一、k 级子式 余子式 代数余子式

一、k 级子式 余子式 代数余子式

一、k 级子式

余子式

代数余子式

二、拉普拉斯(Laplace)定理 拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则

一、k 级子式 余子式 代数余子式

级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列k 2个元素 ( k ≤ n),位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的按照原来次序组成一个 k 级行列式 M,称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 余子式； 式 M ′ ,称为 k 级子式 M 的余子式；§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是

i1 , i2 ,L , ik ; j1 , j2 ,L , jk ,则在 M 的余子式 M ′ 前( 1)i1 + i2 +L+ ik + j1 + j2 +L+ jk 后称之为 M 的代数 后称之为 加上符号

余子式， 余子式，记为 A = ( 1)

i1 + i2 +L+ ik + j1 + j2 +L+ jk

M′ .

注： ① k 级子式不是唯一的 级子式不是唯一的.k k 级子式). (任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式).

② k = 1 时，D中每个元素都是一个 级子式； 中每个元素都是一个1级子式 中每个元素都是一个 级子式；k = n 时，D本身为一个 级子式. 本身为一个n级子式 本身为一个 级子式.§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

二、拉普拉斯(Laplace)定理 拉普拉斯 定理引理行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的乘积中的每一项都是行列式 的一项，而且符号也一致. 的一项，而且符号也一致.

§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

Laplace 定理设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n 1 )行， 行 元素所组成的一切k级子式与它们的 由这 k 行元素所组成的一切 级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D.即 . 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 行后， 为 M 1 , M 2 ,L , M t ,它们对应的代数余子式分别为 它们对应的代数余子式分别为

A1 , A2 ,L , At , 则 D = M 1 A1 + M 2 A2 + L + M t At. .§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

注：① k = 1 时，D = M 1 A1 + M 2 A2 + L + M t At 按某行展开； 即为行列式 D 按某行展开；a11 L a1k 0 L 0 L L L L L L a L 11 ak 1 L akk 0 L 0 = L L ② D= b11 L b1r a L k1 * L L L br 1 L brr a1k L akk b11 L br 1 L L L b1r L brr

行运用Laplace 定理结果. 定理结果. 为行列式 D 取定前 k 行运用§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

1 0 例1:计算行列式 D = 1 : 0M 1 = 1 2 = 2, 解： 1 0

2 1 4 1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1

M 3 = 1 4 = 1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3它们的代数余子式为§2.8 Laplace定理 Laplace定理

2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = 1 1 3

一、k 级子式 余子式 代数余子式

A1 = ( 1)

1+ 3+1+ 2

0 1 = 0 A = ( 1)1+ 3+ 2+ 4 1 1

= 2 , , 2 1 1 0 1 1 2 = 5 A = ( 1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( 1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 . 6 0 3 0 1

A3 = ( 1) A5 = ( 1)

1+ 3+ 2+ 3

4+1+ 1+ 3

∴ D = ( 2) 1 + 0 ( 2) + ( 1) 5 + 2 0 + 6 0 + ( 1) 0 = 7

§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

三、行列式乘法法则设有两个n 设有两个 级行列式 a11 a12 L a1n b11 b12 a21 a22 L a2 n b21 b22 D1 = , D2 = M M M M M M an1 an 2 L ann bn1 bn 2

L L M L

b1n b2 n M bnn

c11 c12 L c1n c21 c22 L c2 n 则 D1 D2 = M M M M cn1 cn 2 L cnn n 其中 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj = ∑ aik bkj ,i , j = 1,2,L , n§2.8 Laplace定理 Laplace定理k =1

一、k 级子式 余子式 代数余子式

证： 作一个 级的行列式 作一个2n级的行列式a11 L a1n 0 L L L L an1 L ann 0 D= b11 1 O L 1 bn1由拉普拉斯定理

L L L L L L

0 L 0 b1n L bnn

a11 L a1n b11 L b1n D = L L L L L L = aij bij an1 L ann bn1 L bnn§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换

ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.可得

0 L 0 c11 L L L L 0 L 0 cn1 D= b11 1 O L 1 bn1

L L L L L L

c1n L cnn b1n L bnn

这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

∴ D = ( 1)1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n cij ( 1)n = cij从而aij bij = cij ,

cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.

§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

例2:证明齐次性方程组 ：

ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 ax2 + dx3 cx4 cx dx ax + bx dx1 + cx2 bx3 ax4 2 3 4 1

=0 =0 =0 =0

只有零解. 不全为0. 只有零解.其中 a , b, c , d 不全为 .

§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

证：系数行列式a 2 ′= b D = DD c d

a D= b c d b a d c c d a b

b a d c d c b a a b c d

c d a b b a d c

d c b a c d a b d c b a

a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0§2.8 Laplace定理 Laplace定理

一、k 级子式 余子式 代数余子式

= (a + b + c + d )2 2 2

2 4

a , b, c , d不全为 ，有 (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )4 ≠ 0 不全为0, 由故方程组只有零解. 即 D ≠ 0,故方程组只有零解.

§2.8 Laplace定理 Laplace定理

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