微分几何（第三版）梅向明黄敬之编

微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

??量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+?e'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方

???????????向平行；当??0时，有e×e'=0，而（e×e')2=e2e'2-(e·e')2＝e'2，（因为e??????具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。

???6．向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是（rr'r''）=0 。

??分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使??????r(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。

???证 若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向

????????量，且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n = 0 ，r''·n = 0 ，即向量r，r'，r''垂直

???于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0 。

???????????反之, 若（rr'r''）=0，则有r×r'=0 或r×r'?0。若r×r'=0，由上题知

???r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'??0，则存在数量函数?(t)、

?(t)，使r''= ?r+?r' ①

??1

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???令n=r×r'，则n???????0，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得

??????????n'=r×r''=?（r×r'）=?n，于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)??⊥n，即r(t)平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。

?解 令cost=1,sint=0, t=0得t=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t?0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 x?1?y?z ，法平面为 y + z = 0 。

011?2．求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。

23x?at0y?bt0z?ct0?2解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}，切线为， ??2a2bt03ct0223)?3ct0(z?ct0)?0。 法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt03. 证明圆柱螺线r={ a cos?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固定角。

?证明 r'= {-asin? ,acos?,b},设切线与z轴夹角为?,则cos?

???r'?kb=???22为常数，故?为定角（其中k为z轴的单位向量）。 |r||e|a?b4. 求悬链线r={t，acoshat}（-??t??）从t=0起计算的弧长。

?1?sinh2tat = cosha， ｓ＝

t解 r'= {1，sinha}，|r' | =

??cosh0ttatdt?asinha 。

９．求曲线x3?3a2y,2xz?a2在平面y?3 与y = 9a之间的弧长。

a?x3a2解 曲线的向量表示为r＝{x,2,}，曲面与两平面y?3 与y = 9a的交

a3a2x2

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??x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a , r'＝{1,2,?2}，｜r'｜＝1??4a2xa4x2a2＝2?，2a2x4x所求弧长为s??3aax2a2(2?2)dx?9a 。 a2x10. 将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

?解 r'= { -asint,acost,b}，s =

代入原方程得 r={acossa?b22?t0?|r'|dt?a2?b2t，所以t?sbsa?b22sa?b22，

, asina?b22, }

11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。 解 由x??(?)cos?，y??(?)sin?知r'={?'(?)cos??-?(?)sin?，

??'(?)sin?+?(?)cos?}，|r'|

s=???0=

?2(?)??'2(?)，从?0到?的曲线的弧长是

?2(?)??'2(?)d? 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。

解 r'={ -asint,acost,b},r''={-acost,- asint,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0?? = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .

2. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，

?3

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?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，

所以切线方程是

xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011yzx密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ，

202?x?y?z?0yxz主法线的方程是? 即?? ；

2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

3．证明圆柱螺线x=acost，y=asint，zxyz 。 ??11?1= bt的主法线和z轴垂直相交。

???证 r'={ -asint,acost,b}, r''={-acost,- asint,0 } ，由r'⊥r''知r''为

????主法线的方向向量，而r''?k?0 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

x?acosty?asintz?bt ??costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } , r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }

??r'?r''?????{sin?sint ,- sin?cost , cos? }

|r'?r''|???新曲线的方程为r={ cos?cost + sin?sint ，cos?sint- sin?cost ，tsin? + cos? }

对于新曲线r'={-cos?sint+ sin?cost ，cos?cost+ sin?sint，sin? }={sin(?-t),

?cos(?-t), sin?} , r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是

x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

?4

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即 sin? sin(t-?) x –sin? cos(t-?) y + z – tsin? – cos? = 0 .

5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：

??设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定长，所以r·r'= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。

? 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，??则r·r'= 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

方法二：

r?r(t)是球面曲线?存在定点r0（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的

?半径）使(r?r0)2?R2?2(r?r0)?r??0 ，即(r?r0)?r??0 （﹡）

而过曲线r?r(t)上任一点的法平面方程为(??r)?r??0 。可知法平面过球面中心?（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

6.证明过原点平行于圆柱螺线r={acost，asint，bt}的副法线的直线轨迹是锥面a2(x2?y2)?bz2.

证 r'={ -asint?,acost, }, r''={-acost?,- asint,0 }

，

?r'×

?r''=?a{?bsint,bcost,?a}为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程

是

yxz?? ，消去参数t得a2(x2?y2)?bz2。 bsint?bcosta

7．求以下曲面的曲率和挠率

?⑴ r?{acosht,asinht,at},

?⑵ r?{a(3t?t3),3at2,a(3t?t3)}(a?0)。

5

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??111123?23＝[?s?(??0??1)?s]?0?[?0?s?(?0??2)?s]?0?[(?0?0??3)?s3]?0

6266??上式中的三个系数的绝对值分别是点r(s0??s)到r(s0)的法平面、从切平面、

密切平面的距离。

§5 一般螺线

5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.

?证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量?是常向量.

?????即=0。曲线的挠率的绝对值等于|??|为零，所以曲线为平面曲线。

????证法二：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，积分得r·n=p ,说明曲线在以

?n为法向量的一个平面上,因而为平面直线。

???????证法三：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，再微分得r''·n=0 ，r'''·n=0 。??????所以r' 、r'' 、r'''三向量共面，于是（r'r''r'''）= 0 ，由挠率的计算公式知?=0，

因此曲线为平面曲线。

7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。

????证 设一曲线为Γ：r＝r(s)，则另一曲线?的表达式为：??r(s)??(s)?(s) ，

?(s)为曲线Γ在点s的主法向量，也应为?在对应点的副法线的方向向量。

?????????＝０，?为常数。??'＝?＋??－???与?正交，即?'·?＝０，于是?'＝?－

?????????????????，?''＝k?－??－??（－k?＋??）也与?正交，即?''·?＝-??2=0,

而??０,所以有?＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线?为平面曲线。

??8. 如果曲线Γ：r＝r(s)为一般螺线, ?、?为Γ的切向量和主法向量，R为

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??Γ的曲率半径。证明?：?=R?－??ds也是一般螺线。

??证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e使?与e成固定角,对于曲线

?????????与?共线,因此也与非零常向量e成固定角, 所?,其切向量?'=R??R?????R以?也为一般螺线。

....?????????9．证明曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)?0

?????....????2?32???????????,r??3?????(?????????)??(2???????)? 证 r???，r??????....??????????5???????????????3(????)??5?)?3?3????＝(r,r,r)??3(2k?()，其中k?0. 2?????曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为 为常数,即()?=0,也就是

??.?...???????(r,r,r)?0 。

....???????,???,?????)?0。曲线r＝r?????方法二： (r,r,r)?0，即(?(s)为一般螺线，则存在常向

?????????????e???e?????e?,???,?????共面，?,???,?????）?0,??0,??0,所以?量e，使?·e=常数，所以?从而（?????????????=0。反之，若（?,?,?）=0，则?平行于固定平面，设固定平面的法矢为e，则有???????e?0，从而?·e= p (常数)，所以r＝r(s)为一般螺线。

?方法三：曲线r＝r(s)为一般螺线?存在常向量e使??e，即??e?0??平行于固定平面（以e为法向量的平面）?r平行于一固定平面?(r,r,r)?0 。

?方法四：\?\设r＝r(s)为一般螺线，存在常向量e使??e=常数，即r?e?常

....????????数，连续三次求微商得r?e?0,r?e?0，r?e?0 ，所以(r,r,r)?0。

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....????????\?\因为(r,r,r)?0，所以r平行于固定平面，设固定平面的法矢为n（常向

量），则r?n，而?r,???n，所以曲线为一般螺线。

10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

?证 设曲线Γ与?在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r＝r(s) ，则?：

??＋?k?应与?平行，所以??r(s)??(s)?(s)，??０，其切向量为?'＝?＋?k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线?为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为

?????非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。

11．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则?也为一般螺线。

???证 设曲线Γ：r=r(s)与?：r?r(s)点建立了一一对应，使它们对应点的切?????ds???线平行，则适当选择参数可使?(s)=?(s), 两端对s求微商得?, 即

ds??????dsdsk?(s)?k?(s) ，这里?0，所以有?=?，即主法线平行，从而?(s)=?(s)，

dsds?ds?ds?即两曲线的副法线也平行。且???。?(s)=?(s)两边对s求微商得, 或?ds?ds??dsds?ds????，所以，? 或?。 ???(s)????(s)，于是 ???,或?dsds?ds????

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