第七章 线性变换

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

91

?,??L(V)在这个基下的矩阵分别是A,B，k?P，那么 （1）????A?B； （2）k??kA； （3）???AB；

（4）?可逆的充分必要条件是：A为可逆矩阵；且??1?A?1。

定理7.4（象的坐标计算公式）设??L(V)在数域P上的n维线性空间V上的基

?1,?2,?,?n下的矩阵是A，??V在基?1,?2,?,?n下的坐标是(x1,x2,?,xn)，

?(?)在基?1,?2,?,?n下的坐标是(y1,y2,?,yn)，那么：

?y1????y2????????y??n??x1????x?A?2?； ????x??n?定理7.5（线性变换关于不同基的矩阵相似定理）设??L(V)在数域P上的n维线性空间V上的基?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n下的矩阵分别是A和B，基

?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵是T，那么：B?T?1AT；

定理7.6 （线性变换关于不同基的矩阵相似定理）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵；反之，两个相似的矩阵一定可以成为同一个线性变换在两组基下的矩阵；

定理7.7 相似矩阵的特征多项式相等；

定理7.8 （线性变换对角化的条件）设?是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，那么?在V的某个基下的矩阵是对角矩阵的充分必要条件是：?有n个线性无关的特征向量，即V有一个由?的特征向量构成的基； 定理7.9 属于不同特征值的特征向量一定是相性无关的；

推论7.1设?是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，如果?的特征多项式在数域P上有n个不同的特征值，那么?可以对角化； 推论7.2 设?是复数域上的n维线性空间V上的一个线性变换，如果?的特征多项式没有重根，那么?可以对角化；

定理7.10 设?1,?2,?,?t是线性变换?所有不同的特征值

?i1,?i2,?,?isi

是?的属于特征值?i的线性无关的特征向量，那么：

?11,?12,?,?1s;?21,?22,?,?2s;?;?i1,?i2,?,?is1i2i

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线性无关；

定理7.11设?是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，?1,?2,?,?n是

V的一个基，?在基?1,?2,?,?n下的矩阵是A，那么 （1）?(V)?L(?(?1),?(?2),?,?(?n))； （2）?的秩?R(A)；

定理7.12设?是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，则?的值域的一个基的原象和?的核的一个基并起来构成V的一个基；由此得：

?的秩+?的零度?n。

推论7.3 设?是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，则?是满射的充分必要条件是：是单射；

定理7.13 （凯莱—汉密尔顿定理）设f(?)是n级矩阵A的特征多项式，则：

f(A)?0；

定理7.14 设线性变换?的特征多项式为f(?)，它可以分解为

f(?)?(???1)r1(???2)r2?(???s)rs

那么V可以分解为不变子空间的直和

V?V1?V2???Vs，

其中 Vi??|(???i?)ri??0,??V,i?1,2,?,s.

定理7.15设?是复数域上的线性空间V的一个线性变换，则一定存在V上的一个基，使得：?在这个基下的矩阵是若尔当形矩阵，称为?的若而当标准形； 定理7.16 每个n级复矩阵都相似于一个若而当形矩阵；

定理7.17数域P上的n级矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是：A的最小多项式在P上可以分解为互素的一次因式的乘积。

推论7.4复数域上的n级矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是：A的最小多项式没有重根。

§1. 3 基本性质

性质7.1线性变换的运算性质：设?,??L(V),k,l?P （1）???????；

（2）(???)?????(???)；

（3）0????； （4）??(??)?0；

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??（5）k(l?)?(kl)?； （6）1???；

（7）(k?l)??k??l?； （8）k(???)?k??k?； （9）?(0)?0； （10）?(??)???(?)；

（11）若?1,?2,?,?s线性相关，则?(?1),?(?2),?,?(?s)线性相关。 性质7.2 相似矩阵的性质：

（1）自反性：任何矩阵自身和自身相似；

（2）对称性：如果矩阵A相似于B，则B也相似于A；

（3）传递性：如果矩阵A相似于B，B相似于C，则A相似于C；

（4）相似的矩阵的迹与范数相等。

性质7.3 最小多项式的性质：

（1）矩阵的最小多项式是唯一的；

（2）如果矩阵A的最小多项式是g(x)，那么f(x)以A为根的充分必要条件是

g(x)|f(x)；

（3）设矩阵A是一个准对角型矩阵

?A1A???? A2??若A1,A2的最小多项式分别是g1(x),g2(x)，那么A的最小多项式是

[g1(x),g2(x)]；

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§1. 4 基本运算

1、求线性变换?在给定基下的矩阵：

计算步骤

1） 求出基向量?1,?2,?,?n的象?(?1),?(?2),?,?(?n)； 2） 求出?(?i)在基?1,?2,?,?n下的坐标(a1i,a2i,?,ani)；

?a11?a213） 下结论 A??????an1a12a22?an2?a1n??a2n??为所求。

????ann?例7.1（北大教材，P321，7，3））

2、求线性变换?的特征值与特征向量：

计算步骤

1） 求出?在基?1,?2,?,?n下的矩阵A； 2） 求出A的特征多项式?E?A；

3） 特征多项式在数域P上的所有根?1,?2,?,?s(0?s?n)就是?的所有特征值； 4） 对每一特征值?i，解齐次线性方程组

(?iE?A)x?0

求出它的基础解系

(a11,a12,?,a1n)，(a21,a22,?,a2n)，?,(ati1,ati2,?,atin)，

则

(i)(i)(i)(i)(i)(i)(i)(i)(i)ki1?i1?ki2?i2??kiti?iti（ki1,ki2,?,kiti不全为零）

是?的属于特征值?i的所有特征向量，其中

?ij?aj1(i)?1?aj2(i)?2???ajn(i)?n,j?1,2,?,ti。

例7.2（北大教材，P324，19）

95

§2 基本题型及其常用解题方法

§2. 1 线性变换的判定与证明

利用定义

例7.3 （北大教材，P321，1）

§2.2 线性变换（矩阵）对角化的判定与证明 1、 利用特征值与特征向量： 理论依据有

（1） 定理7.8 （2） 推论7.1 （3） 推论7.2

（4）n阶矩阵A可以对角化?对A的每一个特征值?，都有?的重数+秩(?E?A)?n.

判断数域P上的n阶方阵A是否可以对角化，并在可对角化的条件下求可逆矩阵T，使T?1AT为对角矩阵的步骤：

1） 解方程?E?A?0，如果该方程的根不全属于P，那么A在数域P上不能对角化，否则求出A的所有属于数域P的特征值?1,?2,?,?m，?i的重数为ti(1?i?m)； 2） 对某一个特征值?i，若秩(?iE?A)?ti?n，则A不能对角化；

3） 若对每一个特征值?i，秩(?iE?A)?ti?n，A可以对角化，解齐次线性方程组

(?iE?A)x?0得其基础解系pi1,pi2,?,piti(i?1,2,?,m)；

4） 令T?(p11,?,p1t1;p21,?,p2t2;?;pm1,?,pmtm)，则

T?1AT?diag(?1,?,?1;?2,?,?2;?m,?,?m).

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?1??2?12?????的一个特征向量.

a3例7.4（97,6分）已知??1是矩阵A?5????????1b?2????1??(1)试确定参数a,b及特征向量?所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

解 (1)设?对应的特征值为?，则A????，即

?2?1?2????5?a?3?? ??1?b?2????所以：a??3,b?0,???1；

??2(2)?E?A??51?2?3?(??1)3，即???1是A的3重特征根.

??301??2??31?2???而秩(?E?A)?秩??5?2?3??2，因此A的属于特征根-1的线性无关的特征向量

?10?1???只有一个，故A不能相似于对角阵.

讨论数域P上的n维线性空间V上的线性变换?能否对角化的步骤

1）取定V的一个基?1,?2,?,?n，并求出?在基?1,?2,?,?n下的矩阵A；

2）按照讨论矩阵是否能否对角化的步骤讨论A能否对角化； 3）如果A不能对角化，那么?不能对角化；；

4）如果A能对角化，但其特征值不全属于P，那么?也不能对角化，若其特征 值全属于P，那么?能对角化，如果T是满足T?1AT为对角矩阵的可逆方阵，那么

令(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T，则?在基?1,?2,?,?n下的矩阵为对角矩阵

T?1AT；

例7.5 （北大教材，P325，21）

2、 利用正交变换法

本方法只适合于实对称矩阵 解题步骤

1） 解特征方程?E?A?0，求出A的所有不同的特征值?1,?2,?,?m，?i的重数为

97

ti（i?1,2,?,m）；

2） 解齐次线性方程组

(?iE?A)x?0

得基础解系?i1,?i2,?,?iti（i?1,2,?,m）；

3）利用Schmidt正交化方法将?i1,?i2,?,?iti化为规范正交组

ei1,ei2,?,eiti（i?1,2,?,m）；

4） 令U?(e11,?,e1t1;e21,?,e2t2;?;em1,?,emtm)，则U为所求正交矩阵，且

UTAU?diag(?1,?,?1;?2,?,?2;?m,?,?m).

例7.6（06,13分）设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量

?1?(?1,2,?1)T，?2?(0,?1,1)T是线性方程组Ax?0的两个解.

(1)求A的特征值和特征向量；

(2)求正交矩阵Q和对角矩阵?，使得QAQ??； (3)求A及(A?T36E)，其中E为3阶单位矩阵. 2T分析 由于A的各行元素之和为3，因此利用后面的性质6.10知3是A的特征值且(1,1,1)是A的属于特征值3的特征向量，?1,?2是Ax?0的两个解，易见?1,?2线性无关，所以

?1,?2是A的属于特征根零的两个线性无关的特征向量，将?1,?2化为规范正交组e1,e2，

则e1,e2,e3?1?3?3为列向量便得Q，由此知零是A的二重特征根，所以0，0，3便是A的所有特征值，至于特征向量也就不难求出.

?1??1?????即知3为的一个特征值，T解(1)由于A的各行元素之和为3，所以A1?31，而(1,1,1)A???????1???1??T是A的属于特征值?3?3的一个特征向量，又?1?(?1,2,?1)，?2?(0,?1,1)是Ax?0T的两个解，由于?1,?2的分量不成比例，所以?1,?2线性无关，因此0至少是A的二重特征值，但A为3阶对称矩阵，3已为A的一个特征值，所以?1??2?0,?3?3便是A的所

?3?(1,1,1)T是有特征值，从而?1,?2构成?1??2?0的所有特征向量的一个极大无关组，

98

?3?3的全体特征向量的一个极大无关组.

故：A的属于特征值?1??2?0的全体特征向量为

c1(?1,2,?1)T?c2(0,?1,1)T (c1,c2是不全为零的任意常数）

A的属于特征值?3?3的全体特征向量为

c(1,1,1)T (c?0为任意常数）

(2)令e1?(?16,26,?16)T，

3616,13?2??2?(?2Te1)e1?(0,?1,1)T?e2?(?12,0,12)T,e3?1(?13,26,13,?111)T?(?,0,)T,226?3??3?(12012)T

?1??6?2则Q?(e1,e2,e3)???6?1??6?1??3?1?为所求正交矩阵， ?31??3???diag(0,0,3),QTAQ??.

?1??6?2T(3)A?Q?Q???6?1??6?又(A??120121??1???3??06??1?????10??3??2??3???11???3??326013?1??6??111?1?? ??111???2?111??1???3?36333E)?(Q?QT?QQT)6?[Q(??E)QT]6?Q(??E)6QT 2222??3/2?6?3???T?Q??3/2?E. ?Q???2???3/2??6性质7.4 如果n阶矩阵A的各行元素之和均为a，则a一定是A的一个特征值，且

(1,1,?,1)T是A的属于特征值a的一个特征向量.

99

3、 利用最小多项式

例7.7 设n维线性空间V上的线性变换?满足?2???2?（这里?表示恒等映射），证明：

?可以对角化。

§2.3求矩阵的特征值与特征向量

求n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤

1) 求出A的特征特征多项式?E?A；

2) 解?E?A?0，便可求出A的所有不同的特征值?1,?2,?,?s(1?s?n)，设ai的重 数为ti(1?i?s)，t1?t2???ts?n；

3) 对每一个特征值?i(i?1,2,?,s)，解齐次线性方程组

(?iE?A)x?0 （7.1）

便可求出A的所有属于特征值?i的特征向量(i?1,2,?,s). 说明

① 如果设秩(?iE?A)?ri，则(7.1)的基础解系中含有n?ri?vi个解向量，它们是A的属于特征值?i的特征向量的极大无关组，如果设?i1,?i2,?,?ivi是(7.1)的一个基础解系，则A的属于特征值?i的全部特征向量为：

ci1?i1?ci2?i2???civi?ivi

这里ci1,ci2,?,civi是不全为零的任意常数（注意：书写解答时不能漏掉不全为零的条件）； ②vi?n?ri?ti(i?1,2,?,s)，即A的属于特征值?i的线性无关的特征向量的最大个数不大于?i的重数；

③ 要注意利用如下性质简化特征值的计算.

性质7.5 (1)设?1,?2,?,?n是n阶可逆矩阵A的全部特征根，则?1,?2,?,?n是n阶可逆矩阵A的全部特征值；

(2) 设?1,?2,?,?n是n阶矩阵A的全部特征值，f(x)是任意一个次数大于零的多项式，则f(?1),f(?2),?,f(?n)是n阶矩阵f(A)的全部特征根.

100

?1?1?1?1

例7.8（89,8分）假设?是n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明： (1)

1为A?1的特征值； ?A(2)

?为A的伴随矩阵A?特征值.

分析 若为选择题或填空题，直接利用性质6.1(1)便得(1)之结论.再由

A??AA?1，利用性质6.1(2)便得(2)之结论.但本题为解答题，因此需要给出证明.

证明 (1)1E?A?1?1A?1A?A?1?1A?1(A??E)??1A?1?E?A?0

????所以

1为A?1的特征值. ????(2) AE?A??AE?AA?1?A(E?A?1)?AnE?A?1?0，

?故：

A?为A特征值.

?2???12??例7.9（89,5分）设A?2?1?2 ????2?2?1??(1)求矩阵A的特征值；

(2)利用(1)，求E?A的特征值，其中E为3阶单位矩阵.

?1??1解 (1)?E?A??2?2?22?(??1)2(??5)，

??12?2??1故：A的特征值为?1??2?1,?3??5. (2)由(1)知A的特征值为1，1，?说明E?A?1?114?1，故：E?A的特征值为：2，2，. 55?f(A?1)，这里f(x)?1?x.

??3?12???例7.10（87,6分）求矩阵A?0?14的实特征值及对应的特征向量. ?????101????3解 ?E?A?1?2?4?(??1)(?2?4??5)，所以A的实特征值为??1， ??101??10 101

解齐次线性方程 (E?A)x?0 可得其基础解系为(0,2,1)，故A的属于特征值1的全体特征向量为

T((0,2,1)T?(0,2c,c)T(c为任意常数）.

说明 求特征向量时，解齐次线性方程组已不是主要任务，因此求解过程可在草稿纸上完成，书写时只需给出结论即可.

§2.4矩阵的特征值与特征向量的性质及其应用

性质7.6 设n阶方阵A的n个特征值为?1,?2,?,?n(A?(aij))，则 (1)?1??2????n?a11?a22???ann (2)?1?2??n?A.

说明 由(2)可得结论，n阶方阵A为可逆矩阵?A的所有特征值都不为零.

例7.11（90,6分）设?1,?2是n阶方阵A的两个不同的特征值，x1,x2分别是属于?1,?2的特征向量，证明：x1?x2不是A的特征向量.

证明：（用反证法）设x1?x2是A的属于特征值的?特征向量，则

A(x1?x2)??(x1?x2)，但A(x1?x2)?Ax1?Ax2??1x1??2x2，

所以?(x1?x2)??1x1??2x2，即(???1)x1?(???2)x2?0， 又x1,x2线性无关，所以?1????2，与?1??2矛盾， 故 x1?x2不是A的特征向量.

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质如下 性质 7.7 (1) 实对称矩阵的特征值一定为实数；

(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.

例7.12（97,10分）设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别?1?(?1,?1,1),?2?(1,?2,?1). (1)求A的属于特征值3的特征向量； (2)求矩阵A.

T解 (1)设?3?(x1,x2,x3)为A的属于特征值3的特征向量，则?3与?1,?2均正交，因

TT此

?x1?x2?x3?0 ??x1?2x2?x3?0

102

T该齐次线性方程的基础解系为：?3?(1,0,1)，故A的属于特征值3的特征向量为：

k(1,0,1)T?(k,0,k)T(k?0为任意常数）.

?1???31111(2)取U?(?1,?2,?3)????3?1?2?3?1??3?1???31故：A???6?1??2?1???31???6?1??2??23460??132601??626161??2??1??， 20?,则 UTAU??????3???1??2?1??6261602?131??2?0? ?1??2?2??6?1?. ??3?2???1?11????3??1??31?????1?2??36??3????11????2??31??62616?13??1???3??33??1???6?33??1??2??31????2??0?????1????2??2026说明 ① 直接令P?(?1,?2,?3)，则PAP?diag(1,2,3)，那么A?Pdiag(1,2,3)P， 需要计算P，再进行矩阵的乘法；

② ||?i||表示向量?i的长度，也称为?i的范数，由于?1,?2,?3彼此正交，因此只需把它们单位化便可得规范正交基

?11||?1||?1,1||?2||?2,1||?3||?3，进而得正交矩阵

U?(1||?1||?1,1||?2||?2,1||?3||?3).

§2.5 不变子空间的判定与证明

例7.13 设??L(V)，则?的象Im(?)与核??1(0)均是?的不变子空间。

?)与核??1(0)均是?的不变子空间。例7.14 设?,??L(V)，若?????，则?的象Im(

103

例7.15 （北大教材，P326，25）

§2.6矩阵的相似及其性质

性质7.8 (1) 若B?P?1AP，则Bn?P?1AnP；

(2) 若A~B，则A与B的特征多项式相同； (3) 相似矩阵的特征根相同； (4) 迹与范数相同.

说明 ①n阶矩阵A?(aij)的迹是指a11?a22???ann（即A的主对角线上的元素之和），范数是指A的行列式A； ②(2),(3),(4)的逆命题都不成立.

?001???例7.16（94,8分）设A?x1y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件. ????100??分析A有三个线性无关的特征向量知A可以对角化，因此对A的每一个特征值?，?的重数+秩(?E?A)?3，由此便可定出x,y.

?解 ?E?A??x0?1??1?y?(??1)2(??1)，所以A的特征值为

?10??1??2?1,?3??1,由于A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，因此对特征

?10?1???根?1??2?1,我们有秩(E?A)?3?2?1，但由(E?A)??x0?y知?????101??1?1?0，即x?y?0是秩(E?A)?1的充分必要条件.

?x?y故：x和y应满足的条件是x?y?0.

?1??2?12?????的一个特征向量.

a3例7.17（97,6分）已知??1是矩阵A?5????????1b?2????1??(1)试确定参数a,b及特征向量?所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

解 (1)设?对应的特征值为?，则A????，即

104

?2?1?2????5?a?3?? ??1?b?2????所以：a??3,b?0,???1；

??2(2)?E?A??51?2?3?(??1)3，即???1是A的3重特征根.

??301??2??31?2???而秩(?E?A)?秩??5?2?3??2，因此A的属于特征根-1的线性无关的特征向量

?10?1???只有一个，故A不能相似于对角阵.

§2.7线性变换的象与核的计算 1、理论依据：（定理7.11）

计算步骤

1） 求出V的一个基?1,?2,?,?n，由定理7.11得线性变换??L(V)的象是：

?(V)?L(?(?1),?(?2),?,?(?n))

2） 不妨设?(?1),?(?2),?,?(?s)是?(?1),?(?2),?,?(?n)的一个极大无关组，则它

是?(V)?L(?(?1),?(?2),?,?(?n))的一个基，于是

?(?s?1),?(?s?2),?,?(?n)

可由这个基唯一的线性表出，求出

?(?s?1)?a(s?1),1?(?1)?a(s?1),2?(?2)???a(s?1),r?(?r)

?(?s?2)?a(s?2),1?(?1)?a(s?2),2?(?2)???a(s?2),r?(?r)

?

?(?n)?an1?(?1)?an2?(?2)???anr?(?r)

3）令?s?1??s?1?[a(s?1),1?1?a(s?1),2?2???a(s?1),r?r]

?s?2??s?2?[a(s?2),1?1?a(s?2),2?2???a(s?2),r?r]

?

?n??n?[an1?1?an2?2???anr?r]

105

则??1(0)?L(?s?1,?s?2,?,?n)

例7.18（北大教材，P323，14）

2、理论依据：同构映射的理论 计算步骤

1）求出??L(V)在V的一个基?1,?2,?,?n下的矩阵A；

2）求出A的列向量组的一个极大线性无关组，则与这个极大无关组对应的

?(?i),?(?i),?,?(?i)是?(V)?L(?(?1),?(?2),?,?(?n))的一个基；

12r3）解齐次线性方程组Ax?0，求出它的一个基础解系：

(x11,x12,?,x1n),(x21,x22,?,x2n),?,(xt1,xt2,?,xtn)(t?n?r)

那么：?1?x11?1?x12?2???x1n?n

?2?x21?1?x22?2???x2n?n

?

?t?xt1?1?xt2?2???xtn?n

是??1(0)的一个基。

7.19（北大教材，P323，14）

§3 例题选讲

§3.1线性变换的判定与证明的例题

例4.14 （97，5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. （1）证明B可逆； （2）求AB.

?1?0?0?例4.15 （北大教材，P201，22）设X?????0??an求X

?1a10?000a2?00?0??0??其中ai?0(i?1,2,?n)，???，??an?1??0??.

106

例4.16 若A、B为n阶矩阵，证明：若I?AB可逆，则I?BA也可逆，其中I为n阶单位矩阵.

§3.2线性变换（矩阵）对角化的判定与证明的例题

例4.17 （北大教材，P199，6） 例4.18 （北大教材，P199，7） 例4.19 （北大教材，P204，8）

§3.3求矩阵的特征值与特征向量的例题

例4.20 （04，4分）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再将B的第2

列加到第3列得C，则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010???（A）100 (B) ????101???010??101? (C) ????001???010??100? (D) ????011???011??100? ????001????例4.21（05，4分）设A是n(n?2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第二行得矩阵B，A,B 分别是A,B的伴随矩阵，则

（A）交换A的第1列与第2列得矩阵B. （B）交换A的第1行与第2行得矩阵B. （C）交换A的第1列与第2列得矩阵?B. （D）交换A的第1行与第2行得矩阵?B.

?

?????

??§3.4矩阵的特征值与特征向量的性质及其应用的例题

例4.22 设有方程AP?PA?PBRBP?Q?0，其中A??T?1T?01??0?,B?,R?(1)， ????00??1??b11b12??10?Q???，使得b11?0,|P|?0. ?(a?0),求P??bb0a22??21??§3.5 不变子空间的判定与证明

§3.6线性变换的象与核的计算的例题

§3.7线性变换的象与核的计算的例题

6.1.4规范正交组 施密特(Schmidt)正交规范化方法

1.两个n维向量对应分量的乘积之和称为两个向量的内积.两个n维列向量?,?的内积为

107

?T???T?，两个n维行向量?,?的内积为??T???T；

2.若两个非零向量的内积为零，则称这两个向量正交：两两正交的向量组称为正交向量组，简称正交组；由单位向量构成的正交组，称为规范正交组； 3.若?1,?2,?,?m为一个线性无关列向量组，则

m?1?mT?i?2T?1?1??1,?2??2?T?1,?,?m??m??T?i (6.2)

?1?1i?1?i?i是一个正交向量组.

说明 ①从线性无关向量组?1,?2,?,?m出发，利用公式(6.2)求出正交组?1,?2,?,?m的方法，称为Schmidt正交规范化方法； ②取?i?1?i?i(i?1,2,?,m)，则?1,?2,?,?m便为一个规范正交组.

例6.8 已知?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,0,0)。证明：?1,?2,?3线性无关，并 将?1,?2,?3用Schmidt正交化方法化为规范正交组e1,e2,e3.

111解 因为123?1?0，所以?1,?2,?3线性无关.

100?2?1T6??(1,2,3)?(1,1,1)?(?1,0,1), 取?1??1,?2??2?1T3?1?1?3??3??3?1T?1?1T?1??3?2T?2?2T?2?(1,0,0)?(1,1,1)?(?1,0,1)?(,?,)

1312161136则?1,?2,?3为正交组，又取e1?1?1?1?(113,1316,132)， 16e2?1?2?2?(?12,0,12)，e3??3?3?(,?6,)，

则e1,e2,e3为所求规范正交组.

说明 ①本题利用Schmidt正交化方法求规范正交组采用的是先正交化，再单位化的计算步骤，其优点是单纯，便于操作，缺点是计算量可能会大一点； ②采用正交化与单位化同步进行的方式求规范正交组，计算量会小一些，但容易发生计算错误。采用此法则本题为： 令e1?

1?1?1?(13,13,13)，

108

?2??2?(?2e1T)e1?(1,2,3)?23(e2?113,13,13)?(?1,0,1),?2?2?(?12,0,12),

13(13,13,13)?12(?12,0,1111)?(,?,),

6362?3??3?(?3e1T)e1?(?3e2T)e2?(1,0,0)?e3?

1?3?3?(16,?26,16).

本章解题要点

1.要注意利用性质6.1简化特征值的计算；

2.理解特征值与特征向量的概念，并会运用其定义解题； 3.要理解掌握特征值与特征向量的性质，尤其是实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，会运用它们解题；

4.掌握Schmidt正交化方法，会将线性无关向量组化为正交组，规范正交组； 5.理解相似矩阵的概念、性质，并会运用它们解题；

6.会判断矩阵A是否可以对角化，并在可对角化的条件下，求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵；

7.会求正交矩阵Q，使QAQ为对角矩阵，这里A为实对称矩阵；

8.会利用矩阵的特征值与矩阵行列式的关系，计算行列式，即矩阵的行列式等于它的所有特征值的乘积.

结束语 特征值与特征向量及其相关内容是线性代数的重要内容，也是研究生入学考试的重要内容之一.本章我们介绍了特征值和特征向量的计算，矩阵相似对角化的判定，实对称矩阵的正交对角化，化线性无关组为正交组，规范正交组的Schmidt方法，这些内容都有相对固定的解题步骤.也介绍了特征值与特征向量的性质、相似矩阵的性质、矩阵可对角化的条件（包括充要条件，充分条件），要会运用这些知识解题，必须多训练、多体会，在理解的基础上记忆这些性质，方能达到灵活运用，轻松解题的目的.

T?1§4 练习题

§4.1 北大教材题目

P320-P326，习题 1、 2、 3、 4、

109

5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、

P326-P327，习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、

参考解答

§4.2 补充习题

11、(92,3分)矩阵A?111 111111的非零特征值是 . 11110

1111

2、（98，3分）设A为n阶矩阵，|A|?0,A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值?，则(A)?E必有特征值是 . 3、（99，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 . 4、（00，3分）已知4阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5.E为4阶单位矩阵，则|B?E|? .

2?1A)有一个特征值等于 5、（93，3分）设??2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(13?2?311(A)43 (B) 4 (C) 2 (D) 4

?001???已知矩阵相似于，

6、（03，4分）设矩阵B?010，AB则秩r(A?2E)与秩r(A?E)????100??之和等于

(A)2 (B)3 (C)4 (D) 5

7、（05，4分）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则 矩阵?1,A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)?1?0 (B) ?2?0 (C) ?1?0 (D) ?2?0 8、（88，8分）已知矩阵

?200??200??,B??0y0?

A??001???????01x???00?1??（1）求x与y；

（2）求一个满足PAP?B的可逆矩阵P.

9、（90，5分）设方阵A满足条件AA?E，其中A是A的转置矩阵，E为单位矩阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

TT?1?211???T?110、（91，4分）已知向量??(1,k,1)是矩阵A?121的逆矩阵A的特征向量，试

????112??求常数k的值.

11、（92，7分）设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3，对应的特征向量依次为

111

?1??1??1??1??,???2?,???3?.又向量???1?. ?1??1??2??3?????????1???4???9???3??（1）将?用?1,?2,?3线性表出； （2）求A?（n为自然数）.

12、（95，7分）设3阶实对称矩阵A的特征值为?1??1,?2??3?1，对应于?1的特征向

T量为?1?(0,1,1)，求A.

nT13、（96，7分）设有4阶方阵A满足条件|2I?A|?0,AA?2I,|A|?0，其中I为4阶

单位矩阵，求方阵A的伴随矩阵A的一个特征值.

14、（97，5分）设B是秩为2的5?4矩阵，?1?(1,1,2,3),?2?(?1,1,4,?1),

TT??3?(5,?1,?8,9)T都是齐次线性方程组BX?0的解向量，求BX?0的解空间的一个标准

正交基. 15、（97，9分）设矩阵A与B相似，其中

?1?11??2??,B??2?

A??24?2??????b???3?3a????（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P，使PAP?B.

TT16、（98，9分）设向量??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)都是非零向量，且满足条件

?1?T??0，记n阶矩阵A???T，求

（1）A；

（2）矩阵A的特征值和特征向量. 17、（99，7分）设矩阵

2?3A????k??4?1?2??1k?? 2?3??2问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵.

112

18、（99，8分）设矩阵

?1c??a?

A??5b3????1?c0?a??其行列式|A|??1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值为?0，属于?0的一个特征向量为

??(?1,?1,1)T，求a,b,c和?0的值.

19、（00，9分）设矩阵

?1?11??

A??x4y?????3?35??已知A有三个线性无关的特征向量，??2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得

P?1AP为对角矩阵.

20、（00，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将

1熟6练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为5?xn?xn和yn，记成向量??.

?yn??xn?1??xn??xn?1??xn?（1）求??与?y?的关系式并写成矩阵形式：?y??A?y?；

y?n?1??n??n?1??n?（2）验证?1???,?2???4??1???1?是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； ??1??1??x1??2??xn?1?（3）当?????时，求??.

y1y?1????n?1???2???11a??1?????21、（01，9分）设矩阵A?1a1,??1，已知线性方程组AX??有解不惟一，???????a11????2??试求：

（1）a的值；

（2）正交矩阵Q，使得QAQ为对角矩阵.

T 113

?a11???22、（02，8分）设实对称矩阵A?1a?1，求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩????1?1a??阵，并计算行列式|A?E|的值. 23、（02，8分）设A,B为同阶方阵，

（1）如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等； （2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立； （3）当A,B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立.

?211??1?????24、（03，13分）设矩阵A?121可逆，向量??b是矩阵A*的一个特征向量，????????1???11a??是与对应的特征值，其中A是A的伴随矩阵，试求a,b和?的值. 25、（03，10分）设矩阵

*

?322??010??,P??101?

A??232???????223???001??矩阵B?PAP，求B?2E的特征值与特征向量，其中A是A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

26、（04，13分）设三阶实对称矩阵A的秩为2,?1??2?6是A的二重特征值，若

?1??

?1?(1,1,0)T,?2?(2,1,1)T,?3?(?1,2,?3)T都是A的属于特征值6的特征向量.

（1）求A的另一特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A.

?12?3???27、（04，9分）设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A????1a5??是否可相似对角化.

28、（05，13分）设A为3阶矩阵，?1,?2,?3是线性无关的三维列向量，且满足：

A?1??1??2??3,A?2?2?2??3,A?3?2?2?3?3

（1）求矩阵B，使得A(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)B；

114

（2）求矩阵A的特征值；

（3）求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵.

29、（07，11分）设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2且?1?(1,?1,1)是A的属于特征值?1的一个特征向量.记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵. （I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (II）求矩阵B.

T参考解答

1、本题应填4；

本题结论具有代表性，我们把它归纳为如下

性质6.11 如果n阶矩阵A的所有元素为同一个非零数a，则

?1??2???n?1?0,?n?na是A的所有特征值，A的属于特征值?1??2???n?1?0的

所有特征向量为

k1(?1,1,0,?,0,0)T?k2(?1,0,1,?,0,0)T???kn?1(?1,0,0,?,0,1)T

其中k1,k2,?,kn?1为不全为零的任意常数. 对应于特征值?n?na的所有特征向量为

k(1,1,?,1)T(k?0为任意常数）.

证明 由题设条件知：A(1,1,?,1)?na(1,1,?,1)，所以?n?na为A的一个特征值，且

TT(1,1,?,1)T是对应的一个特征向量.又

?aa?a??11?1??aa?a?经过行初等变换?00?0???? A????????????????aa?a00?0????所以齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含有n?1个解向量，

(?1,1,0,?,0,0)T,(?1,0,1,?,0,0)T,?,(?1,0,0,?,0,1)T

是它的一个基础解系.

故：0是A的一个n?1重特征值，从而?1??2???n?1?0,?n?na是A的全部特征值.

对应于特征值?1??2???n?1?0的所有特征向量为

k1(?1,1,0,?,0,0)T?k2(?1,0,1,?,0,0)T???kn?1(?1,0,0,?,0,1)T

115

其中k1,k2,?,kn?1为不全为零的任意常数.

对应于特征值?n?na的所有特征向量为

k(1,1,?,1)T(k?0为任意常数）.

本题考查综合运用特征值与特征向量的定义、性质和齐次线性方程组的理论求特征值.

2、本题应填

|A|2?2?1；

??1?1解 因为|A|?0，所以A可逆，??0，且?为A?1的一个特征值，又A?|A|A，因

此|A|?为A的一个特征值，故：

?1?|A|2?2?1为(A?)2?E的一个特征值.

本题考查运用性质6.1求特征值.

3、本题应填?1??2???n?1?0,?n?n；

分析 直接利用性质6.11便得结论，作为填空题或选择题到此即可结束，若为解答题，则需仿性质6.11的证明加以解答.

本题考查运用性质6.11求特征值.

4、本题应填24；

解 由题设知B的特征值为2,3,4,5，所以B?E的特征值为1,2,3,4，故：

|B?E|?1?2?3?4?24.

本题考查运用特征值的性质和性质6.1解题.

二、选择题

5、本题应该选择(B)；

2?121解 因为??2是A的特征值，所以4/3是13A的特征值，从而3/4是(3A)的一个特征

值.选择 (B)正确；

本题考查运用性质6.1求特征值.

6、本题应该选择(C)；

解 因为|?E?B|?(??1)(??1)，所以B的特征值为?1??2?1,?3??1，而A相似于

2B，所以A的特征值为1,1,?1，从而A?2E,A?E的特征值分别为1,1,?1与0,0,?2，因此：

r(A?2E)?3,r(A?E)?1，故：r(A?2E)?r(A?E)?3?1?4.选择 (C)正确；

116

本题解题思路可以总结为

性质6.12 （1）一个n阶实对称矩阵A的秩等于A的非零特征值的个数；

（2）零是n阶实对称矩阵A的特征值的充分必要条件是|A|?0，且|A|?0时，0是A的

n?r(A)重特征值.

本题考查特征值的计算，也考查实对称矩阵的秩与特征值之间的关系.

7、本题应该选择(B)；

解 设k1?1?k2A(?1??2)?0，则由A(?1??2)?A?1?A?2??1?1??2?2得：

(k1?k2?1)?1?k2?2?2?0，因为?1,?2是属于特征值?1,?2的特征向量，?1??2，因此

?1,?2线性无关，k1?k2?1?0,k2?2?0；

当?2?0时，必有k2?0，从而k1?0，因此?1,A(?1??2)线性无关；

当?2?0时，取k1??1,k2??1，便有：?1?1?A(?1??2)?0，因此?1,A(?1??2)线性相关；故：?1,A(?1??2)线性无关的充分必要条件是?2?0.选择 (B)正确；

本题综合考查特征值与特征向量的性质、定义和向量组的线性相关与线性无关的概念.

三、解答题

8、分析 要求x,y，必设法建立关于x,y的两个方程，而由A,B相似知A,B的迹与范数相等，正好可以建立关于x,y的两个方程，从而求出x,y，再求出A的关于特征值2,y,?1的特征向量，以它们为列向量的矩阵P便是（2）中所求可逆矩阵P.

解 （1）因为A,B相似，所以x?2?y?1,|A|??2?|B|??2y，解之得：x?0,y?1； （2）对于特征值?1?2，解齐次线性方程组(2E?A)x?0得对应的特征向量为(1,0,0)； 对于特征值?2?1，解齐次线性方程组(E?A)x?0得对应的特征向量为(0,1,1)； 对于特征值?3??1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0得对应的特征向量为(0,?1,1)；

TTT?100????1令：P?01?1，则PAP?B.

????011??

本题考查相似矩阵的性质，矩阵对角化与相似逆矩阵的计算.

TTT9、证明?是A的实特征向量?所对应的特征值，则：A????，于是?A???，从而：

117

(?TAT)(A?)??T(ATA)???2?T?，而ATA?E，因此(?2?1)?T??0，由于?是非零

2的实向量，所以???||?||?0，从而??1?0，故：|?|?1.

T说明 ① ||x||表示向量x的范数，也称为x的长度，它等于x的内积的算术平方根，也就是

x的坐标平方和的算术平方根；

② 本题结论表明正交矩阵的实特征向量对应的特征值一定是实数.

本题考查特征值与特征向量的定义，矩阵与向量的计算.

10、解 设?是A?1的属于特征值?的特征向量，则：A?11?，即： ????，于是A???1?3?k??2，于是k?k?2?0，解之得：k?1或k??2. ?k?2?2k??本题考查特征值与特征向量的定义，矩阵的乘法.

11、解（1）考虑线性方程组(?1,?2,?3)x??

?是A的实特征向量?所对应的特征值，则：A????，于是?TAT???T，从而：

?1111??1002?经过行初等变换??010?2?

(?1,?2,?3,?)??1231???????1493???0011??所以??2?1?2?2??3.

（2）由于A?1??1,A?2?2?2,A?3?3?3，所以

An?1??1,An?2?2n?2,An?3?3n?3

nnn?1n故：A??A(2?1?2?2??3)?2?1?2?2?3?3

?(2?2n?1?3n,2?2n?2?3n?1,2?2n?3?3n?2)

说明 ① 第（2）问的计算利用了（1）的结论并结合了：若?是方阵A属于特征值?的特征向量，则?一定是A的属于特征值?的特征向量，这里m为正整数；

② 若令P?(?1,?2,?3)，则PAP?diag(1,2,3)，于是：A?Pdiag(1,2,3)P，又

?1nnn?1mm??2?1?2?2??3?P(2,?2,1)T，因此

An??Pdiag(1,2n,3n)P?1(P(2,?2,1)T)?Pdiag(1,2n,3n)(2,?2,1)T

118

?(2?2n?1?3n,2?2n?2?3n?1,2?2n?3?3n?2).

这样计算也不失为一种好的计算方法.

本题考查特征值与特征向量的定义，解线性方程组，矩阵与向量的计算.

12、解 设A的属于特征值?2??3?1的特征向量为(x1,x2,x3)，则因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交，所以：

x1?x3?0 （6.3）

TT因此?2?(1,0,0),?3?(0,?1,1)为A的属于特征值?2??3?1的线性无关的特征向量，将

T其正交规范化得：e2?(1,0,0)T,e3?(0,?12,1T2)，又取e1?||?11||?1?(0,12,1T2)，令：

U?(e1,e2,e3)，则：UTAU?diag(?1,1,1)，故：

?0?A?Udiag(?1,1,1)UT??12?1?2110???1??02????0?12??1??101???0?1?01??2?2???100??? 0???00?1??1???0?10??2?12说明 ① 求齐次线性方程组（6.3）的基础解系时，由于其系数矩阵的秩为1，因此它有，所以它们不能同时作为自3?1?2个自由变元，1个约束变元，又x2,x3一起满足（6.3）

由变元，只能1个为自由变元，1个为约束变元，按照习惯，取x3为自由变元，x2为约束变元，而x1不受（6.3）的限制，它应该是自由变元，于是分别令x1?1,x3?0和x1?0,x3?1就可以求出（6.3）的基础解系(1,0,0),(0,?1,1)；

TT?1② 由本题可得一类典型的命题模型：设n阶实对称矩阵A恰有2个不同的特征值?1,?2，

的重数为s(1?s?n)，又已知?1,?2,?,?s是A的属于特征值?1的线性无关的特征向量，求矩阵A.

此类题目的解题步骤是

（1）设(x1,x2,?,xn)为A的属于特征值?2的特征向量，则因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交，所以：(x1,x2,?,xn)应是

(?1,?2,?,?s)x?0 （6.4）

的解向量，由于r(?1,?2,?,?s)?s，所以（6.4）的基础解系中恰有n?s个解向量，解之求出一个基础解系?s?1,?s?2,?,?n，则它们正好是A的属于特征值?2的n?s个线性无关的

119

TT特征向量；

（2）利用Schmidt正交化方法，将?1,?2,?,?s化为规范正交组e1,e2,?,es，

?s?1,?s?2,?,?n化为规范正交组es?1,es?2,?,en；

（3）令U?(e1,e2,?,es,es?1,es?2,?,en)，则UAU?diag(?1,?,?1,?2,?,?2) 从而A?Udiag(?1,?,?1,?2,?,?2)U，利用矩阵的乘法运算便可求出A.

注意 当s?1,n?5时，求A的运算量会比较大，但改为求A的属于特征值?2的所有

T特征向量，则计算量不大，此时设?1?(a1,a2,?,an)（不妨设a1?0）是A的属于特征

TT值?1的特征向量，则A的属于特征值?2的特征向量均为齐次线性方程组

a1x1?a2x2??anan?0

TTT的解，易见?2?(?a2,a1,0,?,0),?3?(?a3,0,a1,?,0),?n?(?an,0,0,?,a1)是A的

属于特征值?2的n?1个线性无关的特征向量，故：

k2?2?k3?3???kn?n(k1,k2,?,kn是不全为零的常数）

是A的属于特征值?2的所有特征向量.

本题考查实对称矩阵的特征值与特征向量的性质.

13、分析 由|2I?A|?0知：?2是A的一个特征值，因此?但A?|A|A，所以?题得解.

T解 因为AA?2I，所以|A|?16，又|A|?0，因此|A|??4；

2??112是A的一个特征值，

?1|A|2?是A的一个特征值，结合AA?2I,|A|?0不难求出|A|，问

T另由|2I?A|?0知：?2是A的一个特征值，因此?12是A的一个特征值，但

?1A??|A|A?1，所以?|A|2?22是A?的一个特征值.

本题考查特征值的概念，利用性质6.1求特征值，也考查伴随矩阵的概念及行列式的计算.

14、解 因为?1,?2的分量不成比例，因此线性无关，由题设条件知：B是秩为2的5?4矩阵，因此BX?0的基础解系含有4?r(B)?4?2?2个解向量，所以?1,?2是BX?0的

120

解空间的一个基，利用Schmidt正交化方法，令

?2T?14210 ?1??1?(1,1,2,3),?2??2?T?1?(?,,,?2)T，则

333?1?1e1?1||?1||?1?(1123142106T,,,),e2??2?(?,,,?)||?2||15151515156156156156

为BX?0的解空间的一个标准正交基.

本题考查Schmidt正交化方法，也考查齐次线性方程组的解的结构定理.

15、解 （1）因为A与B相似，所以tr(A)?tr(B),|A|?|B|，而

1|A|?2?141?2?6(a?1)，所以a?1?b,6(a?1)?4b，解之得：a?5,b?6. a?3?3（2）对应于特征值?1??2?2，解齐次线性方程组(2E?A)x?0得对应的线性无关的特征向量为(?1,1,0),(1,0,1)；

对于特征值?3?6，解齐次线性方程组(6E?A)x?0得对应的特征向量为(1,?2,3)；

TTT??111????1令：P?10?2，则PAP?B.

????013??本题考查相似矩阵的性质，矩阵对角化与相似逆矩阵的计算.

16、分析 利用性质4.1不难知道A?0，又设?是A的任意特征值，?为对应的特征向量，则A????,A?????0，结合??0得??0，即知：??0是A的惟一的特征值，重数为n.

解 （1）A?(??)(??)??(??)?2TTTT222??T?(??T)?0；

22 （2）设?是A的任意特征值，?为对应的特征向量，则A????,A?????0，结合

??0得??0，即知：?1??2????n?0是A的全部特征值.

考虑齐次线性方程组Ax?0，由于??0,??0，所以该齐次线性方程组与

b1x1?b2x2???bnxn?0

121

TTT同解，不妨设b1?0，则(?b2,b1,0,?,0),(?b3,0,b1,?,0),(?bn,0,0,?,b1)是A的属于

特征值?1??2????n?0的线性无关的特征向量，故：

k1(?b2,b1,0,?,0)T?k2(?b3,0,b1,?,0)T???kn(?bn,0,0,?,b1)T

（其中k1,k2,?,kn是不全为零的任意常数）是A的属于特征值?1??2????n?0的所有的特征向量.

本题考查特征向量的定义，特征向量的计算，矩阵与向量的运算.

??317、解|?E?A|??22?k?(??1)(??1)2，所以?1?1,?2??3??1为A的

k4??1?3??3所有特征值；

对应于特征值?2??3??1，考虑齐次线性方程组

(?E?A)x?0

当且仅当它的基础解系含有2个解向量时，A可以对角化，此时需r(?E?A)?1，而

??4?22??，因此k?0是r(?E?A)?1的充要条件，故：k?0，此时

?E?A??k0?k?????4?22??得对应的线性无关的特征向量为(?1,2,0),(1,0,2)；

对于特征值?1?1，解齐次线性方程组(E?A)x?0得对应的特征向量为(1,0,1)；

TTT?1?11??1?????1?. ?1令：P?020，则PAP????????1????102??本题考查矩阵对角化的条件与相似逆矩阵的计算.

??18、解 由题设A???0?，而AA?|A|E??E，因此A???1?0?，即：

??a?c?1??10??1 ??2?b??0?1??c?a?1???0 122

解之得：a?c,?0?1,b??3，再由|A|??1得：

a|A|?51?a?1?30a3?a?3??1，所以a?c?2. ?a本题考查特征值与特征向量的定义，矩阵的运算与行列式的计算.

19、分析 A有三个线性无关的特征向量，因此A可以对角化.对于2重特征值??2，秩利用此结论便可以求出x,y，以下按照6.1.3介绍的解题步骤求出Pr(2E?A)?3?2?1，

即可.

解 因为A有三个线性无关的特征向量，因此A可以对角化.对于2重特征值??2，齐次线性方程组

(2E?A)x?0

的基础解系恰有两个解向量，所以秩r(2E?A)?3?2?1，而

1?1??1?，所以x?2,y??2，对应的线性无关的特征向量为

2E?A???x?2?y???3?3??3?(?1,1,0)T,(1,0,1)T；

又由tr(A)?2???3?10，因此A的另一特征值?3?6，解齐次线性方程组

(6E?A)x?0得对应的特征向量为(1,?2,3)T；

??111??2????2?. ?1令：P?10?2，则PAP???????6??013????本题考查矩阵对角化的条件与相似逆矩阵的计算.

?52?1?x?x?x?y?n??n?16n56n???20、解 （1）由题设得：?，改写为矩阵形式为

1??y?3?x?y?n?1nn??56????9?xn?1??10?y???1?n?1???102??95??xn?，即：A??10?1?3??yn????5??102?5? 3??5?（2）因为?1,?2的分量不成比例，所以?1,?2线性无关，又

123

?9?A?1??101??102??95??4???4?,A???10?12??1?3??1??????5??10122?5???1??1??1?

?2?1?3??1?????5?所以?1,?2分别是A的属于特征值?1?1,?2?的特征向量；

?1/51/5??1?10??4?1??1（3）令P???，则P???1/54/5?,PAP??01/2?，故：

11??????x0??1?1/2??xn?1??xn??1n?1??A?A?P?y??y??y??01/2n?P?1/2?

?????1??n?1??n?34?5?2n1?1?0??1/51/5??1/2??5?4?1??1????01/2n???1/54/5??1/2???1?3?1? 11?????????552n?1?本题考查特征值与特征向量的定义，矩阵对角化的条件与应用，矩阵的计算.

21、解 （1）

__1a1??11a1??1经过行初等变换??0a?1?

A??A????1a111?a0??????0(a?2)(a?1)(a?2)??a11?2???0?__当a?1,a??2时，r(A)?r(A)?3，线性方程组Ax??有惟一解，与题设有解不惟一矛盾；

当a?1时，r(A)?1?r(A)?2，线性方程组Ax??无解，也与题设矛盾； 当a??2时，r(A)?r(A)?2，线性方程组Ax??有无穷多组解，与题设一致； 故：a??2；

____??1 （2）a??2时，|?E?A|??1?12?1??(??3)(??3)，所以

??2?12??1?1?0,?2??3,?3?3为A的所有特征值；

对应于特征值?1?0，考虑齐次线性方程组Ax?0得对应的特征向量为(1,1,1)； 对应于特征值?2??3，考虑齐次线性方程组(?3E?A)x?0得对应的特征向量为

T(1,?2,1)T；

对应于特征值?3?3，考虑齐次线性方程组(3E?A)x?0得对应的特征向量为

124

(?1,0,1)T；

??令：Q????131313?162616???0???.

?30?，则QTAQ????1??3???2?12本题考查特征值与特征向量的计算，实对称矩阵的正交对角化，也考查线性方程组有解的条件.

??a22、解 |?E?A|??11?11?[??(a?2)][??(a?1)]2，所以

??a1?1??a?1?a?2,?2??3?a?1为A的所有特征值；

对应于特征值?1?a?2，解齐次线性方程组(?1E?A)x?0得对应的特征向量为

(?1,1,1)T；

对应于特征值?2??3?a?1，解齐次线性方程组(?2E?A)x?0得对应的线性无关的特征向量为(1,1,0),(1,0,1)；

TT??111??a?2?????. ?1a?1令：P?110，则PAP???????a?1????101??又?1?1?a?3,?2?1??3?1?a为A?E的全部特征值，故：|A?E|?(a?3)a. 本题考查特征值与特征向量的计算，实对称矩阵的相似对角化，也考查特征值与行列

式之间的关系.

23、解 （1）因为A,B相似，所以存在n阶可逆矩阵P，使得：PAP?B，于是B的特征多项式fB(?)?|?E?B|?|?E?PAP|?|P(?E?A)P|?|?E?A|?fA(?)； （2）取A???1?12?1?01??00?2，则fB(?)?fA(?)??，但A,B不相似，因此（1）的,B?????00??00?逆命题不成立；

（3）因为fB(?)?fA(?)，所以A,B有相同的特征值?1,?2,?,?n，又A,B均为实对称矩阵，所以存在可逆矩阵P1,P2，使得：P1AP1?diag(?1,?2,?,?n)?P2BP2，从而：

?1?1 125

(P1P2)?1AP1P2

?1?1?B，故：A,B相似.

本题考查相似矩阵的性质，实对称矩阵的性质.

?24、分析 本题与11题类似，应利用AA?|A|E对问题进行转换.

211解 |A|?121?3a?2，又A?????，而AA??|A|E，因此：(3a?2)???A?，11a?3a?2??(3?b)?即：?(3a?2)b??(2?2b)，解之得：a?2,b?1,??1或b??2,??4，

?3a?2??(1?a?b)?故：a?2,b?1,??1或a?2,b??2,??4.

本题考查特征值与特征向量的定义，矩阵的运算.

??325、解 |?E?A|??2?2?2?2?(??1)2(??7)，所以

??3?2?2??3?1??2?1,?3?7为A的所有特征值，因此|A|?7；

对应于特征值?1??2?1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0得对应的线性无关的特征向量为(?1,1,0),(?1,0,1)；

对应于特征值?3?7，解齐次线性方程组(7E?A)x?0得对应的的特征向量为

TT(1,1,1)T；

??1?11??1??1???，则Q?1AQ??1?,A?Q?1?Q?1，从而：

01令：Q?1?????????11?7?7??0??????1??7??Q?1,A??|A|A?1?Q?7?Q?1

A?1?Q?1??????1/7?1??????9??Q?1

A??2E?|A|A?1?Q?9???3???

126

?9??Q?1P，所以 ?1??1??1?1?9于是B?2E?PAP?2E?P(A?2E)P|A|A?PQ???3????9??，注意到：

(P?1Q)?1(B?2E)(P?1Q)??9???3?????1?11??1?10?????1?11?

P?1Q?E12E23(?1)Q?E12?1?10??????011????011????9,?3??3为B?2E的全部特征值. 我们得：?1???2k1(1,?1,0)T?k2(?1,?1,1)T(k1,k2是不全为零的任意常数）

??9的所有特征向量； 是对应于特征值?1???2k(0，1,1)T(k?0是任意常数）

??3的所有特征向量； 是对应于特征值?3本题考查特征值与特征向量的计算，考查利用特征值与特征向量和矩阵对角化的关系

求特征值与特征向量.

26、分析 这是我们在第5题后面介绍的典型题目类型.题目中告诉了2重特征值?1??2?6的三个特征向量?1,?2,?3，但我们仅需两个线性无关的特征向量就可以了（可取?1,?2），若另一特征值求出，问题得解，而由秩r(A)?2知|A|?0，因此?3?0便是A的另一特征值，问题得解.

解 （1）因为秩r(A)?2，所以|A|?0，因此?3?0便是A的另一特征值，设(x1,x2,x3)T是A的对应于特征值?3?0的特征向量，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交，因此?1(x1,x2,x3)??2(x1,x2,x3)?0，即：

TTTT?x1?x2?0 ?2x?x?x?0?123解该齐次线性方程组得基础解系：??(?1,1,1)，故：

Tk(?1,1,1)T(k?0为任意常数）

127

便是A的对应于特征值?3?0的所有特征向量；

?12?1????1（2）令P?(?1,?2,?)?111，则PAP?diag(2,2,0),

????011??1?1??422??12?1??6??0??6??1/3?1/32/3???24?2?

A?Pdiag(2,2,0)P?1??111?????????0??011????????1/31/31/3????2?24??本题考查利用实对称矩阵的特征值与特征向量的性质求特征向量，利用矩阵的秩与行

列式和特征值的关系求特征值，也考查矩阵的计算.

??127、解 |?E?A|??233?(??2)(?2?8??18?3a)，要使A的特征值有

1?12??4?a??5一个2重根，需要方程??8??18?3a?0有相等的两根或2为其一个根，所以a??23或

a??2；

?3?23??1?，秩

4E?A?03????4 当a??2时，为的2重特征值，由于A123?????12/3?1??r(4E?A)?2，所以对应于特征值?1??2?4的线性无关的特征向量只有1个向量，所以

A不能对角化；

?1?23???当a??2时，?1??2?2为A的2重特征值，由于2E?A?1?23，秩?????12?3??r(2E?A)?1，所以对应于特征值?1??2?2的线性无关的特征向量恰有2个向量，所以

A能对角化.

本题考查矩阵对角化的条件.

28、解 （1）A(?1,?2,?3)?(A?1,A?2,A?3)?(?1??2??3,2?2??3,2?2?3?3)

?100??

?(?1,?2,?3)?122????113?? 128

?100???故所求矩阵B?122； ????113??（2）令P1AP1?B，即A,B相似； 1?(?1,?2,?3)，由（1）得：AP1?P1B，所以P?1??1又|?E?B|??100?2?(??1)2(??4)，所以?1??2?1,?3?4是B也是A??2?1?1的所有特征值；

??3（3）对应于特征值?1??2?1，解齐次线性方程组(E?B)x?0得对应的线性无关的特征向量为(?1,1,0),(?2,0,1)；

对应于特征值?3?4，解齐次线性方程组(4E?B)x?0得对应的特征向量为(0,1,1)；

TTT??1?20??1??1???，则P?1BP??1?，于是：P?1P?1APP??1?，

01令：P2?1222112?????????11?4?4??0??????1??1?. ?1故令：P?P1P2，便有：PAP????4???本题考查矩阵相似的定义和性质，特征值与特征向量的计算，矩阵的对角化，分块矩

阵的运算.

5329、分析 由于?1?1,?2?2,?3??2是A的全部特征值，因此?i?4?i?1(i?1,2,3)为

B?A5?4A3?E的全部特征值，即?2,1,1是B的全部特征值；而由问题(I)会得出

?1?(1,?1,1)T是B的属于特征值?2的特征向量，于是问题与我们在第5题后面介绍的典

型题型一致，仿照解法解之即可.

解 (I)由于A?1??1，所以B?1?(A?4A?E)?1??2?1，因此?1?(1,?1,1)是B的属于特征值?2的特征向量；

53又?1?1,?2?2,?3??2是A的全部特征值，因此?i?4?i?1(i?1,2,3)为

53TB?A5?4A3?E的全部特征值，即?2,1,1是B的全部特征值；

B的属于特征值?2的全部特征向量为

k1?1?(k1,?k1,k1)T(k1?0为任意常数）

129

设(x1,x2,x3)是B的对应于特征值1的特征向量，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交，因此?1(x1,x2,x3)T?0，即：

TTx1?x2?x3?0

解该齐次线性方程组得基础解系：(1,1,0),(?1,0,1)，故：

TTk2(1,1,0)T?k3(?1,0,1)T(k2,k3为不全为零的任意常数）

便是B的对应于特征值1的所有特征向量；

?1?11?1???2?3?????，又P?1?1?11(II) 令P??110，则PBP??3????1???1??101??????3??2??01?1??P?1??101?

B?P?1??????1?????110???13231313?1?3?，故： 2?3?本题考查特征值与特征向量的定义、实对称矩阵特征值与特征向量的定义、性质.

130

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