初中数学论文：“阴影面积”型中考试题解法例析

“阴影面积”型中考试题解法例析

近几年来，全国各地的中考卷中频频出现“阴影面积问题”的试题，逐渐成为中考命题的一个热点问题，这类试题题型较多，解题方法也颇为讲究，现选取部分中考试题，谈谈“阴影面积问题”的求解方法，供参考探讨。 一、拼凑法

拼凑法是指各个阴影部分面积无法求或很难求时，可把分散的图形集中拼成大块图形来求，它其实是整体思想的一个渗透.

例1、(钦州) 某花园内有一块五边形的空地如图1所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 ( ) （A）6?m2 （B）5?m2 （C）4?m2 （D）3?m2

图1

图2

析解：观察图形，通过拼凑可知，阴影部分面积为5个扇形的面积和，而5个扇形的圆心角度数之和为五边形的内角和540°，可求阴影部分面积为6π，故选A.

练习:（巴中）如图2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 。 参考答案：2π

二、转化法

此法就是将原图形中局部或整体进行适当的变换，实现将不规则图形的面积转化为一个或几个规则图形的面积的代数和的一种有效方法，也是不规则图形的面积计算中涉及最为广泛、灵活的一种方法，在转化过程中常常会用到图形的平移、旋转、对称变换、割补、等积代换等方法。

10平移法：例2、(泸州)在反比例函数y?(x?0)的图象上，有一系列点

xA1，A2，A3，，...An，An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2,现分别过点A1，A2，A3，，...An，An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图2（1）所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，，...Sn，则S1=_______，S1+S2+S3+...+Sn?______.(用n的代数式表示)

析解：此题可以通过平移转化为一个规则图形，第一问中，只要直接计算矩形的面积即可，由题意可得，矩形的宽为2，长为A1的纵坐标减A2的纵坐标，易求长为5-2.5=2.5，所以S1=2×2.5=5.第二问中，只要把S2 、S2…Sn平移到如图2（2）的位置，这样阴影部分面积就转化成矩形A1Q1QnA的面积，很显然这个

矩形的宽为2，只要求出长就可以了，我们可以先求得A1的纵坐标为5，再求出

55nAn+1的纵坐标为，相减即得矩形A1Q1QnA的长为；所以

n?1n?15n10n =×2=. S1+S+S+.+..?SS23n矩形n?1n?1

图2（1） 图2（2）

k

旋转法：例3、(深圳)如图3，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与

x⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）

35

A．y＝ B．y＝ xxC．y＝

10

x D．y＝

12

x

析解：此题可以通过旋转转化为规则图形求解，将小的阴影部分绕着点O旋转

1180°可得到圆的面积，由题意得：

41πr2?10π，解得r2=40因为P(3a,a)，所以(3a)2?a2?r2，即：10a2?40，4因为a?0所以a?2，所以P(6,2)，所以k=12，故选D.

对称变换法：例4、(临沂)正方形ABCD的边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于_________. 析解：此题可以通过对称变换转化为规则图形求解，观察图形，利用对称性，把阴影部的面积转化为S△ABD的面积，故答案1为a2 2

割补法：例5、(河北省)把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图5(1)摆

放时，阴影部分的面积为S1；若按图5(2)摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．

C A B 图5(1)

A 图5(2)

图5(3)

C C B A B A 图5(4) C B

析解：此题可以通过割补转化为规则图形求解，由题意可设图5(1)中的大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,通过割补可得如图5(3)的阴影部分，此图形为边长(a?b)的正方形，同理可得图5(2)的阴影部分也是边长为(a?b)的正方形（如图5(4)），所以可得S1 = S2 。

等积代换法：例6、（南宁）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图6（1）所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为 ( )

（Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）16

析解：此题可以通过等积代换转化为一个规则图形，如图6（2），连结BD、EG、KF，可证FK‖EG‖BD,由平行线的性质可知，S△DGB?S△EDB,进而可求S△DGM

?S△EBM, 同理可证S△GFN?S△EKN,由此就将阴影部分面积根据等积代换转化为如图6（3）的正方形GBEF的面积，求得S=16.故选D.

三、叠合法

叠合法是指当一种图形被其他图形完全覆盖、且要求的阴影部分又正好是覆盖与被覆盖图形的重叠部分时，所采用的一种简捷有效的计算方法，这种方法往往需要观察图形的结构特征，理顺图形间的大小关系，分清覆盖和被覆盖图形的面积关系，通常方法：S重叠部分=S覆盖图形-S被覆盖图形.

例7、（衡阳）如图7，在Rt△ABC中，∠C?90°，AC?4，BC?2，分别以AC.BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留?）

析解：观察图形，可得：S阴影?S大半圆?S小半圆?S△ABC， 所以S阴影

练习、（自贡）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转A 30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图7 图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。 C

1115?π?22?π?12??4?2?π?4 2222B

A．2－C．2－

3 33 4

B．

23 3D．2

参考答案：A

四、估算法

估算法就是将复杂的问题假设为处于某一个或某两个极端状态，并站在极端的角度分析问题，确定未知量范围，从而使复杂的问题简单化.

例8、（杭州）如图8（1），记抛物线y??x2?1的图像与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份．设分点分别为P1，P2，…，Pn?1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，?，再记直角三角形OPQ? Q2，Qn?1，PP11，12Q2，

n2?1n2?4的面积分别为S1，S2，?，这样就有S1?，S2?，?；记332n2n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ） W?S…?nS1?S2??12111A． B． C． D．

3234

y B C 1 Q1 Q2 Q3

ⅡⅠ Ⅲ

Qn-1

1 x

O P1 P2 P3 Pn-1 A O 1

A 图8（1） 图8（2）

图8（3）

析解：此题如果用规律法解，部分学生会陷入进退两难的境地，用估算法则显得比较快捷。如图8（2），我们把抛物线y??x2?1的图像与坐标轴在第一

1象限围成的图形(下称不规则图形)分割成若干个宽为的矩形，那么每个直角三

n角形的面积就是每个矩形面积的一半，W?S1?S2?…?Sn?1就等于所有矩形面积

和的一半，而当n的值越来越大时，图形被分割的越细，即矩形（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）……很窄时，图8（3）中阴影部分面积就很小，以至于可以忽略不计，由此我们可以认为矩形（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）……的面积和就是不规则图形的面积，这样

而这个不规则图形的面积W?S1?S2?…?Sn?1就是整个不规则图形面积的一半，

1比三角形OAB的面积要大，而比正方形OACB的面积要小（如图8（3）），即＜

211S不规则图形＜1 ；则＜W＜；故选 C

241y 练习：（泰安）如图所示是二次函数y??x2?2的图象在x2Ｏ

x 轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（ ）

16A．4 B． C．2π D．8

3参考答案：B

五、规律法

规律法是指观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事件奥秘的方法.

例9、（十堰市）如图，n?1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形PM11N1N2面积为S1，四边形P2N2N2N3的面积为S2，?，四边形PmMmNmNm?1的面积为Sm，通过逐步计算S1，S2，?，可得Sm= .

析解：此题要求Sm，直接求比较难，可以先求S1，S2，找

出其中规律进行解

答，由图中不难发现，梯形面积不变，分离出如图9（1）的图形。可知图中的阴影部分面积是梯形面积减去三角形面积，在三角形底边已知为1的情况下，只需再求出高就可计算面积，而高可以根据相似三角形的对应高成比例来求，BP111?,则对应高的比也为，所以△BP1N1中

2AN121BP1边上的高为梯形的高的，由题意易求梯形的

3311333，高为，S梯形=所以S△BM1P1=?1??，4232231133-?1??所以S1=,同理可得4232331131133-?1??3-?1??S2=, S3=, ……4425227231133133-?1??3?·Sm=,即Sm=. 422n?1242n?14

练习、（仙桃市）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，C1B1?AB于点B1，设弧BC1，C1B1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，C2B2?AB于点B2，设弧B1C2，C2B2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3= .

45π?4211???42； 参考答案：S1?36022245π?（22）112； S2????（22）36022π45π?2211S3????22=?1；

236022拓展：若求Sn呢？分析：由上述结论可知：

4245π?（n?1）114114222 =(π?） ?（n?1）Sn????（n?1）843602222

阴影面积问题的求解，除了以上方法外，还有和差法、平移法、代数法等，有时是几种方法的综合运用，在这儿不一一例举，求解中要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，学会估算图形；切勿盲目计算。要注重思想方法的运用， 巧算面积，从而提高解题的灵活性。

245π?（22）112； S2????（22）36022π45π?2211S3????22=?1；

236022拓展：若求Sn呢？分析：由上述结论可知：

4245π?（n?1）114114222 =(π?） ?（n?1）Sn????（n?1）843602222

阴影面积问题的求解，除了以上方法外，还有和差法、平移法、代数法等，有时是几种方法的综合运用，在这儿不一一例举，求解中要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，学会估算图形；切勿盲目计算。要注重思想方法的运用， 巧算面积，从而提高解题的灵活性。

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