,x)等于主理想(1).

4. (x)不是R[x]的最大理想,若R是有理数域时, (x)是R[x]的最大理想 八、写出Z20的所有理想和最大理想。

答案：Z20的理想：H1?{[0]]，H2?Z20，H3?{[0],[4],[8],[12],[16]}

3

H4?{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]}，H5?{[0],[5],[10],[15]}，

H6?{[0],[10]}； Z20的最大理想：H5?{[0],[5],[10],[15]}，

H4?{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]}

九、证明：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

提示：如果R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是无限大，那么结论成立；假定R*中的某个元

a的阶是有限整数，而b是环R里任意不等于零的元，那么由

(na)b?a(nb)?0及R是无零因子的环知nb?0，所以b的阶?a的阶，同理a的阶

?b的阶，即有a的阶?b的阶，从而结论得证。

十、证明：有理数域Q是所有复数a?bi，其中a,b是有理数，作成的域R(i)的唯一的真子域。

答案：设F是域R(i)的一个真子域，由于有理数域Q是最小数域，则Q?F；若Q?F，则存在a?bi?F,b?0。于是i?b?1((a?bi)?a)?F，所以F?R(i)矛盾，从而有理数域Q是R(i)的唯一的真子域。

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二、判断题

1、?是集合A1?A2???An到集合D的映射，则Ai(i?1,2,?n)不能相同。 2、集合A的一个等价关系决定A的一个分类。

3、在环R到环R的同态满射下，则R的一个子环S的象S不一定是R的一个子环。 4、任何一个子群都同一个变换群同构。

5、设N为正整数集，并定义a?b?a?b?ab (a,b?N)，那么N对所给运算?能作成一个群。

提示：1、×， 2、√， 3、× 4、√ 5、 √ 三、证明题

1、设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个群。

提示：证：G显然非空，又任取A，B?G，则A??1,B??1，于是AB是整数方阵，

4

且AB?A?B??1，故AB?G，即G对乘法封闭。结合律显然成立，且E是G单位元。

又设A?G，由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵A?也是整数方阵； 又A??1,故A?1?1?A??A?，即A?1也是整数方阵，即G 中每一个元在G中都有A逆元，从而证得G 作成一个群。

2、证明：在群G中只有单位元满足方程x2?x。

提示：：设e是群G 的单位元，则e显然满足方程另外设a?G,且a2?a，则有a?1a2?a?1a 即a=e, 即只有e满足方程x2?x。

3、设G=（a）是循环群，证明：当a??时，G=（a）与整数加群同构。

mnm提示：设a??，则当m?n时，a?a，于是映射?：a

?m就是G=（a）到整数

加群Z的一个一一映射。又a?a?aG=（a）与整数加群Z同构。

mnm?n?m?n，故?是G到Z的同构映射。即

4、设R是一个有单位元1的环，a,b?R,证明：如果1?ab在R中有逆元，则1?ba在R中也有逆元。

提示：令c是1+ab的逆元，则有：c（1+ab）=(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=0,于是有： （1-bca）(1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-b[c-1+cab]=1 同理有：（1+ba）(1-bca)=1.即1-bca是1+ba的逆元。

5、证明：高斯整环Z?i???a?bi|a,b?Z?中的单位有且只有?1 ，?i。

提示：?1,?i显然是Z[i]的单位，设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di?Z[i]使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)

?a 又ad= –bc 代入前式有：从而 ac?abd（(a2?b2)c?a，即(a2?b2)|a

若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=?1,即x??i。

22若a?0，则由(a?b)|a得b=0, a=?1,即x=?1,因此证得：Z[i] 的单位元只有?1,?i。

2四、解答题

?，找一个A?A的一个满射。 1,2,3?1001、A??a1,a2},a1,a2?A，就是一个A?A到A的一个满射。 解：?:(a1,a2)?min{ 5

5、证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。 提示：因为1?2i2?5为素数，则1?2i（以及?1?2i,2?i,?2?i）是Z[i]的不可约元，

且显然有分解：5?(1?2i)(1?2i) 若设5?a1a2?an(ai不可约） 则

52?a1?a2?an且ai5=ab且a四、解答题

222222?1,ai2?25，这只有n?2，且ai2?5不妨设

?b?5则只能a?b，即5=aa，即5有唯一分解。

1、设X是数域F上全体n阶方阵作成的集合，问：

?:A?A （A为A的行列式）是否是X到F的一个一一映射？说明理由。

提示：?是X到F的一个映射，但不是一一映射，因为

?10???11???A??,B??00??00??，A，B?X,且A?B，但在?下，?(A)??(B)?0，不是????一一映射。

2、非零实数集R对运算a?b?ab能否作成群，说明理由。

提示：非零实数集R对运算a?b?ab不能作成群。因为1,?1?R，但方程1?x??1， 即x??1在R中无解，由群的定义知R对所给代数运算，不能作成群。 3、试举出满足以下条件的群：

1）G是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。

2）G是无限群，G中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。 提示：1）如整数加群G除单位元O外，每个元的阶都无限。

2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。

4、举例说明：环R的中心不一定是R的理想。

提示：例：有理数域Q上n>1阶方阵环Qn?n的中心为C=?aE|a?Q?,E是n阶单位阵，它不是Qn?n 的理想，因易知存在A?Qn?n，而aE?A?aA?C，其中a?0,由理想定义知：C不是Qn?n的理想。

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? a

16

b c ac c c 一、设A?{a,b,c}，A的代数运算?由下表给定： 1. 集合A上的变换有几个？集合A上的单变换有几个？ bc c c 2. 定义在A上的自同态映射有几个？ 3. 定义在A上的自同构有几个？并具体写出来？ c c c c 答案：1. 27;6 2. 9 3. 2；?:a?a,b?b,c?c；

?:a?b,b?a,c?c

二、求模12加群Z12的所有子群及Z12的生成元。

答案：子群： H1?{[0]]，H2?Z12，H3?{[0],[2],[4],[6],[8],[10]}，H4?{[0],[4],[8]}，

H5?{[0],[3],[6],[9]}，H6?{[0],[6]}；Z12的生成元:[1],[5],[7],[11]

三、给出环R与它的子环S的例子,使它们分别具有以下性质: 1. R具有单位元素,S无单位元素; 2. R无单位元素,S具有单位元素; 3. R、S都有单位元素,但不相同; 4. R无单位元素,S无单位元素; 5. R不交换,S交换； 6. R有零因子,S无零因子.

答案：1。R?(Z,?,?),S?(2Z,?,?)，R的单位元是1，关于数的普通加法和普通乘法；

2。R?{???ab??a0??10?S?????，，的单位元是，关于矩|a,b?Q}S?{|a,b?Q}??????00??00??00?阵的普通加法和普通乘法；

?ab??a0??10?3。R?{??cd??|a,b,c,d?Q}，S?{??00??|a,b?Q}，R的单位元是??01??，S的

??????单位元是???10??，关于矩阵的普通加法和普通乘法；4。R?2Z,S?4Z，关于数的普通??00??ab??a0???|a,b,c,d?Q}S?{，??0a??|a?Q}，关于矩阵的cd????加法和普通乘法；5． R?{??普通加法和普通乘法； 6。 R?{??乘法。

?ab??a0????|a,b,c,d?Q}S?{|a?Q}，关于矩阵的普通加法和普通，????cd??0a?m

四、证明：阶是p的群G一定包含一个阶是p的子群，其中m?Z，p是素数.

pn?1?答案：取a?G而a?e，则由Lagrange定理知，|a|?p，其中1?n?m，则an的

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阶是p，所以H?(apn?1)是G的一个p阶子群。

五、证明：一个除环R的中心是一个域.

答案：显然0,1?C(R)，从而C(R)??；又?c1,c2?C(R)，?x?R，有

c1x?xc1,c2x?xc2，于是(c1?c2)x?c1x?c2x?xc1?xc2?x(c1?c2)，

(c1c2)x?c1(c2x)?c1(xc2)?(c1x)c2?(xc1)c2?x(c1c2)；?c?C(R)*，?x?R，

即cx?xc，所以，cxc?1?xcc?1?x，xc?1?c?1x，

所以c1?c2，c1c2，c?1?C(R)，显然C(R)是交换子群，因此C(R)是域。 六、设G是群，a,b?G，并且|a|?3,|b|?2，ba?ab，求由a,b生成的子群(a,b)。

n1n2解：按定义(a,b)?{x1x2xsns|xi?a或b,ni?Z}。由于ba?ab，并且

|a|?3,|b|?2，从而(a,b)的任一元素可表为：h?aibj,i?0,1,2,j?0,1,

所以(a,b)的阶最多是6。又因(|a|,|b|)?1,ba?ab，所以|ab|?|a||b|?6， 因此得知(a,b)是由ab生成的循环群，其元素为e?(ab)0，ab，(ab)2?a2，

(ab)3?b，(ab)4?a，(ab)5?a2b

七、找出S3的所有子群，并说明S3为什么不存在4阶子群。 答案：子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}

H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；

由于4?|6，则由Lagrange定理知，S3不存在4阶子群。

四、找出环Z8的所有可逆元与零因子，并给出它的所有子环和最大理想。

答案：Z8的可逆元为：[1],[3],[5],[7]；Z8的零因子：[2],[4],[6]；子环：H1?{[0]]，

H2?Z8，H3?{[0],[2],[4],[6]}，H4?{[0],[4]}； Z8的最大理想：H3?{[0],[2],[4],[6]}。

八、设f是群G到群G的同态满射，N?G，N?f????1(N)，证明：G?N?G?N?。

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答案：设?是G到G???NG???G?Gf???的自然映射，则f与的?合成是G到G?N??满同态，，x?f(x)?f(x)N ????N并且ker(?f)?{x?G|(?f)(x)?N}={x?G|?(f(x))?N}?{x?G|f(x)N?N}

?{x?G|f(x)?N}=N，因此由同态基本定理知，N?G并且G九、设A是集合。

1． 集合A上的二元关系满足什么条件时就是A上的等价关系？

?N?G?N?。 2． 设A?{1,2,3}，A上的二元关系有几个？A上的等价关系有几个？A可分几类？ 答案1。反身性；对称性；传递性； 2。 29；A可分五类：?1?{{1},{2},{3}}；

?2?{{1,2},{3}}；?3?{{1,3},{2}}；?4?{{2,3},{1}}；?5?{{1,2,3}}；由集合的分类

决定等价关系知，A上的等价关系有5个。 十、设S3是3次对称群。

1．找出S3的所有子群； 2．找出S3的所有的不和(123)交换的元；

3．取S3的子集S?{(12),(123)}，则S生成的子群包含哪些元素？群S3的两个不同的子集

合会不会生成相同的子群？

答案：1。子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}

H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；

2．(12),(13),(23)；3。(S)?S3；一个群的两个不同的子集合会生成相同的子群: 如A?{(123)},B?{(132)}，(A)?(B)?{(1),(123),(132)}。

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二、判断题

1、若对于代数运算?,?，A与A同态，那么若A的代数运算?适合结合律，则A的代数运算也适合结合律。

2、若有单位元(?0)的交换环R，除零理想和单位理想外，没有其他理想，则R一定是一个域。3、整环中一个不等于零的元a，有真因子的冲要条件是a?bc。 4、群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。

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5、设F是任意一个域，F?是F的全体非零元素作成的裙，那么F?的任何有限子群G必为循环群。

提示：

1、√， 2，√ 3、× 4、×， 5、√ 三、证明题

1、设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算a?b?au?1b作成一个群。 提示：

显然所给运算是G的一个代数运算，又任取a,b,c?G,则

(a?b)?c?(au?1b)?c?(au?1b)u?1c a?(b?c)?a?(bu?1c)?au?1(bu?1c)而G是

群。(au?1b)u?1c?au?1(bu?1c) 即(a?b)?c?a?(b?c) 即G对新代数运算结合律

?1成立。又任取a?G， a?u?auu?a，即u 是右单位元。

又a?(ua?1u)?au?1(ua?1u)?u，即uau是a的右逆元。由群的定义知，G对新运算也作成一个群。

2、证明：在任意群Ｇ中，a与cac?1(a,c?G)同阶。

提示：设a?e，反之若(cac?1)n?e，有cac(cac?1)n?canc?1?e，即a与cac有相同的阶。

3、设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，Mn(R) 是R上n 阶方阵环，A,B?Mn(R)，证明：

?1nn?1?1?e an?e

AB?E?BA?E，其中E是n 阶单位矩阵。

?提示：由于R可交换，得：AB?AB?BA?1，从而A可逆，设A是A的伴随矩

阵，则由R有单位元1可知：

A?A?AA??AE 于是A?1?AA? 故若：AB?E，则：

ABA?A A?1ABA?A?1A?E ，即BA?E 同理可由BA?E?AB?E

4、证明：有理数域Q是域Q（i）={a?bi|a,b?Q}的唯一真子域。

提示：Q显然是域Q（i）的一个真子域。又设F是Q（i）的一个子域，且F?Q,则由于任何数域都包含Q，即Q?F，从而有a?bi?F, a?bi?Q, (b?0, a?Q) 于是 ，因此Q是域Q（i）的唯一真子域。 (a?bi?a)b?1?i?F，从而F=Q（i）

5、设A和B 是环R的理想，证明：当A和B至少有一个含有单位元时，

?1A?B?{ab|a?A,b?B}是R的理想。

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