函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨.pdf

第３０卷

２０１０正第６期１１月高师理科学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．３０Ｎｏ．６ＮＯＶ．２０１０

文章编号：１００７—９８３１（２０１０）０６—００３５—０４

函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨

张金

（宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁２２３８００）

摘要：将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨

与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

关键词：函数；数列；上极限；下极限

中图分类号：０１７１文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１０．０６．０１３

１引言及预备知识

数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

引理１【Ｊ脚有界数列矗。｝至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点．

定义１ｕ粥３有界数列｛％｝的最大聚点万与最小聚点堡分别称为数列扛。）的上极限与下极限，分别记作为万＝ｌｉｍｘ。，一ａ＝一ｌｉｍＸ。．＾—＋∞ｎ－－＇－￡ｏ

引理２ｕ脚任何有界数列缸。｝必存在上极限石＝ｌｉｍｘ。和下极限ａ一＝一ｌｉｍｘ。．ｎ—十∞ｎ－－．¨ｏ

可以利用ｓ一万语言来描述数列的上、下极限．

引理３ｔ啦设扛。｝有界数列，则ｌｉｍｘ。＝石的充要条件是下列２个条件同时成立：

（１）对于任给占＞０，存在Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘ。＜－ｄ＋占；

（２）对于任给占＞０，Ｎ＞０，存在，ｌ＞Ｎ，使得工。＞万一ｓ．

引理４ｌ骥设扛。｝有界数列，则ｒｌｍｘ。＝ａ的充要条件是下列２个条件同时成立：

（１）对于任给占＞０，存在Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有Ｘ。＞堡一占；

（２）对于任给￡＞０，Ｎ＞０，存在ｎ＞Ｎ，使得Ｘ。＜ａ．＋ｓ．

对于无界数列的上、下极限也可类似的去加以定义或描述，这一点本文不再赘述．

２函数的上、下极限的定义与性质

为建立函数的上、下极限的定义，先引入２个定义．

定义２【邺点‰称为集合Ｅ的聚点，当且仅当存在数列Ｘ。｝，工。∈Ｅ且％≠Ｘ０（ｎ＝１，２，…），使得］Ｊｉｎｘ＾＝Ｘｏ．＾－－４，ａｏ

可见，点％即为数列ｋ｝的聚点，定义２也可视为数列的聚点定义的推广所得．

定义３口”设点‰为集合Ｅ的一个聚点，函数ｆ（ｘ）在集合Ｅ上有定义．数Ａ称为ｆ（ｘ）在Ｘ。处的子极限，当且仅当存在数列Ｘ。｝，矗∈Ｅ且％≠ＸＯ（ｎ＝１，２，…），使得ｌｉｍＸ。＝Ｘ０，且有墼ｆ（ｘ。）＝Ａ．

收稿日期：２０１０－－０５—２０作者简介：张金（１９７８一）。男，江苏宿迁入，讲师，硕士，从事微积分研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｄａｊｕｎ＿００８＠１６３．ｃｏｌｎ

高师理科学刊第３０卷

至此，由定义ｌ～３可将数列的上、下极限的定义推广给出函数的上、下极限的定义．

定义４设函数ｆ（ｘ）在集合￡上有定义，点而为集合Ｅ的一个聚点，若数Ａ为ｆ（ｘ）在‰处所有子极限的最大者时，则称万为，（ｘ）在ｘ。处的上极限，记作一Ａ＝一ｌｉｍｆ（ｘ）；类似地，若数丛为，（ｘ）在‰处所有

Ｘ—Ｙ，Ｘ０

子极限的最小者时，则称丛为，（工）在而处的下极限，记作丛＝迪厂（工）．即Ａ＝ｆｉ…ｍ，ｆ（ｘ）＝Ｊ＿粕‘７’ｍａＸ协ＩＡ为厂（ｚ）在ｊｃ０处的子极限｝；一Ａ＝堕堕，（工）＝ｍｉｎ｛ＡＩＡ为厂（ｘ）在ｘｏ处的子极限｝．Ｊ—’工０

相应地，可将引理２～４推广得到关于函数的上、下极限一些性质．

定理１（存在性）若函数厂（功在‰附近有界，则ｆ（ｘ）在粕处一定存在上极限与下极限．

证明由引理１、定义３～４可知定理１成立．”证毕．

定理２（上极限的占一万定义）设函数ｆ（ｘ）在集合Ｅ上有定义，点‰为集合Ｅ的一个聚点，若函数，（工）在‰附近有界，则一ｈｍｆ（ｘ）＝石的充要条件是下列２个条件同时成立：Ｊ—＋知

（１）对于任给占＞０，存在万＞０，当工∈Ｅ，０＜Ｉ工一ＸｏＩ＜占时，有，（功＜Ａ＋占；

（２）对于任给占＞０，万＞０，存在工∈Ｅ，０＜Ｉｊｒ—ＸＯＩ＜万，使得，（曲＞Ａ—ｓ．

证明必要性．采用反证法证明条件（１）成立。假设存在‰＞０，对于任给万。＝Ｉ／ｎ，存在工。∈Ｅ（ｎ＝１，２，…），虽然ｏ＜ｋ—ＸＯＩ＜万，但ｆ（ｘ。）≥石＋‰．利用有界性及致密性原型”，｛ｆ（ｘ。）｝有收敛子列扩（工‰）ｊ满足：陋，（％。）＝厶，如≥Ａ＋Ｅｏ（厶为一常数），这与Ａ为最大子极限矛盾．于是条件（１）成立．

由于一ｌｉｍｆ（ｘ）＝ａ－，所以存在数列Ｘ。｝，工。∈Ｅ且Ｘ．ｎ≠ｘｏ（，ｚ＝１，２，…），使得ｌｉｍｘｎ＝Ｘｏ，

Ｊ－’知“’’”

ｌｉｍｆ（ｘ。）＝Ａ，故对于任给占＞ｏ，万＞０，存在Ⅳ＞ｏ，当，ｌ＞Ｎ时，有０＜Ｉｘ。一％ｌ＜艿，ｌ，（％）一Ａ１＜￡．从而对于任给占＞０，万＞０，存在ｚ∈Ｅ，０＜ｌＸ—ＸＯＩ＜万，使得ｆ（ｘ）＞Ａ一占．此即条件（２）成立．

充分性．由条件及定理１可知，ｌｉｍｆ（ｘ）存在，下证ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．由条件（１）可知，对于任给ｓ＞０，

Ｘ－－＋Ｘ０ｘ－’ｘｏ

存在万＞ｏ，当工∈Ｅ，０＜卜一‰Ｉ＜占时，有ｆ（ｘ）＜Ａ＋ｓ．设Ａ为ｆ（ｘ）在‰处的任一子极限，由定义３可知，存在数列扛。｝，工。∈Ｅ且ｚ。≠％（，ｌ＝１，２，…），使得Ｈｍ矗＝ｊｒ０，Ｙｍａｆ（ｘ，，）＝Ａ．于是，当ｎ充分大时，可得０＜Ｊ％一Ｘｏｆ＜万，且成立，（工。）＜Ａ＋ｓ，从而当ｎｊｃＯ时，Ａ≤Ａ＋ｚ．由ｓ任意小性可知，Ａ≤Ａ．

又由条件（２）可知，对于任给占＞ｏ，瓯＝ｌｌｎ，存在以∈Ｅ，０＜ｋ—ｘｏＩ＜占（，ｌ＝ｌ，２，…），使得ｆ（ｘ。）＞Ａ一占．利用有界性及致密性原理，｛，（％）｝有收敛子列沙（工＾）ｊ满足：塾巴，（毛。）＝如，Ａｏ≥Ａ—ｓ（氐为一常数，此时也是ｆ（ｘ）在‰处的一子极限），故由确界原理可知，Ａ为，（ｘ）在‰处的所有子极限构成的集合的上确界．又由必要性证明过程可知，Ａ也为ｆ（ｘ）在％处的一子极限，于是由定义４可知，＿ｉ可（工）＝万．证毕．ｘ．－．ｘｏ

定理３（下极限的占一万定义）设函数ｆ（ｘ）在集合Ｅ上有定义，点‰为集合Ｅ的一个聚点，若函数，（工）在‰附近有界，则ｌｉｍ厂（工）＝ａ的充要条件是下列２个条件同时成立：

ｊ寸‰

（１）对于任给占＞０，存在万＞０，当ｘ∈Ｅ，０＜ＩＸ—Ｘｏｌ＜万时，有，（工）＜Ａ一￡；

（２）对于任给占＞０，艿＞０，存在Ｘ∈Ｅ，０＜Ｉ工一粕Ｉ＜万，使得，（曲＞ａ＋占．

定理３的证明与定理１类似，这里省略其证明．由定义４及定理２—３可得到下面的推论．

推论（１）对厂（工）在‰处的任一子极限Ａ，恒有一Ａ＝一ｌｉｍ，（ｚ）≤Ａ≤ｌｉｍｆ（ｘ）＝万；Ｘ－÷Ｘ０ＭＯ

（２）若ｌｉｍｆ（ｘ）＝万，ｌｉｍ，（ｚ）＝ａ，则对于任给占＞０，存在万＞ｏ，当石∈Ｅ，０＜ＩＸ－－ＸＯＩ＜万时，有‘－，而ｚ＿‰Ａ一占＜／（ｘ）＜Ａ＋占；

第６期张金：函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨

ｘ＿ｘｑ（３）ｌｉｍ，（工）＝Ａ的充要条件是一ｌｉｍ－厂（工）＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．，＿‰ｘ－．－’ｘｏ

３主要结果及应用

函数的上、下极限与数列的上、下极限有完全平行的理论，二者有着密切的内在联系．关于函数的上、下极限的问题，一般可以仿照数列的上、下极限的方法加以处理．归结原则（也称海涅（Ｈｅｉｎｅ）定理）给出了函数极限与相应数列极限之间的关系，其意义在于把函数极限问题归结为数列极限问题来处理．受此启发，下面给出本文的主要结论．

定理４设函数ｙ（ｘ）在集合Ｅ上有定义，点而为集合Ｅ的—个聚点，若函数，（工）在‰附近有界，则（１）Ａ＝ｌｉ巴，（ｚ）＝ｍａｘｌ㈣ｌｉｍ，（Ｘｎ）｜Ｘｎ∈Ｅ，ｚ。≠Ｘ０∽＝１，２，…），且ｌｉｍＸｎ＝‰｝；＾。＿，＾０●ｔｌ－．．．ｐｃｔｏ

（２）丛＝坠堕．厂（曲＝ｍｉｌｌ｛ｒｔｍｙ（ｘ。）Ｉｘ。∈Ｅ，工。≠Ｘ０（，ｌ＝ｌ，２，…），且Ｙｍａ工。＝‰｝．“’。ｈ＿∞ｊ．＋而ＪｒＩ１

证明只证（１）成立，类似可证（２）．记Ｍ＝｛Ａ｜Ａ为｜，（工）在‰处的子极限｝，Ｑ＝１ｌｉｍ，（工。）Ｉ矗∈Ｅ，ｚ。≠Ｘｏ（，ｌ＝１，２，…），且ｌｉｒａ工。＝而｝．对于任意Ａ∈Ｍ，由定义３可知，存在数列ｋ），Ｘ。∈Ｅ且Ｘｎ≠Ｘ０（，ｌ＝１，２，…），使得ｌｉｍ矗＝ｘｏ，ｌｉｍｆ（ｘ。）＝Ａ．３ＬＡ＝ｌｉｍｆ（ｘ。）＝ｆｉｍｆ（ｘ。），从而Ａ∈ａ，故Ｍ∈Ｑ．另一方面，任取Ｑ中一元素，记为Ａ’ｌｉｍｆ（ｘ。），由定义１可知，Ａ’Ｙｌｍｆ（ｘ。）为有界数列Ｊ呻凡Ｊ—’５０

驴（％））的最大聚点，于是存在收敛子列｛厂（ｚ＾）），使得ｌｉｍ，（石＾）＝Ａ’，由定义３可知，Ａ’＝一Ｙｌｍｆ（ｘ。）为ＩＩ－－ｐｗ＾—＿，＾０

，（工）在勤处的一个子极限，从而Ａ７ｌｉｍｆ（ｘ。）∈Ｍ，故Ｑ∈Ｍ．所以Ｍ＝Ｑ．进一步有Ａ＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝

ｒ—

ｍａｘ删Ａ，够（工）在‰处的子极限）＝ｍａｘ｛ｌｉｍ，（矗）ｋ∈Ｅ，矗≠ｘｏ（ｎ＝１，２，…），且Ｆｕｎ矗＝‰｝．ｚ—＋ｘｏｌ—，ｘｎ

１

证毕．

定理４描述了函数的上、下极限与相应数列的上、下极限之间的关系，其意义在于把关于函数上、下极限的问题，转化为相应数列上、下极限的问题，通过数列上、下极限的相应结果去求解．

例１设函数，（曲，ｇ（ｘ）在集合Ｅ上有定义，点‰为Ｅ的一个聚点，函数ｆ（ｘ），ｇ（工）在‰附近均有界，贝９堕堡ｆ（ｘ）＋ｌｉｒａｇ（．力≤ｌｉｒａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（曲）≤ｈｍｆ（ｘ）＋ｌｉｍｇ（曲．ｘ呻知。＿＇而Ｊ＿＋工口ｚ斗而‘Ｈ而

证明对所有数列扛。）’ｘ。∈Ｅ（矗≠‰）（ｎ＝１，２，…）且１ｉｍ矗＝ｊｃｏ，由数列上、下极限的定义及有关性眵可知，匦，（矗）＋面ｇ（矗）≤面（，（％）＋ｇ（＿））≤面．厂（矗）＋匦ｇ（毛）．注意到ｍｉＩｌ｛ｌｉｒａｆ（ｘ。）｝≤“—棚’ｏ—悃＾—＇∞“—＇田ｎ叶∞Ｌ＾＿∞Ｊ

ｒ’１

ｍａｘ｛Ｙｍａｆ（ｘ。）｝，由定理４可知，ｌｉｍＬＪｎ４．－ｏａ一一一ｇ（ｘ）成立．ｆ（ｘ）＋ｌｉｒｎｇ（力≤Ｙｈ＇ｎ（ｆ（ｘ）＋ｇ（工））≤ｌｉｒａ，（力＋Ｆｕｎ。叶而４－’而３．＇而１－＇而一ｘ．－’ｘ．ｏ

例２设函数，（曲在集合Ｅ上有定义，点‰为Ｅ的—个聚点，函数，（工）在‰附近有界，且，（ｚ）＞０，——

ｘ－－＋ｘｏ，，则有ｌｉｒａ（ｆ（ｘ））～＝Ｉ堑，（工）Ｊ．＼ｊ斗而／

证明对所有数列扛。）’工。∈Ｅ（ｚ。≠Ｘｏ

／、一１Ｘ，ｚ＝ｌ，２，…）且ｌｉｍ％＝‰，由于，（工）＞ｏ，所以，（工。）＞０例，．一、一

进一步可证得Ｈｍ（，（ｚ。））～＝Ｉ墅里厂（工。）ｌ，即ｌｉｍ（ｆ（ｘ。））－１堕里，（工。）＝１．由数列上、下极限有关性质及定“叶∞＼、＾—＋∞／“—，∞１１．－÷ａａ

理４可知，１≤ｌｉＩＩｌＵ∽）－－１些厂∞≤１，即１ｉｍ（，（工））。１

参考文献：ｌｉｒｎｆ（ｘ）＝１．

【１】华东师范大学数学系．数学分析（上册）【Ｍ】．２版．北京：高等教育出版社，１９９１：２３２－２３４．

【２】裴礼文．数学分析中的典型问题与方法【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９３：５２．－６７．【３】许万银，齐小忠．数列上、下极限问题的若干讨论叨．陇东学院学报：自然科学版，２００３，１３（１）：ｌ“１９．

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Ｏｎｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｕｐｐｅｒｌｉｍｉｔａｎｄｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｓｅｒｉｅｓ

ＺＨＡＮＧＪｉｎ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＳｕｑｉａｎＨｉｇｈｅｒＮｏｒｍａｌＳｃｈｏｏｌ，Ｓｕｑｉａｎ２２３８００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｄｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎａｎｄ

ｎａｔｕｒｅｓｎａｔｕｒｅｓｏｆｕｐｐｅｒａｎｄｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔｓｏｆｔｈｅｓｅｒｉｅｓ，ｇａｖｅｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎａｎｄｏｆｕｐｐｅｒａｎｄｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔｓｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｉｓｃｕｓｓｅｄａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍ，ａｎｄｔｈｕｓｒｅｓｏｌｖｅｓｏｍｅｏｆｉｓｓｕｅｓｒｅｌａｔｅｄｔｈｅｕｐｐｅｒａｎｄｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｅｒｉｅｓ；ｕｐｐｅｒｌｉｍｉｔ；ｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔ

独立学院高等数学教学中渗透人文精神素养

黄祖达，樊启毅，张月莲

１在高等数学教学中渗透哲学知识

在高等数学课堂教学渗透哲学知识中，最主要的是要渗透辩证法．如极限体现了有限与无限、近似与精确的辩证关系；定积分蕴涵了对立统一思想：直与曲的统一、近似与精确的统一、有限与无限的统一、显变与质变的统一、肯定与否定的统

一、离散与连续的统一、特殊与一般的统一等；概率论表现了事物的必然性和偶然性的内在关系等．高等数学中许多计算方法之灵巧、证明方法之神奇，往往是利用了变换与转化手段，它是辩证思维在数学中的具体表现．此外，在高等数学教学中，应适时地阐述演绎与归纳、分析和综合、宏观与微观、逻辑思维与直觉思维等辩证范畴，以启发学生的哲学素养．

２在高等数学教学中渗透文学知识

就数学与文学而言，确有相通或相似的地方．例如：罗索悖论与语义学悖论、数学语言与文学语言、数学修养与文学修养、逻辑思维与形象思维、数学中的比兴与文学中的比兴、数学抽象与文学抽象等方面都值得探讨、研究．教师在课堂教学中，要随教学相关内容与文学情景有机结合．如讲极限概念时，可引诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”来形象地说明；在讲直线与圆的位置关系时，可引佳句“大漠孤烟直，黄河落日圆”以增添诗情画意的享受；在讲到一个定理、公式经历了很多人的努力才解决时，可用诗句“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”予以佐证等．索绪尔说过，语言学好比是一个几何系统，它可以归结为一些特定的定理．的确，语言学上的一些文法、语法的约定类似于数学上的公理、公设，它不需要证明，只要建立一套推导规则就可以了．如今已有的数理语言学、计算语言学、代数语言学、计算风格学等学科，是数学应用于语言的例子．冯志伟在专著《数学与语言》中从语言符号的随机性、冗余性、离散性、递归性、层次性、非单元性、模糊性等７个方面论证了数学与语言学的关系，用以说明数学已经深入到了语言研究的各个领域．

３在高等数学教学中渗透美学知识

庞加莱指出：数学美的内涵可概括为协调性、统一性、简单性、对称性和奇异性．其核心内容是：数学模式结构的和谐性、简洁性与数学工具能有好而宽广的应用场合（便于操作）．对从事数学教育的教师而言，数学美学的学识修养，将有助于激发学生学习的兴趣，培养学生的审美情趣，甚至帮助发展学生天生就有的“先定和谐”的心智本能１４１．如公式ｅｘｐ（ｉｎ）＋ｌ＝０，把数学中５个重要的常数ｅ，ｉ，７【，１，０统一在一个式子中，使人感到惊奇．在统一美的驱使下，麦克斯韦建立起了令人赏心悦目的麦克斯韦方程组，把电和磁统一了起来，具有完全优美的对称形式．此外，反射对称、旋转对称、平移对称、滑动反射对称、对称群等数学概念，都是对称思想在数学中的具体体现．

４在高等数学教学中渗透数学史知识

在高等数学教学中，通过适当的追溯数学史，可使学生领略数学知识的来龙去脉，了解数学家的艰辛历程及顽强拼搏、百折不挠的崇高精神，也有助于培养学生高度的爱国主义精神和强烈的现实使命感．如讲极限时，介绍我国古代刘徽、祖冲之等数学家的杰出贡献，使学生涌起强烈的民族自豪感．还可在授课的适当时机，介绍我国近现代数学家华罗庚、吴文俊、陈省身、邱成桐、杨乐、张广厚等名人的事迹，激发学生的学习兴趣、热情，以激起他们建设祖国、为国争光的责任感．参考文献：

【１］葛照强，王讲书．论大学数学教育中的人文精神忉．大学数学，２００５（４）：２０－－２３．

【２１方延明．数学文化瞰】．北京：清华大学出版社，２００７．

【３】呼青英，张宏伟．定积分概念中蕴涵的对立统一思想【Ｊ］．大学数学，２００８（５）：２０３—２０６．

【４】黄祖达，樊启毅．漫谈数学与中国文学们．大学数学，２００９（１）：２０５—２０６．

【５】徐利治．数学美学与文学叽．数学教育学报，２００１（２）：５－７．

【６１张玉峰，盂爱玲．数学教育的本质叽数学教育学报，２００６，１５（３）：排２５．（作者单位：湖南文理学院芙蓉学院，湖南常德４１５０００）

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