江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试

高二数学试卷

数学I

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合A?{2,4},B?{2,6,8},则AB? .

2.已知复数z?(1?2i)2,其中i是虚数单位,则|z|的值是 . 3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n的值为 . 4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .

5.如图,在长方体ABCD?A1BC11D1中, AB?AD?3cm,AA1?2cm,则三棱锥

A1?AB1D1的体积为 .

x226.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2?y?1(m?0)的一条渐近线方程为x?3y?0,

m则实数m的值为 .

7.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a5?a2?78,S3?13,则数列{an}的通项公式为an? . 8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为m,n,则“m?2n”的概率是 .

9.若实数x,y满足条件???1?x?y?4,则z?4x?2y的取值范围为 .

?2?x?y?3,10.在平面直角坐标系xOy中,已知f(x)?cosx,g(x)?3sinx,两曲线y?f(x)与

y?g(x)在区间(0,)上交点为A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B,C两点,

2则线段BC的为 .

11.如图,在平面四边形ABCD中, O是对角线AC的中点,且OB?10，OD?6. 若

?DA?DC??28,则BA?BC的值为 .

12.若对满足x?y?6?4xy的任意正实数x,y,都有x2?2xy?y2?ax?ay?1?0,则实数a的取值范围为 .

x2y213.在平面直角坐标系xOy中,记椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，若该

ab椭圆上恰好有6个不同的点P,使得?F1F2P为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .

14.对于任意的实数m,n,记min{m,n}为m,n中的最小值.设函数f(x)?x?21?a，4xg(x)??lnx，函数h(x)?min{f(x),g(x)},若h(x)在(0,??)恰有一个零点,则实数a的取

值范围是 .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程. 15.在平面直角坐标系xOy中,设向量m?(sinx,?1),n?(3cosx,cos2x). (1)当x??3时,求m?n的值；

(2)若x?[0,?4]，且m?n?31?.求cos2x的值. 3216.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD?平面ABCD,

AP?AD,点M在棱PD上, AM?PD,点N是棱PC的中点,求证：

(1) MN∥平面PAB; (2) AM?平面PCD.

17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄A,B和供电站C恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且A,C位于河流的两岸,村庄A侧的河岸所在直线恰经过BC的中点D.现欲在河岸上A,D之间取一点E,分别修建电缆CE和

EA,EB.设?DCE??,记电缆总长度为f(?) (单位:千米).

(1)求f(?)的解析式；

(2)当?DCE为多大时,电缆的总长度f(?)最小,并求出最小值.

x2y2318.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为,且过

ab2点(3,).设F为椭圆的右焦点, A,B为椭圆上关于原点对称的两点,连结AF,BF并延长,分别交椭圆于C,D两点.

12

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m,使得k2?mk1?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.

19.设数列{an}的前n项的和为Sn,且满足a1?2,对?n?N,都有an?1?(p?1)Sn?2 (其中常数p?1),数列{bn}满足bn?(1)求证:数列{an}是等比数列； (2)若p?222017*1log2(a1a2nan).

,求b2018的值；

22k?1(3)若?k?N,使得p?2*,记cn?|bn?3|,求数列{cn}的前2(k?1)项的和. 220.在平面直角坐标系xOy中,已知函数f(x)?c1nx(c?R)的图像与直线y?2x相切,其中ee是自然对数的底数.

(1)求实数c的值； (2)设函数h(x)?ax?a1?g(x)在区间(,e)内有两个极值点. xe①求实数a的取值范围；

②设函数h(x)的极大值和极小值的差为M,求实数M的取值范围 .

高二数学Ⅱ(附加题)

21.已知矩阵M??(1)求(MN)；

(2)在平面直角坐标系xOy中,求直线L:2x?y?1?0在M对应的变换T作用下所得直线

?1?2 ?1??1 1?，. N?????1 3??2 ?1?L?的方程.

22.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的参数方程为???x?3cos?,(?为参数,

??y?sin????[0,2?]),直线l的极坐标方程为pcos(??)?22.

4(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.

23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0?p?1).现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的

21. 25(1)求p的值；

概率是

(2)设该运动员投篮命中次数为X,求X的概率分布及数学期望E(X).

24.如图,已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1的底面边长为2,侧棱长为3, AE?A1B,垂足为

F,AE交B1B于点E.

(1)求证: D1B⊥平面AEC;

(2)记直线AE与平面ACD1所成的角?,求sin?的值.

2由ax1?2x1?a?0,得a?12x1?x1?1. ,且2ex1?12x12x1x12?1x12?1122M?22x1??21nx1?4(2?1nx1).

x1?1x1x1?1222设x1?t,

1t?11?t?1?(t)?4(?1nt)， ,令e2t+1221?2(t?1)2??(t)?4(?)??0， 22(t+1)2tt(t?1)11,1)?(1)??(t)??()， 上单调递减,从而e2e28). 所以,实数M的取值范围是(0,2e?1?(t)(在(高二数学Ⅱ（附加题）

21. 解(1)由题知MN???2 ?1???1 3??1 1??0 3??0 3?，所以?det(MN)??2 ?1??7 ?2??7 ?2???2l，

???????21? ??217?1根据逆矩阵公式,得(MN)???.

?1 0????3?(2)设由L上的任意一点P?(x?,y?)在T作用下得到L?上对应点p(x,y).

3x+y??x???2 ?1??x???x??2x??y??x,?7由?，即解得， ????????????1 3??y??y??x?3y?y'?y'?2y?x?7?因为2x??y??1?0,所以2?即5x?4y?7?0.

即直线L的方程为5x?4y?7?0.

3x?y2y?x??1?0， 77?x2?x?3cos?,?y2?1， 22.解(1)由?得C:3??y?sin?,由pcos?(???4)?22，得pcos??psin??4,即l:x?y?4?0.

x2?y2?1上任取一点P(3cos?,sin?)(0???2?)， (2)在C:3则点P到直线l的距离为d?|3cos??sin??4|2|2sin(????3)?4|，0???2?，

2当sin(???3)??1，即??7?时，dmax?32. 623. 解(1)设事件A:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A:“前两次投篮均不中”, 依题意, P(A)?1?P(A)?1?(1?p)?解得p?221， 253. 5(2)依题意, X的所有可能值为0,1,2,3, 且P(X?0)?(1?p)?24, 2524， 125P(X?1)?p(1?p)2?(1?p)p(1?p)?P(X?3)?p3?27， 125故P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)?54. 125X的概率分布列为:

数学期望E(X)?245427213?2??3??. 12512512512524.解(1)如图,以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1所在直线为x轴, y轴, z轴,建立空间直角坐标系D?xyz，

BE?a,则AE?(0,2,a)， 易得AB1?(0,2,?3),设

因为A1B?AE,所以A1B?AE?(0,2,?3)? (0,2,a)?4?3a?0， 解得a?44,即AE?(0,2,), 33又D1B?(2,2,?3),AC?(?2,2,0),

所以D1B?AE?(2,2?3)? (0,2,)?0,所以D1B?AE, 且D1B?AC?(2,2,?3)?(?2,2,0)?0，所以D1B?AC， 又AE43AC?A，所以D1B?平面AEC.

(2) AE?(0,2,)，D1A?(2,0,?3)，DC?(0,2,?3)， 1设平面ACD1的一个法向量n?(x,y,z)，

43??D1A?n?0,?2x?3z?0,则?即?

2y?3z?0,??D1C?n?0,?令z?0，则x?y?3，即n?(3,3,2)，

sin??|cos?AE,n?|?AE?n

|AE|?|n|?42?3=?22863. =22422+()2?32+32+223

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