高中数学竞赛专题讲座之二：数列

高中数学竞赛专题讲座之二：数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列 an 的通项公式an

A．a1

B．a2

2n 4n 5

2

，则 an 的最大项是（B）

D．a4

C．a3

32．（2006安徽初赛）正数列满足a1 1,a2 10,an2an 2 10ann 3 ，则lg(a100) （ ） t A．98 B．99 C．100 D．101 3．（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2， ，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为 （A） A．2007 B．2008 C．2006 D．1004 4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等

式|Sn-n-6|<

A．5

1125

的最小整数n是

B．6

C．7

D．8

13

（ ）

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-8[1 (

1)]

n

的等比数列，

13

∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+ +(an-1)=

1

n-1

3

13

=6-6×(-

13

)n，∴|Sn-n-6|=6×()n<

1125

，得：

3>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=

A．1

xn

3333xn

3xn 13 xn

2005

，则 xn= （ ）

n 1

B．-1 C．2+3

6

D．-2+3

解：xn+1=

1

，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+3,

2005

x3=-2-3, x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1， ，∴有 xn x1 1。故选A。

n 1

、{bn}6．（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}的前n项和分别为An，Bn记

Cn an Bn bn An an bn(n 1)则数列{Cn}的前10项和为

（C）

A．A10 B10

B．

A10 B10

2

C．A10 B10

D

7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比

如f(123) 12 22 32 14。记f1(n) f(n)，fk 1(n) f(fk(n))，k 1,2,3, ，

则f2006(2006)＝ A．20 B．4 C．42 解：将f(2006) 40记做2006 40，于是有 从16开始，fn是周期为8的周期数列.

故f2006(2006) f2004(16) f4 250 8(16) f4(16) 145. 正确答案为D。 二、填空题部分

1．数列 an 的各项为正数,其前n项和

Sn满足

Sn

12(an

1an

,则an

D．145

（D）

2006 40 16 37 58 89 145 42 20 4 16

2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0 a b c d，d a 90，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则a b c d的值等于 194 ． 3．（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，

6，10， ，记这个数列前n项和为S(n)，则lim

n

3

n

S(n)

=________.

12

1

112345

10 6 345

111

11111

4．（2006年江苏）等比数列 an 的首项为a1 2020，公比q

．

设f n 表示这个数列的前n项的积，则当n 12 时， f n 有最大值．

5．在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 Aj ,j 1,2, ，以及在第一象限内的抛物线

y

2

32

x上从左向右依次取点列 Bk ,k 1,2, ，使 Ak 1BkAk（k 1,2, ）都是等

边三角形，其中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 【解】：设第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn 的坐标为（a1 a2 an 1

an2

，

an 3

。 a1 a2 an 1 ）

2 2

2

an

再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为

32an

1 an 2

2

32

an。从而有

an12an 3

a a a a ，即有 。 a1 a2 an 1 n12n 1

2 2 22

an2

2

由此可得a1 a2 an 以及 a1 a2 an 1

12

12

an （1）

2

2

an 1

an 1 （2）

（1）－（2）即得 an

12

变形可得 (an an 1

(an an 1)(an an 1). 2

1)(an an 1) 0. (an an 1)

12a1

12

2

a1，

1

由于an an 1 0，所以 an an 1 1。在（1）式中取n ＝ 1，可得 而a1 0，故a1 1。

因此第2005个等边三角形的边长为 a2005 2005。

6．(2005年浙江)已知数列xn，满足(n 1)xn 1 xn n, 且x1 2， 则x2005=

【解】：由 (n 1)xn 1 xn n，推出 xn 1 1

xn 1 1

xn 1n 1

xn 1 1(n 1)n

xn 2 1(n 1)n(n 1)

2005! 12005!

.

xn 1n 1

。因此有

x1 1

1(n 1)!

(n 1)n(n 1) 2

.

即有 xn 1

1(n 1)!

1。 从而可得 x2005

2005! 12005!

a275717

2

。

a47

4

7．(2005全国)记集合T {0,1,2,3,4,5,6},M {

a17

a37

3

|ai T,i 1,2,3,4},将M中

的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 A．C．

5717 577

2

5

2

（ ）

677

3

377

4

B．D．

77

677

3

277

4

1

2

3

4

4

1

2

3

3

4

解：用[a1a2 ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得

32

M {a1 7 a2 7 a3 7 a4|ai T,i 1,2,3,4} {[a1a2a3a4]7|ai T,i 1,2,3,4}.

M 中的最大数为[6666]7 [2400]10。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的

4

第2005个数是2400-2004=396。而[396]10 [1104]7将此数除以7，便得M中的数

17

17

2

07

3

47

4

.故选C.

8．（2004 全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3 an 1)(6 an) 18,且a0 3，

n

则

i o

1ai

的值是_________________________。

1an

,n 0,1,2,...,则(3

1bn 113

解：设bn

)(6

1bn13

) 18, 2(bn

1

即3bn 1 6bn 1 0. bn 1 2bn 2的等比数列，

bn

13

2(b0

n

,bn 1

1

) 故数列{bn 是公比为 33

13

) 2(

n

1a0

13

)

13

2

n 1

bn

13

(2

n 1

1)。

n

a

i o

1

i

nn

i

b

i 0

3(2

i 0

1

i 1

n 1

1n 21 2(2 1)

1) (n 1) 2 n 3 。

3 2 1 3

9．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a 2r 2s 2t,0 t s r}中的数由小到大组

成数列{an}：7,11,13,14, ，则a36 。

解：∵r,s,t为整数且0 t s r，∴r最小取2，此时符合条件的数有C22 1

r 3，s,t可在0,1,2中取，符合条件有的数有C3 3

2

同理，r 4时，符合条件有的数有C42 6

r 5时，符合条件有的数有C5 10 r 6时，符合条件有的数有C6 15 r 7时，符合条件有的数有C7 21

017

因此，a36是r 7中的最小值，即a36 2 2 2 131

222

三、解答题部分 1．（200 6天津）已知数列{an}满足a1 p，a2 p 1，an 2 2an 1 an n 20，其

中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小． 【解】令bn an 1 an，n 1,2, 由题设an 2 2an 1 an n 20，

n 1

n 1

有bn 1 bn n 20，且b1 1 5分 于是 (bi 1 bi)

i 1

(i 20)，

i 1

即bn b1 [1 2 (n 1)] 2n(n 1)． ∴bn

(n 1)(n 40)

2

1． （※） 10分

又a1 p，a2 p 1，则a3 2a2 a1 1 20 p 17 a1 a2． ∴当an的值最小时，应有n 3，an an 1，且an an 1．

即bn an 1 an 0，bn 1 an an 1 0． 15分 由（※）式，得

(n 1)(n 40) 2 (n 2)(n 41) 2

*

由于n 3，且n N，解得

n 40 n 40

，

∴当n 40时，a40的值最小． 20分 2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2 ) 3sin ,设tan x,tan y,记

y f(x).

（1）求f(x) 的表达式; f(x) （2）定义正数数列{an};a1

an

22

n 2

x1 2x

2

2

*

12

,an 1 2an f(an)(n N)。试求数列{an}的通项公式。

n 1

1

.

3．（2006安徽初赛）已知数列 an n 0 满足a0 0，对于所有n N ，有

an 1 1a1n ，求5an

的通项公式．

4．（2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数

2004

t使得a2006=0. （ 2+1） 5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an 4n 1 (n N*)中所有能被3或5整除的数删去

后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.

解:由于an 15 an 60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an 15是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+ )＝(0,60)∪(60,120)∪(120,180)∪ ,

注意第一个区间段中含有{an}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项8个,为:b1 7,b2 11,b3 19, b4 23,b5 31,b6 43,b7 47,b8 59,

于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项, 且有b8k r br 60k,k∈N,1≤r≤8.

由于2006＝8×250+6,而b6 43所以b2006 60 250 b6 60 250 43 15043.

,6．（2004湖南）设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, )

求证：对于任何正整数n，都有

an 1 1

1

n

an

证明：令 a0 1,则有 ak 1 ak ak 1，且 1

akak 1

ak 1ak 1

(k 1,2, )， 于是

n

n

k 1

akak 1

a2a3

n

k 1

ak 1ak 1anan 1

由算术-几何平均值不等式，可得

1

a1a2

+a0a2

a1a3

an 1an 1

1

n

注意到 a0 a1 1，可知 1

1

n

an 1

anan 1

，即

an 1 1

1

n

an

an 1,当n为偶数时， 2

7．（2006年上海） 数列 an 定义如下：a1 1，且当n 2时， an

1

,当n为奇数时． a n 1

30

已知an ，求正整数n．

19

解:由题设易知，又由a1 1，可得，当n为偶数时，当n( an 0,n 1,2, ．an 1；1)是奇数时，an 由an

3019

1an 1

1． （4分）

3019

1

1119

1，所以，1911 1

811

n2

1，所以n为偶数，于是an

2

是奇数．

n 24

于是依次可得：an

2

1

1911

1，

n2

1是偶数，an 2

4

1，是奇数，

an 2

4

1

1188353

1，

n 648

是偶数，an 6

8

11883

1 1

3853

1， 1，

n 6816

是奇数， 是偶数，

an 6

8

1

1，

23

n 14

是偶数，an 14

16

n 14

an 14

32

1 32

1，

n 1432

是奇数， （9分）

32 1

12 1，

n 4664

an 14

32

1

1，

n 463264

是偶数，an 46

64

是奇数，

an 46

64

2 1，

1

n 110

是偶数， an 110 2 1 1，

128

所以，

n 110128

1，解得，n＝238． （14分）

13．(2005全国)数列{an}满足：a0 1,an 1

,n N.

2

证明：（1）对任意n N,an为正整数；(2)对任意n N,anan 1 1为完全平方数。

7an 45an 36

2

证明：（1）由题设得a1 5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得 2an 1 7an

2

22

45an 36,两边平方整理得an 7anan 1 an 9 0 ① 1

2

2

an 7an 1an an 1 9 0 ②

①-②得(an 1 an 1)(an 1 an 1 7an) 0, an 1 an, an 1 an 1 7an 0

an 1 7an ab 1. ③

由③式及a0 1,a1 5可知，对任意n N,an为正整数. 10分

（2）将①两边配方，得(an 1 an)2 9(anan 1 1), anan 1 1 (

由③an 1 an 9an (an 1 an)≡ (an an 1) mod3 ∴an 1 an≡( 1)

n

an 1an

3

).④

2

a1 a0 ≡0（mod3）∴

an 1 an

3

为正整数

④式成立. anan 1 1是完全平方数. 20分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ri1i.html