小升初试题数论篇二有解析

名校真题 测试卷·数论篇㈡

时间：15分钟 满分80分 姓名_________ 测试成绩_________

1． (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所

有这样的四位数之和为 ．

2． (2008年实验中学考题)在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互

质的排列方式共有 种．

3． (2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能

的小，那么此时这个最大的质数是 ．

4． (2009年清华附中考题)设a，b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么

这样的有序正整数对(a,b)共有 组．

【解析】

1． 设这样的四位数为abcd，则abcd?a?b?c?d?200810a0?1b?10c1?d1?，则1a?1或2．

，即

⑴若a?2，则101b?11c?2d?6，得b?c?0，d?3，abcd?2003； ⑵若a?1，则101，，b?11c?2d?1007由于11c?2d?1?1?9?2?9117所以

，所以101b?100?711?789b?8，故b为9，11c?2d?1007?909?98，则c为

偶数，且11c?98?2?9?80，故c?7，由c为偶数知c?8，d?5，abcd?1985； 所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：2003?1985?3988．

2． 这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．

8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．

奇数的排列一共有4!?24种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有4?3?2?24种，所以一共有24?3?24?1728种． 3．

，即这10个质数的平均数为20，那么其中最大的数不小于20，又要

为质数，所以至少应为23；而由200?23?8?11?5可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5，满足条件，所以符合题意的最大质数为23．

200?10?20

4． 先将9504分解质因数：9504?25?33?11，(a,b)所含2的幂的情况可能是(0，5)，

(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)；(5，0)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有11?7?3?231种．

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