山东省济南市2012年5月高三模拟考试试题（三模，理数）

2012年济南市高三5月份模拟考试试题

数学（理工类）

本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后将答题卡交回． 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

样本数据x1，x2，?，xn的方差s?锥体体积公式：V?21[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，其中x为样本的平均数； n1Sh，其中S为锥体底面的面积，h为锥体的高； 3圆锥的侧面积公式：S??rl，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长； 圆柱的侧面积公式：S?2?rl，其中r是圆柱的底面半径，l是圆柱的母线长.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1、若全集U?R，集合A?{x2x?3?5}，B?｛x|y?log3(x?2)｝，则C(A?B)? A．xx??4或x?1 B．xx??4或x?1???? C．?xx??2或x?1? D．?xx??2或x?1?

?，那么下列结论中一定成立的是 2D．a?b

U2．已知非零向量a、b满足向量a?b与向量a?b的夹角为A．a?b

B．|a|?|b|

C．a?b

３．Sn是数列{an}的前n项和，则“Sn是关于n的二次函数”是“数列{an}为等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

４、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数： ①f(x)?sinxcosx；

②

f(x)?2sin(x?)4?；③

f(x)?sinx?3cosx；

④f(x)?2sin2x?1. 其中“同簇函数”的是( ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④

x2y2５．若双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线y?3x无交点，则离心率e的取值范围

ab

- 1 -

A．(1,2) B．(1,2] C．(1,5) D． (1,5]

６．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于( ) A．4 B．6 C．8 D． 12

2

222

侧视图正视图

俯视图

７．已知实数x?[0,8]，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于54的概率为（ ） A．

1134 B． C． D． 4245８. 函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是( )

9．已知?、?是三次函数f(x)?则

1312x?ax?2bx(a,b?R)的两个极值点，且??(0,1)，??(1,2)，32

b?3的取值范围是 a?222A．(??,) B．(,1)

55 C．(1,??) D．(??,)?(1,??)

25１0.过抛物线y2?2px焦点F作直线l交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，则?ABC为 A．锐角三角形

C．不确定 D．钝角三角形

１１. 将1，2，3，?，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从

左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为

'1２.定义在R上的函数f(x)满足(x?1)f(x)?0，且y?f(x?1)为偶函数，当x1?1?x2?1时，有

B．直角三角形

A．6种 C．18种

B．12种 D．24种

- 2 -

A．f(2?x1)?f(2?x2) B．f(2?x1)?f(2?x2)

C．f(2?x1)?f(2?x2) D．f(2?x1)?f(2?x2)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13. i是虚数单位，在1,2,3?2012中有 个正整数n能使得(1?i)2n??2n?i成立； 14．已知函数f(x)?3x2?2x?1，若

?1?1f(x)dx?2f(a)(a?0)成立，则a＝________.

2

解析：因为?1f(x)dx＝?1 (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，所以2(3a＋2a＋1)＝4?a＝－1或a

?-1?-1

1＝. 31

答案：

3

１5. 在?ABC中，角A、B、C所对的边为a,b,c，若a,b,c成等差数列，则角B的范围是_____________ 16. 下列正确命题的序号是____________

（1）”m??2”是直线(m?2)x?my?1?0与直线(m?2)x?(m?2)y?3?0相互垂直的必要不充分条件 （2）?a?R，使得函数y?|x?1|?|x?a|是偶函数

（3）不等式：

1111?1?1?11?1?11?1?111??1≥?， ??1??≥???? ，??1???≥?????，?， 2123?3?2?24?4?35?3?246?111111111(1?????)≥(?????) n?1352n?1n2462n由此猜测第n个不等式为（4）若二项式(x?22)的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x?4的系数是40 2x3asinx?bcos(x?三、解答题：本大题共6个小题.共74分. 17. （本题满分12分）已知函数f(x)?(1)求实数a,b的值；

(2)求函数f(x)的周期及单调增区间. 解：(1)?函数f(x)???17?)的图象经过点(,),(,0). 33263asinx?bcos(x???17?)的图象经过点(,),(,0), 3326?313?a?b???22------3分 ????3a?3?0?2?2解得：a?1,b??1------6分

- 3 -

(2)由(1)知：f(2x)?3sin2x?cos(2x??3)?31?sin2x?cos2x?sin(2x?) 226函数f(x)的周期T?? （10分）

ππππ2π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得2kπ－≤2x≤2kπ＋ k∈Z.

26233即函数的增区间?k?????6,2k???? k∈Z. （12分） ?3?

18.（本题满分12分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.

(1)求该校报考飞行员的总人数;

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 18．解：（1）设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1,p2,p3,则由条件可得:

p2?2p1??p3?3p1解得p1?0.125,p2?0.25,p3?0.375……4分 ??p?p?p?(0.037?0.013)?5?123?112又因为p2?0.25?，故n?48 ……………………………6分

n(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为p?p3?(0.037?0.013)?5?分

53 所以x服从二项分布,p(x?k)?C3k()k()3?k

88?随机变量x的分布列为： 5……88x p 0 1 2 3 27135225125 512512512512 2713522512515?1??2??3?? ……………………12分 则Ex?0?5125125125128515(或: Ex?3??)

8818、（本题满分12分）

在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AC1AC，1?面ABCAA2a,A1C?CA?AB?a,AB?AC,D为AA1中点. 1?(1)求证：CD?面ABB1A1；

(2)在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E?A1C1?A的大小为18.（1）证：?面ACC1A1?面ABC，AB?AC

- 4 -

?. 3 ?AB?面ACC1A1，即有AB?CD； 又AC?A1C，D为AA1 1中点，则CD?AA?CD?面ABB1A1 ……………………………4分

(2)如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，CA1为z轴， 建立空间直角坐标系C?xyz,则有

A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a),B1(0,a,a)

C1(?a,0,a)，设E(x,y,z)，且BE??BB1，即有(x?a,y?a,z)??(?a,0,a)，

E所以点坐标为

((1??)a,a,?a). ……………………………7分

由条件易得面A1C1A地一个法向量为

n1?(0,1,0)…………….8分

设平面EA1C1地一个法向量为n2?(x,y,z)，

?????ax?0?n2?A1C1由?可得?

(1??)ax?ay?(??1)az?0???n?A1E?1)， …………………………………10分 令y?1，则有n2?(0,1,1??则cos?3?n1?n2n1n2?1?11(1??)2?31,得??1?

32所以，当

BEBB1?1??3时，二面角E?A1C1?A的大小为…………………12分

3320. （本题满分12分）

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30, t∈N﹢）的旅游人数f?t? (万人)近似地满足f?t?= 4 +,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-｜t-20｜. (1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t（1≤t≤30,t∈N﹢）的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值.

（1）解：W?t??f?t?g?t???4??120?t?20???????????4分

1t??1??t??100??1?t?20?401?4t???t =??????????????6分

140?559??4t?20?t?30??t? - 5 -

（2）当t??1,20?，401?4t?100100?401?24t??441（t=5时取最小值）???9分 tt140?4t递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)= t 当t??20，，30?，因为W?t??559?443

2

???11分 3

所以t??1,30?时，W(t)的最小值为441万元???12分

3x2y221.已知直线l:y?x?1，圆O:x?y?,直线l被圆截得的弦长与椭圆C:2?2?1(a?b?0)2ab22的短轴长相等,椭圆的离心率e?3 2(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 过点M(0，?1)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一

3个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

21．解： (Ⅰ)则由题设可知b?1， 2分

又e?3 a?2 3分 2x2所以椭圆C的方程是?y2?1. ……4分

2(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为y?kx?，

将它代入椭圆方程，并整理，得(18k2?9)x2?12kx?16?0． ……5分

12k?x?x?,??1218k2?9设点A、B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则 ?

?16?xx?.?1218k2?9?13因为TA?(x1?u,y1?v),TB?(x2?u,y2?v)及y1?kx1?,y2?kx2?,

TB?(x1?u)(x2?u)?(y1?v)(y2?v) 所以TA?????????????131312v1?(k2?1)x1x2?(u?k?kv)(x1?x2)?u2?v2??

339(6u2?6v2?6)k2?4ku?(3u2?3v2?2v?5) ……8 分 ?6k2?2

- 6 -

当且仅当TA?TB?0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ……9分

?6u2?18v2?18?0,?所以?u?0,解得u?0,v?1.

?22?3u?3v?2v?5?0.此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ……10分

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x2?y2?1也过点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. ……12分

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2?y2?1.

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是x2?(y?)2??x2?y2?1,?x?0由?解得. ??21216y?1x?(y?)?.??39?1316. ……6分 9由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ……7分 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2?y2?1，过点T（0，1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为y?kx?，代入椭圆方程，并整理，得

(18k2?9)x2?12kx?16?0.138分

12k?x?x?,122??18k?9设点A、B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则?

?16?xx?.12?18k2?9?因为TA?(x1,y1?1),TB?(x2,y2?1)，

??????416TA?TA?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1?(k2?1)x1x2?k(x1?x2)?

39???????16k2?16?16k2?32k2?16 ??0.18k2?9 ??????所以TA?TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ……11分

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. ……12分

(22)(本小题满分14分)

2k?' 设函数f(x)?x?2(?1)lnx(k?N),f(x)表示f(x)导函数。

(I)求函数f(x)的单调递增区间；

- 7 -

22 (Ⅱ)当k为偶数时，数列{an}满足a1?1,anf'(an)?an?1?3．证明：数列{an}中

不存在成等差数列的三项；

(Ⅲ)当k为奇数时， 设bn?1f??n??n，数列?bn?的前n项和为Sn，证明不等式 2?1?bn?1bn?1?e对一切正整数n均成立，并比较S2012?1与ln2012的大小.

解：(I)定义域为xx?0,f(x)?2x?2(?1)当k为奇数时，f(x)?2x?'??'k1 x2?0恒成立, x?f(x)的单调递增区间为(0,??).??????2分

22(x2?1)2(x?1)(x?1)?当k为偶数时，f(x)?2x??,

xxx'又x?(0,??)，?x?0,x?1?0， 由f'(x)?0，x?1，

?f(x)的单调递增区间为(1,??).??????4分

(Ⅱ) 当k为偶数时，f(x)?2x?'22'， ?f(an)?2an? xan2由已知，a1?1,anf'(an)?an?1?3，?an(2an?22)?an?1?3 an22222?2an2?2?an?1?3，?2an?an?1?1，?2(an?1)?an?1?1

??an2?1?是以2为公比的等比数列.

?an2?1?2?2n?1,?an2?2n?1.??????6分

2222数列{an}中假设存在三项am，ak，an成等差数列，不妨设m?k?n， 222则2ak， ?am?an又am2?2m?1，ak2?2k?1，an2?2n?1，

?2(2k?1)?2n?1?2m?1

?2k?1?2n?2m，?2k?1?m?2n?m?1，

等式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，

- 8 -

2}中不存在成等差数列的三项??????9分 ?假设不成立，数列{an2 x11111?bn?f'(n)?n?,Sn?1?????

2n23n11n?1b要证?1?bn?n?1?e，即证(1?)?e，两边取对数，

n11即证ln(1?)???????10分

nn?111(t?1)， 设1??t，则n?nt?111?lnt?1?(t?1)，构造函数g(t)?lnt??1(t?1)，

tt11?x?1，?g'(t)??2?0，

tt(Ⅲ) 当k为奇数时，f(x)?2x?'g(t)?g(1)?0， ?g(t)在（1，+?）上单调递增，1111即lnt?1?，?ln(1?)?，即?1?bn?bn?1?e.??????12分

tnn?1111111S2012?1?(1?????)?1?????

23201223201211111111?ln(1?)??ln2?ln(1?)?ln(1?)??ln(1?) ,?????nn?1232012232011342012?ln2?ln?ln???ln

232011342012?ln(2?????)?ln2012

232011111?ln2012 ?????????14分 ?????232012

- 9 -

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