2011考研数学基础班概率讲义

2011考研基础班概率

主讲：马超

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考研数学基础班概率与统计讲义

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、概念网络图

古典概型????几何概型?????加法B?C???????减法B?C?基本事件????????????随机试验E??样本空间???P(A)?五大公式?条件概率B/C和乘法公式BC??

????随机事件A??全概公式????????贝叶斯公式????????独立性????贝努利概型??

2、重要公式和结论

m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!m!nCm? 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!nPm?（1）排列组合公式 （2）加法和乘法原加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由nword文档 可自由复制编辑

理 （3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 （5）基本事件、样本空间和事件 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可（6）事件的关系与运算 表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：i?1?A??Aii?1??i A?B?A?B，A?B?A?B （7）概率的公理化定义 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有 常称为可列（完全）可加性。 word文档 可自由复制编辑

????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1

则称P(A)为事件A的概率。 1° ????1,?2??n?， 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?（8）古典概型 1。 n设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有 P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m) ?mA所包含的基本事件数? n基本事件总数（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)?（10）加法公式 （11）减法公式 L(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 L(?)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)（12）条件P(AB)件B发生的条件概率，记为P(B/A)?。 概率 P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 （13）乘法公式 P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(B|A)?（14）独立性 P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,?,Bn满足 （15）全概word文档 可自由复制编辑

公式 1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， 2°则有 A??Bii?1n， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，…，Bn及A满足 1° B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，2，…，n， 2° 则 （16）贝叶斯公式 nA??Bii?1，P(A)?0， P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jjj?1n，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； （i?1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，…，P(Bi)，（17）伯努利概型 ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0?k?n)次的概率， Pn(k)?Cnpkqn?kk，k?0,1,2,?,n。

例1．1：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？

例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有

小鹰号和Titanic号，问有多少种走法？

例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和

Titanic号，问有多少种走法？

例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN和PQ不相交，线段MN上有6个点A1，A2…，A6，线段PQ上有7 个点

B1，B2，…，B7。若将每一个Ai和每一个Bj连成不作延长的线段AiBj(i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 AiBj相交而得到的交点（不包括A1…，A6，B1…，B713个点）最多有

A． 315个 B． 316个 C． 317个 D． 318个

例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

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例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）

111111C3?C5?15 C5?C5?C2?C2?21

例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）

111111C3?C4?12 C5?C4?C2?C1?18

例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）

2211?C2?9 C3?C4?12 C5例1．11：化简 (A+B)(A+B)(A+B)

例1．12：(A?B)C?(AC)?(BC) 成立的充分条件为：

(1)C?A (2) C?B

例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？ 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？ 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？ 例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。

①从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

②从袋中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。

③上两题改成“放回”。

例1．17：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。

例1．18：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？

例1．19：设O为正方形ABCD[坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）]中的一点，

22

求其落在x+y≤1的概率。

例1．20：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率。

例1．21：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：①两只球都是白色的概率；②两只球颜色不同的概率；③至少有一只白球的概率。

例1．22：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ ①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

例1．23：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过3件，并具有如下的概率：

一批产品中的次品0 1 2 3 数 概 率 0.1 0.2 0.3 0.4 现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。

例1．24：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过3件，并具有如下的概率：

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一批产品中的次品数 概 率 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有i(i?0,1,2,3,4)件次品的概率。 例1．25：A，B，C相互独立的充分条件： （1）A，B，C两两独立 （2）A与BC独立

例1．26：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标被射中的概率。

例1．27：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为0.9）？

例1．28：假设实验室器皿中产生A类细菌与B类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了n个细菌，则其中至少有一个A类细菌的概率是 。 例1．29：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a

个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

例1．30：有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？

例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败

3次的概率为： A．4p2(1?p)3 D．p2(1?p)3

B．4p(1?p)3 E．(1?p)3

C．10p2(1?p)3

第二节 重点考核点

事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型

第三节 常见题型

1、事件的运算和概率的性质

例1．32：(A?B)-C=(A-C)?B 成立的充分条件为：

(1)A?B=? (2)A?C=?

例1．33：A,B,C为随机事件，“A发生必导致B、C同时发生”成立的充分条件为：

(1) A∩B∩C=A (2)A∪B∪C=A

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例1．34：设A，B是任意两个随机事件，则P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}= 。

例1．35：假设事件A和B满足P（B | A）=1，则 （A） A是必然事件。

（C）A?B。

（B）A?B。 （D）P(AB)?0。

[

]

2、古典概型和几何概型

例1．36：有两组数，都是{1，2，3，4，5，6}，分别任意取出一个，其中一个比另一个大2的概率？

例1．37：52张扑克牌，任取5张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。

例1．38：设有n个质点，每个以相同的概率落入N个盒子中。设A=“指定的n个盒子中各有1个质点”，对以下两种情况，试求事件A的概率。 （1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定N个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。 （2）（费米-爱因斯坦统计）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。

例1．39：袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球。从中任取3个，求这三个球中至少有1个是白球的概率。

例1．40：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。

例1．41：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？

3、条件概率和乘法公式

例1．42：从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？

例1．43：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？

4、全概和贝叶斯公式

例1．44：在盛有10只螺母的盒子中有0只，1只，2只，…，10只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是 A． 6/11 B．5/10 C．5/11 D．4/11

例1．45：有5件产品，次品的比例为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？

例1．46：有5件产品，每件产品的次品率为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？

例1．47：发报台以概率0.6和0.4发出信号“· ”和“－”，由于通信系统存在随机干扰，

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当发出信号为“· ”和“－”时，收报台分别以概率0.2和0.1收到信号“－”和“·?”。求收报台收到信号“·?”时，发报台确实发出信号“·?”的概率。 例1．48：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取2次，问第2次取到白球的概率？ 例1．49：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 。

例1．50：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，

（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。

5、独立性和伯努利概型

例1．51：设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?并且P(A?B?C)?1，29，求事件A的概率。 16例1．52：设P(A)>0,P(B)>0，证明

（1） 若A与B相互独立，则A与B不互斥； （2） 若A与B互斥，则A与B不独立。

例1．53：对行任意二事件A和B，

（A） 若AB≠Φ，则A，B一定独立。 （B） 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。 （C） 若AB=Φ，则A，B一定独立。 （D） 若AB=Φ，则A，B一定不独立。 例1．54：“A,B,C为随机事件，A -B与C独立”的充分条件： (1) A,B,C两两独立 （2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

例1．55：设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 ．

（A）A?B与C。 （C）A?B与C。

（B）AC与C。 （D）AB与C。

[

]

例1．56：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

（A）A1,A2,A3相互独立。 （C）A1,A2,A3两两独立。

（B）A2,A3,A4相互独立。 （D）A2,A3,A4两两独立。

例1．57：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有10个乘客的条件下，中途有3个人下车的概率。

例1．58：某种硬币每抛一次正面朝上的概率为0.6，问连续抛5次，至少有4次朝上的概率。

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例1．59：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B都不发生的最大概率？

例1．60：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的

(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍

第四节 历年真题

数学一：

1（87，2分） 设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 。

2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于

19，则事件A在一次试验中出现的概率为 27 。

4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

6”的5概率为 。

5（89，2分） 已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B | A）=0.8，则和事件A?B的概率P（A?B）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。

7（90，2分） 设随机事件A，B 及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）=

8（91，3分）

。

随机地向半圆0

内任何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与x轴的夹角小于率为

。

已知P（A）=P（B）=P（C）=

?的概49（92，3分）

11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，416则事件A、B、C全不发生的概率为 。

10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。

11（94，3分） 已知A、B两个事件满足条件P（AB）=P（AB），且P（A）=p，则

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P（B）=

。

12（96，3分） 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 。

13（97，3分） 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。

14（98，3分） 设A、B是两个随机事件，且00, P(B | A)=P(B | A)，则必有

（A）P（A | B）= P(A|B)

（B）P（A | B）≠P(A|B)

（C）P（AB）= P(A)P（B） （D）P（AB）≠P(A) P（B）

15（99，3分） 设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）<

19，且已知P(A?B?C)?，则P（A）= 216 。

16（00，3分） 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）=

。

1，A发生B不发生917（06，4分） 设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有

（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).

（B）P(A?B)?P(B).

（D）P(A?B)?P(B).

数学三：

1（87，2分） 若二事件A和B同时出现的概率P（AB）=0，则 （A）A和B不相容（互斥）。 （B）AB是不可能事件。 （C）AB未必是不可能事件。 （C）P（A）=0或P（B）=0 [ ] 2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求

（1） 先取出的零件是一等品的概率p;

（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。

3（88，2分）

设P（A）=0.4, P(A?B)?0.7，那么

（1）若A与B互不相容，则P（B）= ； （2）若A与B相互独立，则P（B）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A，B，C满足等式A?C?B?C，则A=B 5（88，7分）

（ ）。

玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分

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