定积分讲义

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教学要求： 1.了解定积分的概念 2.掌握定积分的性质 重 点：定积分的性质 难 点： 1.定积分的概念 2.定积分的性质 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 5分钟 2 定积分问题举例 15分钟 3 定积分定义 15分钟 4 定积分的性质 30分钟 5 例题及练习 25分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习不定积分的概念 二、定积分问题举例 曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线y?f(x)(f(x)?0)、y?f(x)(f(x)?0)、x?b所围成（如图1）. 图1 提问：怎样求曲边梯形的面积？ 方法：分割 近似 求和 取极限 (1)分割： 用分点a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b把区间[a,b]分成n个小区间?xi，xi?1?，各小区间的长度依次为：?xi?xi?xi?1，(i?1,2,?)，在各分点处做y轴的平行线，就把曲边梯形的面积分成n个小的曲边梯形 (2)近似： 在各小区间?xi，xi?1?上任取一点?i(i?1,2,?)，以f(?i)为高，?xi为底的矩形面积近似代替该区间上的小曲边梯形的面积?Ai，即 ?Ai?f(?i)?xi，(i?1,2,?) (3)求和： 整个大的曲边梯形的面积等于n个小曲边梯形的面积之和，即 A???Ai?i?1n?f(?i)?xi i?1n(4)取极限： 设??max{?x1,?x2,??xn}，A?limb??0?f(?i)?xi i?1n?af(x)dx?f(?)(b?a). (a???b) 三、定积分定义 1.定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a?x0?x1?x2?? ?xn?1?xn?b把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次记为?xi?xi?xi?1，(i?1,2,?)，在各小区间上任取一点?i（?i??xi），作乘积f(?i)?xi，(i?1,2,?)，并作和S??f(?i)?xi， i?1n记??max{如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上?x1,?x2,?,?xn}，点?i怎样的取法，只要当??0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为 lim?f(?i)?xi ?af(x)dx?I???0i?1其中f(x)叫做被积函数?f(x)dx叫做被积表达式?x叫做积分变量? a叫做积分下限? b叫做积分上限? [a,b]叫做积分区间? bn说明： （1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关. ?abf(x)dx ??f(t)dt ??f(u)du aabb（2）定义中区间的分法和 ?i的取法是任意的 （3）当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a,b]上可积. （4）曲边梯形面积A?2.定积分存在定理 定理1 当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，则f(x)在区间[a,b]上可积. 定理2 设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积. 3.定积分的几何意义 ?af(x)dx b（1）在[a,b]上f(x)?0, ?af(x)dx?A 曲边梯形的面积 b （2）在[a,b]上f(x)?0, b?af(x)dx?A 曲边梯形面积的负值 （3）若f(x)在[a,b]上变号， by + — y?f(x) x ?af(x)dx?x轴上方的面积?下方的面积 4. 定积分的性质 规定：当a?b时，当a?b时，?af(x)dx?0； abb?abf(x)dx???f(x)dx. 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小 性质1 [f(x)?g(x)]dx?性质2 ?ab?abf(x)dx??g(x)dxab ?abkf(x)dx?k?f(x)dxab (k为常数). bcb性质3（定积分对于积分区间具有可加性） 假设a?c?b， ?af(x)dx??af(x)dx??c推广：不论a,b,c的相对位置如何, 下式总成立. f(x)dx. ?abf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx. accb性质4 ?ab1?dx??dx?b?a ab性质5（不等式性质）——比较性质 如果在区间[a,b]上f(x)?0，则?af(x)dx?0. (a?b) ?abb推论：如果在区间[a,b]上f(x)?g(x)，则 f(x)dx??g(x)dx. (a?b) ab性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值? 则 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b) 性质7（定积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点?，使 b?af(x)dx?f(?)(b?a). (a???b) 四、例题 1b例1.用定积分的几何意义求?0(1?x)dx. 解: 函数y?1?x在区间[0? 1]上的定积分是以y?1?x为曲边?以区间[0? 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y?1?x为曲边?以区间[0? 1]为底的曲边梯形是一直角三角形? 其底边长及高均为1? 所以 ?0(1?x)dx?2?1?1?2. 例2.用定积分的几何意义求111??sinxdx. ?? 解:因为y?sinx在区间[??,?]上有正有负,所以方的图形面积A减去x轴下方的图形面积A, 所以 ?? ?? 例3. 比较下列各对积分的大小： ??sinxdx等于[??,?]上位于x轴上????sinxdx??sinxdx??sinxdx?A?A?0. 00?（1）???10xdx与?x2dx 012解：当0?x?1时，x?x， 从而（2）1043xdx??x2dx 01lnxdx与?(lnx)2dx 34

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