2014年六年级数学思维训练：进位制与取整符号

2014年六年级数学思维训练：进位制与取整符号

一、兴趣篇

1．将下面的数转化为十进制的数：（1111）2，（1010010）2，（4301）5，（B08）16． 2．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．

3．请将七进制数（403）7化成五进制的数，将五进制数（403）5化成七进制的数． 4．（1）在二进制下进行加法：（101010）2+（1010010）2； （2）在七进制下进行加法：（1203）7+（64251）7； （3）在九进制下进行加法：（178）9+（8803）9． 5．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果

，是由小到大排列的连续正整数，那么

，

，

所表示的整数写成十进制的

表示是多少？

6．记号（25）k表示k进制的数，如果（52）k是（25）k的两倍，请写出（123）k在十进制中所表示的数．

7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？ 8．计算：[27×9．计算：[

]﹣{27×]+[

}+[3.14]×{3.14}． ]+…+[

]+[

]．

10．求方程2[x]﹣9{x}=0的解的个数．

二、开拓篇 11．（1）请将下面的数转化为十进制的数：（2011）3、（7C1）16；

（2）请将十进制数101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制的数．

12．请将三进制数（12021）3化成九进制的数，将八进制数（742）8化成二进制的数． 13．（1）在七进制下计算：（326）7+（402）7、（326）7×（402）7； （2）在十六进制下计算：（35E6）16+（78910）16．

14．算式（4567）m+（768）m=（5446）m是几进制数的加法？（534）n×（25）n=（16214）n是几进制数的乘法？ 15．自然数x=（）10化为二进制后是一个7位数（）2．请问：x等于多少？ 16．一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．这个自然数的十进制表示是多少？ 17．某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13，14，15，20，…．那么这本书的第365页的页码是多少？ 18．如果[x]=3，[y]=0，[z]=1求： （1）[x﹣y]的所有可能值； （2）[x+y﹣z]的所有可能值．

第1页（共27页）

19．计算（结果用л表示）：

（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]； （2）[10﹣2π]+[π]×{π}． 20．计算：[

]+[

]+…+[

]+[

]．

21．解方程：（1）x+2{x}=3[x]； （2）3x+5[x]﹣49=0． 22．解方程[]+[]+[]+[

]=110，其中x是整数．

三、超越篇

23．a、b是自然数，a进制数（47）a和易进制数（74）a相等，a+b的最小值是多少？ 24．现有一个百位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数．且首位数字分别为4和5．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一共有多少个？

25．在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？

26．现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243．任意搭配这些筹码（也可以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总和为多少？将这些和从小到大排列起来，第45个是多少？ 27．计算：[

]+[

]+…+[]+…+[

]．

]+[

]．

28．计算：[]+[]+[

29．一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，…，2048这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和． （1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？ （2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？

（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求n的值． 30．（1）在[（2）在[

]，[]，[

]，[]，[

]，…，[]，…，[

]中共出了多少个互不相同的数？ ]中共出现了多少个互不相同的数？

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2014年六年级数学思维训练：进位制与取整符号

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．将下面的数转化为十进制的数：（1111）2，（1010010）2，（4301）5，（B08）16． 【分析】根据二进制、五进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可． 【解答】解：1111（2）=1+1×2+1×2+1×2=15；

1010010（2）=1×2+1×2+1×2=82；

（4301）5=1×5+0×5+3×5+4×5=576；

（B08）16=8×16+0×16+11×16=2824．

2．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．

【分析】根据把十进制数转化成二进制、七进制、十六进制数的转化方法解答即可． 【解答】解：（1）90÷2=45…0 45÷2=22…1 22÷2=11…0 11÷2=5…1 5÷2=2…1 2÷2=1…0 1÷2=0…1

所以故90（10）=1011010（2）

（2）90÷7=12…6 12÷7=1…5 1÷7=0…1

所以故90（10）=156（7）

（3）90÷16=5…10 5÷16=0…5

所以故90（10）=5A（16）

3．请将七进制数（403）7化成五进制的数，将五进制数（403）5化成七进制的数． 【分析】（1）首先把七进制数（403）7转化成十进制数，然后再化成五进制的数即可； （2）首先把五进制数（403）5转化成十进制数，然后再化成七进制的数即可．

21

【解答】解：（1）（403）7=4×7+0×7+3=196+0+3=199（10）； 199÷5=39…4， 39÷5=7…4， 7÷5=1…2， 1÷5=0…1，

第3页（共27页）

0

1

2

0

1

2

3

4

61

2

3

故199（10）=1244（5）， 所以（403）7=1244（5）；

（2）（403）5=4×5+0×5+3=100+0+3=103（10）； 103÷7=14…5， 14÷7=2…0， 2÷7=0…2，

故103（10）=205（7）， 所以（403）5=205（7）．

4．（1）在二进制下进行加法：（101010）2+（1010010）2； （2）在七进制下进行加法：（1203）7+（64251）7； （3）在九进制下进行加法：（178）9+（8803）9． 【分析】（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”，据此解答即可； （2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可； （3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”，据此解答即可． 【解答】解：（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”， 所以（101010）2+（1010010）2=（1111100）2；

（2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”， 所以（1203）7+（64251）7=（65454）7；

（3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”， 所以（178）9+（8803）9=（10082）9．

5．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果

，是由小到大排列的连续正整数，那么

表示是多少？

【分析】五进制中的五个数分别为0，1，2，3，4由于是连续的正整数，且

和

，

，

2

1

所表示的整数写成十进制的

，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，所以c=4，b=0，a﹣d=1，进

而推算出这5个数的数值各是多少，得出的方法求解．

【解答】解：由于是连续的正整数，且化，可知是发生了进位， 因为又因

﹣﹣

=1，所以c﹣e=1． =1，即：

第4页（共27页）

的数值，再根据其它进制化成十进制

，，个位与十位均发生了变

（5a+b）﹣（5d+c）=1，所以5（a﹣d）+（b﹣c）=1； 由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数， 从而可以推知：a﹣d=1，c﹣b=4．

经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有 =4×5+1×53×5， =4×25+5+3， =100+5+3， =108； 答：那么

6．记号（25）k表示k进制的数，如果（52）k是（25）k的两倍，请写出（123）k在十进制中所表示的数．

【分析】根据“（52）k是（25）k两倍”，即5k+2=2（2k+5），k=8，可知是两个八进制的数，再根据k进制数转化成十进制数的方法，即可得出答案． 【解答】解：因为（52）k是（25）k两倍， 即5k+2=2（2k+5），k=8， （52）8=（42）10， （25）8=（21）10，

2

所以（123）8=1×8+2×8+3=（83）10；（123）k在十进制中所表示的数是：83． ，答：

7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？

【分析】根据位置原则设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，然后都转化为十进制；列出不定方程式分析解答即可．

【解答】解：设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，而且a≠0，c≠0，a、b、c≤2，都转化为十进制，列出不定方程为： 22

4a+4b+c=3c+3b+a， 整理得：b=8c﹣15a，

因为，a≠0，c≠0，a、b、c≤2， 所以，a=1，c=2，b=1；

2

自然数的十进制表示是：4a+4b+c=16×1+4×1+2=22； 答：这个自然数的十进制表示是22．

8．计算：[27×

]﹣{27×

}+[3.14]×{3.14}．

]=25，[3.14]=3；

所表示的整数写成十进制的表示是108．

2

1+

0

=（413）5，

【分析】[x]：表示不大于x的最大整数，又称高斯取整函数；[27×{x}：表示x的小数部分；{27×然后再进一步计算． 【解答】解：[27×

]﹣{27×

}+[3.14]×{3.14}

第5页（共27页）

}=，{3.14}=0.14；

【题方法点拨】

分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的． 1、把同分母的分数凑成整数．

a．先去括号；b．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在一起．

2、分数乘法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，以达到约分的目的，从而简算．

3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的． 4、懂得拆分．

5．高斯取整 【知识点归纳】

①不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT（x）． ②x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}．

③需要注意的是，对于负数，[x]指的并不是x小数点左边的部分，{x}指的不是x小数点右边的部分，例如对于负数﹣3.7，[﹣3.7]=﹣4，而不是﹣3，此时{x}=﹣3.7﹣（﹣4）=0.3，而不是﹣0.7．

性质1：对任意x∈R，均有x﹣1＜[x]≤x＜[x]+1．

【命题方向】 经典题型：

例1：[x]表示取数x的整数部分，比如[6.28]=6，若x=9.42，则[x]+[2x]+[3x]= 55 ． 分析：完成本题只要先算出2x，3x的值是多少，然后再据取整的意义求出[x]+[2x]+[3x]的值即可．

解：因为2x=9.42×2=18.84，3x=28.26则： [x]+[2x]+[3x]

=[9.42]+[18.4]+[28.26] =9+18+28， =55．

故答案为：55．

点评：完成本题要注意取整并不是据四舍五入取近似值，而是直接将小数部分舍去，只取整数部分．

例2：用{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分．如{2，3}=0.3，[2，3]=2．若a+[b]=15.3，{a}+b=7.8，则（ ）

A、a=7.5，b=8.3 B、a=8.3，b=7.5 C、a=8.5，b=7.3 D、a=7.3，b=8.5 分析：由于{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分，又a+[b]=15.3，则[b]为整数，所以a的小数部分为0.3，所以，{a}=0.3；而{a}+b=7.8，所以b=7.8﹣0.3=7.5，[b]=7，所以，a=15.3﹣7=8.3．

解：由a+[b]=15.3可知a的小数部分为0.3， 所以{a}=0.3；而{a}+b=7.8，

第21页（共27页）

则b=7.8﹣0.3=7.5，[b]=7， 所以，a=15.3﹣7=8.3． 即a=8.3，b=7.5． 故选：B．

点评：完成本题的关键是要注意分析题意，弄清不同符号所表示的意义．

6．页码问题 【知识点归纳】

页码问题常见的主要的有三种题型： （1）一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；

（2）已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次；

（3）已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页．

【命题方向】 经典题型：

例1：小张手中拿着一份杂志，不经意间从中掉出一张纸，这才发现装订的订书针脱落了，捡起这张纸发现第8页和第21页在同一张纸上，请你判断一下，这份杂志共有（ ） A、27页 B、28页 C、29页 D、以上答案都不对 分析：由于捡起这张纸发现第8页和第21页在同一张纸上，第8页前面还有7页，根据书的装订方法可知，与之相对应的21后面也应有7页，则这份杂志共有21+7=28页． 解：21+（8﹣1） =21+7， =28（页）．

答：这份杂志共有28页． 故选：B．

点评：了解书的装订方法与规律是完成本题的关键．

常考题型：

例2：一本书中间的某一张被撕掉了，余下的各页码数之和是1133，这本书有（ ）页． A、46 B、48 C、50 D、52

分析：一本书中间的某一张被撕掉了，这两页的页码数字和应为奇数．余下的各页码数之和是1133，所以这本书的页码总和为偶数．设这本书n页，则n（n+1）÷2≥1133，可推出n=48． 解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是 1+2+…+n=（n+1），

由题意可知，（n+1）＞1133，

由估算，当n=48时，（n+1）=×48×49=1176．

所以，这本书有48页． 故选：B．

点评：根据等差数列公式列出关系式进行分析是完成本题的关键．

第22页（共27页）

【解题方法点拨】 （1）一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；

方法一：l～9 是只有9个数字，10～99 是2×90=180个数字，100～999 是3×900=2700 个数字．

方法二：假设这个页数是A页，则有A个个位数，每个页码除了1﹣﹣9，其他都有十位数，则有A﹣﹣9个十位数，同理：有A﹣﹣99个百位数．则：A+（A﹣9）+（A﹣99）=270，3A﹣110+2=270，3A=378，A=126

方法三：公式法，公式：一本书用了N个数字，求有多少页+36．则

+36=126．

7．二进制数与十进制数的互相转化 【知识点归纳】

【命题方向】 常考题型：

例1：二进制与十进制的互化：（21）10= 10101 2 （110110）2= 54 10． 分析：（1）十进制化成二进制：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

（2）二进制化成十进制：用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可得到答案． 解：（1）21÷2=10…1， 10÷2=5…0， 5÷2=2…1， 2÷2=1…0， 1÷2=0…1；

所以（21）10=（10101）2；

（2）（110110）2，

543210=1×2+1×2+0×2+1×2+1×2+0×2， =32+16+0+4+2+0，

=（54）10；

故答案为：10101，54． 点评：本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进制转为十进制方法均为累加数字×权重，十进制转换为其它进制均采用除K求余法．

【解题方法点拨】

1．十进制转化为二进制：对于整数部分，用被除数反复除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数．另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位．

2．二进制转化为十进制：二进制数转换为十进制数

二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方，第2位的权值是2的2次方…

8．二进制的运算

第23页（共27页）

【知识点归纳】

二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似．最常用的是加法运算和乘法运算． 加法：

有四种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10，0 进位为1 如求 1011（2）+11（2）的和

乘法：

有四种情况：0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1． 减法：0﹣0=0，1﹣0=1，1﹣1=0，0﹣1=1． 除法：0÷1=0，1÷1=1．

【命题方向】 常考题型：

例1：计算二进制数的加减法：

（1）110（2）+111（2）； （2）1001（2）﹣111（2）；

（3）1010（2）+1101（2）+1111（2）． 分析：（1）（2）按照二进制加减法的计算法则求解； （3）按照从左到右的顺序计算． 解：（1）110（2）+111（2）=1101（2）；

（2）1001（2）﹣111（2）=10（2）；

（3）1010（2）+1101（2）+1111（2）， =10111（2）+1111（2）， =100110（2）．

点评：本题考查的知识点是二进制的加法，减法，注意：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10解答本题的关键．

【解题方法点拨】

1、二进制加法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要求数位对齐，从低位到遍位依次运算，但“满二进一”．

2、二进制减法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要数位对齐，从低位到高位依次运算，相同数位上的数不够减时，向高一位借，但“借一当二”．

9．其它进制问题 【知识点归纳】

第24页（共27页）

除了二进制还有八进制、十六进制，定义和运算方式和二进制几乎相同，只是十六进制由0﹣9，A﹣F组成，字母不区分大小写．与10进制的对应关系是：0﹣9对应0﹣9；A﹣F对应10﹣15；N进制的数可以用0﹣﹣（N﹣1）的数表示超过9的用字母A﹣F．

【命题方向】 常考题型： 例1：填空

（1）（21）10=（ 210 ）3 （2）（184）10=（ 504 ）6 （3）（153）10=（ 306 ）7 （4）（103）10=（ 403 ）5．

分析：把十进制的数转换为其他进制的数的方法是：把要转换的数，除以其它进制，得到商和余数．然后用得到的商除以其它进制，直到商为0为止．再将所有余数倒序排列即可． 解：（1）21÷3=7…0， 7÷3=2…1， 2÷3=0…2，

把所有余数倒序排列，即：210． 所以：（21）10=（ 210）3． （2）184÷6=30…4， 30÷6=5…0， 5÷6=0…5，

把所有余数倒序排列，即：504． 所以：（184）10=（ 504）6． （3）153÷7=21…6， 21÷7=3…0， 3÷7=0…3，

把所有余数倒序排列，即：306． 所以：（153）10=（ 306）7 （4）103÷5=20…3， 20÷5=4…0， 4÷5=0…4，

把所有余数倒序排列，即：403． 所以：（103）10=（ 403）5．

故答案为：①210；②504；③306；④403．

点评：此题考查了把十进制的数转换为其他进制的数问题，重点掌握转换的方法．

【解题方法点拨】

对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．

10．数字和问题 【知识点归纳】

题型：给出一个多位数的各位的数字之和，然后以一定的方式改变数字的位置，再次得到一个数．告诉新得到的数字和原来的数字之差或者之和，求算原来的数字．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rhuv.html