专题24 以几何体为载体的应用题(解析版)

专题24 以几何体为载体的应用题

在江苏高考的试题中,应用题是每年必考的题型,应用题主要体现了学生运用数学知识解决实际问题的能力.近几年来应用题以几何背景呈现的居多,特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关.因此,在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题.

解决此类问题的关键明确各个量之间的关系,运用立体几何的知识点求出各种量,然后表示出面积、体积建立目标函数.

一、例题选讲

题型一、多面体有关的应用题

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H,M.已知HM ＝5 m ,BC ＝10 m ,梯形ABFE 的面积是△FBC

面积的2.2倍．设△FMH ＝θ?

???0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；

(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k 为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅,试问：当θ为何值时,总造价最低？

思路分析 (1)先通过线面垂直得到FH△HM,放在Rt △FHM 中,求出FM,根据三角形的面积公式求出△FBC 的面积,根据已知条件就可以得到所求S 关于θ的函数关系式．

(2)先求出主体高度,进而建立出别墅总造价y 关于θ的函数关系式,再通过导数法求函数的最小值．

(1)规范解答 由题意FH△平面ABCD,FM△BC,又因为HM△平面ABCD,得FH△HM.(2分)

在Rt △FHM 中,HM ＝5,△FMH ＝θ,

所以FM ＝5cos θ

.(4分) 因此△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ

. 从而屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ

. 所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ?

???0<θ<π4.(6分) (2)在Rt △FHM 中,FH ＝5tan θ,所以主体高度为h ＝6－5tan θ.(8分)

所以别墅总造价为y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k ＝80k·????2－sin θcos θ＋96k.(10分)

记f(θ)＝2－sin θcos θ,0<θ<π4,所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ

, 令f′(θ)＝0,得sin θ＝12,又0<θ<π4,所以θ＝π6

.(12分) 列表：

所以当θ＝π6

时,f(θ)有最小值． 答：当θ为π6

时,该别墅总造价最低．(14分) 解后反思 理解题意,建立出函数的关系式,是处理最优解类型应用问题的关键,第(1)问,抓住条件”梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍”,只要用θ表示出△FBC 面积,即可得到屋顶面积．第(2)问,需要先设出总造价为y 元,抓住已知条件,求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积,就可以建立函数关系式．

题型二、与球、圆有关的应用题

例2、(2018苏北四市期末)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1,为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底

边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成,如图2,已知圆O 的半径为10 cm ,设△BAO ＝θ,0<θ<π2

,圆锥的侧面积为S cm 2.

(1) 求S 关于θ的函数关系式；

(2) 为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S 最大,求S 取得最大值时腰AB 的长度．

(图1)

(图2)

思路分析 (1) 母线长l 是OA 在AB 上的射影的两倍,可用θ表示．底面半径r 是l 在底面上的射影,可用l 和θ表示．从而S ＝πrl 可用θ表示；

(2) 求导数,找导函数的零点,列表确定极大值,唯一的极大值也是最大值．

规范解答 (1) 设AO 交BC 于点D,过O 作OE△AB,垂足为E.

在△AOE 中,AE ＝10cos θ,AB ＝2AE ＝20cos θ.(2分)

在△ABD 中,BD ＝AB·sin θ＝20cos θ·sin θ,(4分)

所以S ＝12

·2π·20sin θcos θ·20cos θ ＝400πsin θcos 2θ?

???0<θ<π2.(6分)

(2) 由(1)得S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)．(8分)

令x ＝sin θ(0<x<1),设f(x)＝x －x 3,

则f′(x)＝1－3x 2,由f′(x)＝1－3x 2＝0得x ＝

33. 当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在x ＝

33时取得极大值,也是最大值． 所以当sin θ＝33

时,侧面积S 取得最大值,(11分) 此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝20

1－????332＝2063(cm )． 答：侧面积S 取得最大值时,等腰三角形的腰AB 的长度为2063

cm .(14分) 例3、(2019秋?闵行区校级月考)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米,现规范在此农田修建两个温室大棚,大棚△内的地块形状为梯形MNBA ,其中AB △MN ,且AB ＜MN ,大棚△内的地块形状为△ABP ,要求A 、B 均在圆弧上,设OB 与MN 所成的角为θ．

(1)用θ表示多边形MAPBN 的面积,并确定sinθ的取值范围；

(2)若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜,且这两种蔬菜单位面积的年产值相等,求当θ为何值时,能使种植蔬菜的收益最大．

【解析】解：(1)等腰梯形MNBA 的高为OB sinθ+10＝40sinθ+10,

AB ＝2OB cosθ＝80cosθ,MN ＝2√402?102=20√15,

△等腰梯形MNBA 的面积为12

(80cosθ+20√15)×(40sinθ+10)＝1600sinθcosθ+400cosθ+400√15sinθ+100√15, 等腰三角形P AB 中,P 到AB 的距离为OP ﹣OB sinθ＝40(1﹣sinθ),

故等腰三角形P AB 的面积为12?80cosθ?40(1﹣sinθ)＝1600cosθ﹣1600sinθcosθ,

△多边形MAPBN 的面积为S MAPBN ＝400√15sinθ+2000cosθ+100√15．

△AB ＜MN ,

△0＜80cosθ＜20√15,即0＜cosθ＜

√154, △14＜sinθ＜1．

(2)令f (θ)＝400√15sinθ+2000cosθ+100√15=400(√15sinθ+5cosθ)+100√15,

＝400?2√10sin(θ+φ)+100√15．

其中sinφ=2

√10,cosφ=√152√10,即tanφ=√153． △当θ+φ=π2即θ=π2?arctan √153

时,f (θ)取得最大值,此时种植蔬菜的收益最大． 【点睛】本题考查了解析式求解,三角函数恒等变换,函数最值的计算,属于中档题．

题型三、与柱和锥有关的应用题

例4、如图,某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备,该组合体总高度为8米,圆柱的底面半径为4米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元,制作圆锥侧面的造价为每平米4百元,设制作该存储设备的总费用为y 百元．

(1)设△SDO 1θ=(rad),将y 表示成θ的函数关系式；

(2)求制作该存储设备总费用的最小值．

解析 (1)因为4=cos SD θ

,=84tan h θ-. 所以y =2S 底面+ 2S 圆柱侧+4 S 圆锥侧

=32π+424(84tan )244cos πθπθ

??-?+??? =32π+θπθπcos 64)tan 2(64+-=160π+64π1sin cos θθ-(θ<0≤4

π). (2)由(1)知y =160π+64π1sin cos θθ-(θ<0≤4

π), 设1sin ()cos θ?θθ-=,2sin 1'()cos θ?θθ

-=, 因为θ<0≤4

π,所以'()0?θ<, 所以,()?θ在(0,

4π]上单调递减, 所以,当4π

θ=时,y 取到最小值π)26496(+．

题型四、复杂几何体有关的应用题

例5、(2017苏州预测卷)如图1所示为一种魔豆吊灯,图2为该吊灯的框架结构图,由正六棱锥1O ABCDEF -和2O ABCDEF -构成,两个棱锥的侧棱长均相等,且棱锥底面外接圆的直径为1600mm ,底面中心为O ,通过

连接线及吸盘固定在天花板上,使棱锥的底面呈水平状态,下顶点2O 与天花板的距离为1300mm ,所有的连接

线都用特殊的金属条制成,设金属条的总长为y ．

(1)设△O 1AO =θ(rad),将y 表示成θ的函数关系式,并写出θ的范围；

(2)请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,金属条总长y 最小．

解析(1)在直角△OAO 1中,11800,800tan O A OO cos θθ==,113001600tan O P θ=-,

由11800tan 0,13001600tan 0OO O P θθ=>=->,所以13

0tan 16θ<<,

所以θ的范围是αθ<<0,其中13tan 16

α=,），（20πα∈． 从而有11126y O A AB O P =++12800680013001600tan cos θθ

?=+?+- 1600(6sin )

6100cos θθ-=+, 所以1600(6sin )

6100cos y θθ

-=+(1613tan =α,），（20πα∈)． (2)令6sin ()cos g θ

θθ

-=,所以26sin 1()cos g θθθ-'=, 令0y '=,则1

sin

6θ=,则00(tan θθθ==．

当0(0,)θθ∈时,0y '<；当0(,)θθα∈时,0y '>．

函数()g θ的单调性与θ关系列表如下：

所以0θθ=,其中0tan θ=取得最小值．

答：当角θ满足1sin 6

θ=(tan θ=时,金属条总长y 最小． 二、达标训练

1、(2017南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米,矩形纸板的两边AB ,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米,其中a ≥b .

(1) 当a ＝90时,求纸盒侧面积的最大值；

(2) 试确定a ,b ,x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值．

思路分析 (1) 纸盒侧面积S (x )是关于x 的函数,即求S (x )max .

(2) 先猜想并证明a ＝b 时,底面积取最大,这样问题变为求体积关于x 的函数的最大值．

规范解答 (1) 当a ＝90时,b ＝40,纸盒的底面矩形的长为90－2x ,宽为40－2x ,周长为260－8x .

所以纸盒的侧面积S (x )＝(260－8x )x ＝－8x 2＋260x ,其中x △(0,20),(3分)

故S (x )max ＝S ????654＝4 2252.

答：当a ＝90时,纸盒侧面积的最大值为4 2252

平方厘米．(6分) (2) 纸盒的体积V ＝(a －2x )(b －2x )x ,其中x △???

?0，b 2,a ≥b ＞0,且ab ＝3 600.(8分) 因为(a －2x )(b －2x )＝ab －2(a ＋b )x ＋4x 2≤ab －4abx ＋4x 2＝4(x 2－60x ＋900),当且仅当a ＝b ＝60时取等号,

所以V ≤4(x 3－60x 2＋900x ),x △(0,30)．(10分)

记f (x )＝4(x 3－60x 2＋900x ),x △(0,30),

则f ′(x )＝12(x －10)(x －30),

令f ′(x )＝0,得x ＝10,列表如下：

由上表可知,f (x )答：当a ＝b ＝60,且x ＝10时,纸盒的体积最大,最大值为16 000 立方厘米．(14分)

解后反思 因为a ＝3 600b

,所以第(2)题实际上是体积V 关于两个变量b ,x 的最值问题． 先固定x ,处理变量b ,再处理x .

另外,对于求f (x )的最大值,学习过《不等式选讲》的学生也可用下面的解法．

因为x △(0,30),所以f (x )＝4x (30－x )2＝2·2x (30－x )(30－x )≤2??

??2x ＋(30－x )＋(30－x )33＝16 000,当且仅当x ＝10时取等号．

2、(2017徐州、连云港、宿迁三检))某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点),与左右两边相交(F ,G 为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m,且

12

AB AD ≥．设EOF θ∠=,透光区域的面积为S ．

(1)求S 关于θ的函数关系式,并求出定义域；

(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时,求边AB 的长度．

规范解答 (1)过点O 作OH FG ⊥于点H ,则OFH EOF θ∠=∠=,

所以sin sin OH OF θθ==,

cos cos FH OF θθ==．……………………………2分

所以44OFH OEF S S S =+△扇形

12sin cos 4()2

θθθ=+? sin22θθ=+,………………………………6分 因为12AB AD ≥,所以1sin 2θ≥,所以定义域为ππ[,)62

．……………………8分 (2)矩形窗面的面积为22sin 4sin S AD AB θθ=?=?=矩形． 则透光区域与矩形窗面的面积比值为2sin cos 2cos 4sin 22sin θθθθθθθ+=+．…10分 设cos ()22sin f θθθθ=+,ππ62

θ<≤． 则21

sin cos '()sin 22sin f θθθθθθ-=-+ 32sin cos sin 2sin θθθθθ

--= 22sin cos cos 2sin θθθθθ

-= 21cos (sin2)22sin θθθθ

-=,………………………………………………12分 因为ππ62

θ<≤,所以11sin222θ≤,所以1sin202θθ-<,故'()0f θ<, 所以函数()f θ在ππ[,)62上单调减．

所以当π6

θ=时,()f θ有最大值π6此时2sin 1AB θ==(m)． …14分 答：(1)S 关于θ的函数关系式为sin22S θθ=+,定义域为ππ[,)62

； (2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,AB 的长度为1(m)．………16分

点评：本题考生失分的原因是第(2)小题中函数)(θf 的导数)(θf '不会求解或不敢求解,所以提醒考生在备考中注意回归基本概念公式,同时注意查漏补缺,避免无效的重复,切实提高复习效益.

3、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．

(1) 若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14

m 2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围； (2) 若四根木条总长为6 m,求窗口ABCD 面积的最大值．

思路分析 第(1)问,注意到四边形ABCD 为正方形,所以四根木条的长度相等,以木条的长度x 为自变量,将正方形的面积表示为x 的函数,根据四边形ABCD 的面积的要求,以及“四根木条将圆分成9个区域”来求出四根木条的总长度的取值范围；第(2)问,由于四根木条的总长为6m,所以AB ,BC 所在的木条的长度之和为3m,因此,可以选择AB 所在的木条的长度为自变量a ,求出四边形ABCD 的面积的表达式,应用导数法来求出它的最大值；或者,选择双变量,即AB ,BC 所在的木条的长度为自变量a ,b ,建立四边形ABCD 的面积的表达式,应用基本不等式来求它的最大值．

规范解答 (1) 设一根木条长为x m,

则正方形的边长为21－????x 22＝4－x 2m.(2分)

因为S 四边形ABCD >14,所以4－x 2>14,即x <152

.(4分) 又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x >2,所以42<4x <215.

答：四根木条总长的取值范围为()42，215.(6分)

(2) 解法1 设AB 所在的木条长为a m,则BC 所在的木条长为(3－a )m.

因为a △(0,2),3－a △(0,2),所以a △(1,2)．(8分)

S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－(3－a )24

＝4－a 2·4－(3－a )2

＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20,(11分)

设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20,

则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4),

令f ′(a )＝0,得a ＝32

或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去)．(14分) 列表如下：

所以当a ＝32时,f (a )max ＝f ????32＝4916,即S max ＝74

. 答：窗口ABCD 面积的最大值为74

m 2.(16分) 解法2 设AB 所在的木条长为a m,BC 所在的木条长为b m.由条件知,2a ＋2b ＝6,即a ＋b ＝3. 因为a ,b △(0,2),所以b ＝3－a △(0,2),从而a ,b △(1,2)．(8分)

由于AB ＝21－b 2

4

,BC ＝21－a 24, S 矩形ABCD ＝41－b 24·1－a 24

＝4－b 2·4－a 2,(10分) 因为4－b 2·4－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )2

22＝74,(14分)

当且仅当a ＝b ＝32△(1,2)时,S 矩形ABCD ＝74

. 答：窗口ABCD 面积的最大值为74

m 2.(16分) 易错警示 第(1)问中,最容易出错的地方是忽略“四根木条将圆分成9个区域”这一条件,从而导致变量的取值范围出错．

解后反思 本题的本质是直线与圆的位置关系问题,第(1)问是由圆心到直线的距离的要求来求弦长的范围；而第(2)问是已知弦长的要求来求圆心到直线的距离的范围,弄清这一本质,问题就很容易求解．

4、为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为4m,渠深为2m ．

（1）考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽),问新水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少？

（2）考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽．

解析：建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为()220x py p =>,由已知点()22P ，

在抛物线上,得1p =,所以抛物线的方程为212

y x =. (1)为了使填入的土最少,内接等腰梯形的面积要最大,设点()21, 022A t t t ??<< ???,

则此时梯形APQB 的面积 ()()23211124224222S t t t t t t ??=+?-=--++ ???

, △()23

'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+,得23

t =, 当20, 3t ??∈ ???时,()'0S t >,()S t 单调递增,当2, 23t ??∈ ???

时,()'0S t <, ()S t 单调递减,所以当23t =时,()S t 有最大值12827

,改挖后的水渠的底宽为43m 时,可使填土的土方量最少. （2）为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,设切点()21, 02M t t t ??> ???

, 则函数在点M 处的切线方程为()21

2

y t t x t -=-, 分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t ????+ ? ?????

, 所以梯形OABC 的面积()1222222S t t t t t

??=+?=+ ???≥, 当且仅当2t =时,等号成立,

此时2OA =.所以设计改挖后的水渠的底宽为2m 时,可使挖土的土方量最少. 5、一个帐篷的形状如图,下部分是高为1m 的正六棱柱,上部分是侧棱长为3m 的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时,帐篷的体积最大? M

y

x

O P

B

A C

解析 设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为

=单位：m)

于是底面正六边形的面积为(单位：m 2)

2262)x x ==+-

帐篷的体积为(单位：m 3)231()2)(1)112)3V x x x x x x ??=+--+=+-????

求导数,得2()3)2

V x x '=- 令()0V x '=解得x =-2(不合题意,舍去),x =2.

当1<x <2时,()0V x '>,V (x )为增函数；当2<x <4时,()0V x '<,V(x)为减函. 所以当x =2时,V (x )最大.

答：当OO 1为2m 时,帐篷的体积最大.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rhz1.html