高一下学期期中复习 - - - 基础过关题(含答案)
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八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
一.概念及公式 解三角形
a 正弦定理:
111
三角形面积公式: S?absinC? bcsinA ? acsinB222
,已知a,b和A,解三角形 在?ABC中 1()当A为锐角时 若a?b或bsinA ?一解;若bsinA?a?b ?两解;若a?b ?一解 2)A为(直角或钝角
a ? b?一解
余弦定理: a2?b2?c2?2bccosAb2?c2?a2 b2 ?c2?a2?2accosB
c2 ?a2?b2?2abcosC
不等式
1.两个实数a与b之间的大小关系
sinA ?bc??2R(外接圆直径)sinBsinCcosA??(1)a-b>0?a>b;??(2)a-b=0?a=b;??(3)a-b<0?a<b.
2.不等式的性质
2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2 cosC?2ab1. a?b? b?a (反对称性)2. a?b,b?c? a?c (传递性)3.a?b?a?c? b?c (移项法则)4. a?b,c?d? a?c?b?d (同向加不等号方向不变5.a?b,c?0? ac?bc (乘正不等号方向不变) a?b,c?0?ac?bc (乘负不等号方向要变)6. a?b?0,c?d?0? ac?bd (正值同向乘不等号方向7.a?b?0? an?bn (n?N且n?1()正值乘方不等号方向)不变)不变)8.a?b?0? na?nb (n?N且n?1()正值开方不等号方向不变)9.若a?b且ab?0? (同号取倒数不等号方向要变) 重要不等式:
①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)
a2?b2②a+b≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号);ab?
22
2
③a?b≥ab(a、b?R?,当且仅当a=b时取“=”号)a?b22ab?()
2解不等式问题的分类
1
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式. (3)解一元高次不等式;(4)解分式不等式; 不等式的解法:
?b
?(a,??),a?0?
b?
(1)一元一次不等式: ax>b的解集是:x??(??,),a?0
a?
?R,a?0且b?0??,a?0且b?0?
(2) 一元二次不等式:
二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系.
①当Δ=b2-4ac>0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0) (设x1<x2;对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2 ) 对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是:x
②当Δ=b2-4ac=0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且只有一个交点(x0,0);
对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 有两个相等的实数根x1=x2=x0. 对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是:{x|x≠x0}. ax2+bx+c<0(a>0)的解集是:?.
③当Δ=b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有公共点; 对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 没有实数根; 对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是R, ax2+bx+c<0(a>0)的解集是:?.
(3) 分式不等式:(使用(4)中的方法,求各因式的根,画出左侧函数的正负草图,读写结论)
f(x)f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0,?0?f(x)g(x)?0 ,?0?g(x)g(x)g(x)f(x)?0?g(x)?f(x)g(x)?0 ?g(x)?0??f(x)g(x)?0 ??g(x)?022(4)一元高次不等式:穿根法(奇穿偶切)
注意:含参数的不等式ax+bx+c>0恒成立问题?含参不等式ax+bx+c>0的解集是R; 其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a>0且△<0)两种情况。
数列 等差数列(A·P) 定义 通项公式 an+1-an=d(常数,称为公差) 等比数列(G·P) an?1?q(常数,称为公比) an①an=a1qn-1 ②an=amqn-m ① an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d) ② an=am+(n-m)d 2
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
a?anSn?n12前n项和 Sn?na1?d n(n?1)d2d?n?(a1?)n222?na1,q?1?Sn??1?qn a,q?1?11?q?A为a、b的等差中项 中 项 G为a、b的等比中项 ?a?A?ta?bA? ??2b?A?t?三个数成等差.则 定义设法: a, a+d, a+2d 对称设法: a-d, a, a+d ?G2=ab?G?ab或?ab 三个数成等比,则 定义设法: a, aq, aq2 对称设法:a/q, a, aq : 设三个数 ?an?为AP, m?n?p?q?am+an=ap+aq 性 质 ?an?为G·P,且q?1, m?n?p?q? aman=apaq p、q、r成等差?ap,aq,ar成等差 p、q、r成等差? ap,aq,ar成等比 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等差 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比(q??1)
二.基础过关题 第一章:解三角形
注意与其它数学知识相联系
与三角变换结合,与向量结合,已知三角函数值求角,求三角函数值,三角恒等式或三角不等式的证明,三角形中的最值问题等.
1.已知b?36,c?6,?B?120?,则?C?_________
,?A的角平分线AD与边BC相较于点D,求证:2.在?ABC中,若acosA?bcosB,试判断这个三角形的形状 3.在?ABC中,已知a?3,b?2,c?19,则?C?_______,4. 在?ABC中 S?ABC?________,AB?43,AC?23,AD为BC边上的中线,且?BAD?30?,则5. 在?ABC中BDAB? DCACBC=__________
a2?(b?c)2?1,则?A?________6.已知三角形的三边满足条件
bc3
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,已知sinA?2sinBcosC,试分别用正、余弦定理与和角公式两种7. . 在?ABC中方法证明?ABC是等腰三角形
8.已知三角形的两边和为4,其夹角为60?,则满足条件的三角形最小周长为____
,已知c?b(1?2cosA),求证:?A?2?B 9. 在?ABC中,sinA(cosB?cosC)?sinB?sinC,求证这个三角形为直角三角形 10. 在?ABC中11. 在?ABC中,b?4,c?3,BC边上的中线m?37,则a?_____,S?ABC?_____ 2BC值 CD12.在四边形ABCD中,?B??D?90?,?A?60?,AB?4,AD?5,求AC和
,D是BC中点,已知?BAD??C?90?,判断?ABC的形状 13. 在?ABC中14. 已知AD是?ABC的角平分线,且AC=2,AB=3?A?60?,求AD的长
abc??试判断这个三角形的形状 cosAcosBcosCAC16. 在锐角?ABC中,BC?1,B?2A,则的值等于 ,AC的取值范围为____.
cosA,已知15. 在?ABC中
17.在?ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2?c2?2b,且
sinAcosC?3cosAsinC 求,b
18. 在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cosA25, ?25????????AB?AC?3. (I)求?ABC的面积; (II)若b?c?6,求a的值.
19. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A?C)?cosB?求B.
32,b?ac,220. 如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数 y=Asin?x(A>0,
?>0) x?[0,4]的图象,且图象的最高点为
S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛
4
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
运动员的安全,限定?MNP=120 (I)求A ,
o?的值和M,P两点间的距离;
(II)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
第二章:数列
1.等差数列-2,-1,0,?,102中,通项公式是an=______(n∈N+,n≤___), 所有项的和是____ 2.两个数4和9的等差中项是_______, 等比中项是_____ , _____.
3.等比数列{an}中,a1=3, 公比q=2, 则an=_____, 前n项和Sn=______ 4.数列{an}中,a1=1,an+1=2an-1,则a100=____,
这个数列是等差数列吗?___,如果是,公差d=___; 这个数列是等比数列吗?___,如果是,公比q=___
5. 数列{an}中,a1=2,an+1=2Sn,则a2=____;S2=___,a3=____;S3=___, a4=____; an=____ 6.等差数列{an}中,a1,a3,a4成等比数列,则公比为_____;
7.三个不同的数成等差数列,其和为6,如果将此三个数重新排列,它们又可以成等比数列,求这个等差数列。
8.有4个数,其中前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是37,第二个数与第三个数的和是36,求这4个数。 9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn, 且
Sn3n?1a,则8=_____ ?Tn2n?3b810. 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1, an+1=
证明:(1)数列{
n?2Sn(n=1,2,3,?). nSn}是等比数列;(2)Sn+1=4an. n11.在数列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1:
(1)设bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列;
(2)设cn=
an,求证数列{cn}中是等差数列; 2n(3)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式。
12.已知等差数列{an}的首项a1=17,公差d=-0.6,此等差数列从第几项开始出现负数? 13.已知数列{an}的前n项和记为Sn=2n2-30n:
(1)这个数列是等差数列吗?求出它的通项公式; (2)求使得Sn最小的序号n的值.
14.等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知S14>0,S15<0,则在S1,S2,?中最大的是前____项的和. 15.在等比数列{bn}中,b5+b6=b7-b5=48,则S10=______
16.在等比数列{an}中,前4项和S4=40,a1+a4=28,则a6=______. 17.一个项数为偶数的等比数列,首相是1,且所有奇数项之和是85,所有偶数项之和为170,则这个数列共有______项.
18.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q. 19.在数列{an}中,a1=
11,an+1-an=2. 24n?1(1)写出数列的前四项;(2)求这个数列的通项公式
20.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+?+|x-20|,x∈N+且1≤x≤20:
(1)分别计算f(1),f(5),f(20)的值;
5
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
(2)当x为何值时,f(x)取得最小值?最小值是多少?
4x21.已知函数f(x)=x:
4?2(1)a+b=1时,计算f(a)+f(b)的值;(2)设数列{an}满足an=,求此数列前1000项的和 22.在数列{an}中,a1=
16,an+an+1=n?1(n=1,2,3,?),求此数列前n项和Sn的公式. 5523.如果a1,a2,a3,?,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,
(1)试比较a1a8和a4a5的大小; (2)试比较a1+a8和a4+a5的大小.
24.若直角三角形的三边长成公比大于1的等比数列,则它的公比是______ 25.设{an}是等比数列,且a1=a>0,公比q>0,
求证数列{lgan}为等差数列,并求出它的首项与公差.
26.一个凸n边形的内角成等差数列,最小角为40°,公差为20°,求n.
27.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项和与所有偶数项和之比为( )
2n?12nn?1n (B) (C) ( D)2n2n?1nn?1
?1?28.数列?an?中,a3??7,a7?1,又数列??是等差数列,则a8=( )
?an?1?(A)(A)0 (B)
12 (C) (D)-1 2329.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 30.已知整数对的数列如下:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),
(2,4),.... 则第60个整数对是( )
(A)(3,8) (B)(4,7) (C)(4,8) (D)(5,7)
31.从1?1,2?3?4?3,3?4?5?6?7?5,?中得出的一般性结论是_____________
222n,则数列{an}中的最大项是( )
n2?90(A)第9项 (B)第8项和第9项 (C)第10项 (D)第9项和第10项
32.数列{an}的通项式an?33.在等差数列{an}中,a1,a3,a9成等比数列,则
a1?a3?a9? .
a2?a4?a1034.等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn满足
Sn3n?1aa?,则5? ,n?_____ Tn2n?5b5bn6
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
35.在数列{an}中,an+1=
2an1? (n?N),若a7=, 则an= .
22?an36.在数列{an}中,已知an?1?an?n(n?N*),则其通项an= .
37.已知数列?an?的首项a1?2,an?1?3an?2(n?N*),则其通项an= . 38.已知数列?an?的首项a1?2,an?1?2an?n(n?N*),则其通项an= . 39.数列已知数列?an?的首项a1?2,an?1?3an?2n(n?N*),求通项an. 40.已知数列{an}的前n项和Sn?n2?2n?1(n?N),,则其通项an? . 41. 已知数列{an}的前n项和Sn?2n?1(n?N),,则其通项an= . 42.在数列{an}中,已知,Sn?4an?2,求其通项an.
43.在数列{an}中,已知a1 = 1, an= Sn-1 (n?N*, n?2),求此数列的通项公式. . 44.数列??1111,,,?,,?的前n项和为_______
3?21?22?3n?n?112310004x)?f()?f()???f()=______ 45.设f(x)?x,那么和式:f(10011001100110014?246.Sn?111???+=_______ 1?33?5(2n?1)(2n?1)47.已知数列{an}的通项公式为an???2nn为奇数时,则S2n= .(若求Sn呢?) n?2n为偶数时48.在数列{an} 中,已知a1?1,an?1?an?2n ( n?N*),求an ,S2n .
49.数列{an}中,a1 =1,anan+1=2n (n?N*),求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn. 50.求和:
1111?3???nn
2482123n(2)?2?3???n
2222(1)1?2(3)
1111????? 1?32?43?5n?(n?2)51.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12 (I)求数列{an}的通项公式;(II)令bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和.
7
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
52.数列{an}满足a1?1,且8an?1an?16an?1?2an?5?0(n?1),记bn?1an?12(n?1).(1)求:b1,b2,b3,b4的值;(2)求数列{bn}的通项公式bn及数列{anbn}的前n项和Sn.
第三章 不等式
1.证明下列不等式,并说明式中等号成立的条件
(1)a2?b2?5?2?2a?b?; (2)a2?b2?2?a?b?1?;
a2?b2?a?b?(3)ab?bc?cd?da?a?b?c?d (4)? ??2?2?222222.已知xy?0,x?y,试比较loga(3x2?4xy?y2)与loga(2x2?6xy)?a?0,a?1?的大小。
3.(1)在面积为定值S的扇形中,半径是多少时,扇形的周长最小? (2)在周长为定值P的扇形中,半径是多少时,扇形的面积最大?
x2?x?44.求函数y?x?1(x?1)的最小值及相应的x的值。
5.已知0????22?sin2??2?,求函数f????sin2?的最小值以及相应的?的值。
6.求下列函数的定义域:
(1)y?2?x?x2; (2)y?(3)y?ln(x2?5x?4)?ln?x?5?
21?x?lg(x2?x); 1?x7.解下列不等式:
(3x?2)(x?2)(2x?2)(x?2)6x2?17x?12?0? (1) (2) 222x?5x?2(x?4)(x?4)28.解下列不等式:
(1)?x?1??x?a??0 (2)x2?2ax?1?0 (3)22x?2x?1?3?0 (4)2?lgx??lgx?1?0 9.(1)求函数f(x)?2x2?2x?12的最小值以及相应的x的值;
8
八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13
(2)求函数f(x)?x2?3x?22的最小值以及相应的x的值。
10.挂在墙上的一幅画的上边沿A离地面a m,画的下边沿B离地面b m,某人的眼睛C离地面c m (c 3x2?2x?211.求正整数k的值,使对任意实数x,代数式2的值恒大于k。 x?x?112.甲、乙两地相距S km,汽车从家底匀速行驶到乙地,速度不超过c km/h.已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,且比例系数为b;固定部分为a元(a 实根? (2)m是什么实数时,关于x的方程mx2?(1?m)x?m?0有两个不相等的实 根? (3)关于x的方程2x2?7mx?5m2?1?0的两个根中,一个比2大,另一个 比2小求实数m的取值范围。 16.(1)不等式mx2?(1?m)x?1?0对任意实数x都成立,求实数m的取值范围。 (2)不等式(m?1)x2?(1?m)x?m?0对任意实数x都成立,求实数m的取值范围。 17.甲、乙两人完成某项工作,甲单独完成比乙单独完成快15天。如果单独工作10天后,再由乙单独工作15天,所完成的工作量不少于这项工作总量的2/3.问甲单独工作最多需要所少天能完成任务? 18.王宏同学将过年时父母给的压岁钱100元,按一年定期存在妈妈处,并约定以银行的年存款利率的5倍付息。到期后连本带利取出,王宏同学用其中20元帮助本班的特困生买书,剩余的部分又按原规定存在妈妈处。如果第二年到期后本利总额不低于99元,问银行的年存款利率不低于多少? 19.若a?20.3,b?0.32,c?log0.32,则 ( ) A.a?b?c B. a?c?b C. c?a?b D. c?b?a 120.若0?x?1,则x,,x,x2从小到大的排序是_______________. x9 八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13 a?b2aba2?b221.已知a,b?R?,则下列各数a,b,ab,从小到大的顺序是 . ,,2a?b222.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x?)(y?21x1)的最小值为 . y23.不等式ax+ bx + c>0 的解集为(- 1,2),对于系数a、b、c,有如下结论: 2①a>0 ②b>0 ③ c>0 ④a + b + c>0 ⑤a – b + c>0,其中正确的结论的序号是_____________. 24.已知a,b∈R,且满足a+3b=1,则ab的最大值为___________. 25.已知两个正变量x,y满足x+y=4,使不等式是 . 26.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1)≥0的解集为 . 27.方程x2+(k-2)x+5-k=0的两根都大于2,求实数k的取值范围. 28.在三角形ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c.证明:ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2(ab+bc+ca). 29.解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0 14??m恒成立的实数m的取值范围xya(x?1)?1(a?R). x?2x2?8x?20?0对一切x恒成立,求实数m的范围. 31.若不等式 mx2?mx?130.解关于x的不等式: 32.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围. 34.已知正项数列{an}满足a1=P(0 aa1a2a3???????n?1. 234n?110
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