数学一1987-2010.doc

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1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

x?1 (3)与两直线 y??1?t及x?1?y?2?z?1都平行且过原点的平面方程为_____________.

111

z?2?t

(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分

??2L(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

a与b,使等式lim1xt2求正的常数?sinx?dt?1成立.

x?0bx0a?t2

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求

?u?x,?v?x. ?301(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A????110???,求矩阵B. ?014??

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limf(x)?f(a)?a)??1,则在x?a处

x?a(x2(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值

(C)

f(x)取得极小值

(D)

f(x)的导数不存在

1

s(2)设

f(x)为已知连续函数,I?t?tf(tx)dx,其中0t?0,s?0,则I的值

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s

(D)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数??k?0,则级数(?1)nk?n

n?1n2(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a

(B)1a

(C)an?1

(D)an

六、（本题满分10分）

求幂级数??1xn?1的收敛域，并求其和函数.

n?1n?2n

七、（本题满分10分）

求曲面积分I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?其中是由曲线f(x)????z?y?1 1?y?3???x?0绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒

大于?2.

2

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且

f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分）

问a,b为何值时,现线性方程组

x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x

2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

2

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则

A至少发生一次的概率为

____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1e?x2?2x?1则X的数学期望为____________,X的方

?,差为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

f? 1 0?x?1,fy)? e?yX(x)Y( y?00其它y?0,

0求Z?2X?Y的概率密度函数.

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1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

??(x?3)n(1)求幂级数n?1n3n的收敛域

(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.

(3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.

?

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若f(t)?limx??t(1?1x)2tx,则

f?(t)= _____________.

3(2)设

f(x)连续且

?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为

f(x)?

2 ?1?x?00?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在

x2x?1处收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式

A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

f(x)可导且

f?(x10)?2,则

?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是

(A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小

3

(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且

f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数

f(x)在点x0处

(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加

(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?22:x?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则 (A)???xdv?4???dv

(B)????ydv?4

1?2????ydv

1?2(C)

???zdv?4???zdv

(D)

????xyzdv?4????xyzdv

1?21?2(4)设幂级数??an(x?1)n在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛

(B)绝对收敛

(C)发散

(D)收敛性不能确定

(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关

(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设u?yf(x)?xg(y?2u?2uyx),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x?x2?y?x?y.

五、(本题满分8分) 设函数y?y(x)满足微分方程

y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在

该点处的切线重合,求函数y?y(x).

4

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿

r直线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

?

已知AP?BP,其中B??100??000??,P??100?2?10?,求A,A5.? 00?1???211???????

八、（本题满分8分）

?200??200?已知矩阵A???001?与B??0??x???y0?相似. ?01???00?1??(1)求x与y. (2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.

4

九、（本题满分9分）

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有

f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线

y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面

图形面积S2的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,则事件A在一次

27试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

2?(x)??x1?u??2?e2du,?(2.5)?0.9938, 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?1?(1?x2),求随机变量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).

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1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)2h= _____________.

h?0(2)设

f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则

f(x)=_____________.

(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分

?(x22L?y)ds=_____________.

(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.

?300??100?(5)设矩阵A???140???,I???010??,则矩阵(A?2I)?1=_____________. ?003????001??

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x?0时,曲线y?xsin1x

(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2)

(B)(?1,1,2) (C)(1,1,2)

(D)(?1,?1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3

(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3

(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(4)设函数f(x)?x2,0?x?1,而?S(x)??bnsinn?x,???x???,其中

n?1bn?2?10f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?12)等于

(A)?12

(B)?14

(C)14

(D)12

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(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求?2z?x?y.

(2)设曲线积分

?xy2cdx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算

?(1,1)2的值.

(0,0)xydx?y?(x)dy(3)计算三重积分

???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域.

?

四、(本题满分6分)

将函数f(x)?arctan1?x展为1?xx的幂级数.

五、(本题满分7分) 设f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

六、（本题满分7分）

证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.

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1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则dydx=_____________.

(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.

(3)设f(x)? ?1 ???x?0?,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.

1?x20?x?(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.

??a1b1a1b2?a1bn??(5)设A??a2b1a2b1?a2bn????????,其中ai?0,bi?0,i?(1?,2n,,则矩阵

A的秩

?anb1anb2?a?nbn?r(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x?1时,函数x2?11x?1ex?1的极限 (A)等于2 (B)等于0

(C)为?

(D)不存在但不为?

(2)级数??(?1)n(1?cosa)(常数a?0) n?1n(A)发散 (B)条件收敛

(C)绝对收敛

(D)收敛性与a有关

(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条

(D)不存在

(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (B)1 (C)2

(D)3

?1??(5)要使ξ???0??1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为

??2?????1??11

(A)??212?

(B)??20?1??011?

??01?1(C)???102?01??

(D)???1??4?2?2? ???011??

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?01?1?x2.

(2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,求?2z?x?y.

(3)设f(x)? 1?x2e?x x?0x?0,求?31f(x?2)dx.

四、(本题满分6分)

求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.

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五、(本题满分8分) 计算曲面积分

??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面

?z?a2?x2?y2的上侧.

六、（本题满分7分） 设

f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

七、（本题满分8分）

在变力F??yzi??zxj??xyk?的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2a2?2?2?1上第一卦限的bc点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F?所做的功W最大?并求出W的最大值.

八、（本题满分7分）

设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.

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九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为

?1??1??1?ξ??,ξ????1?????1??1??2??2?,ξ3??3?,又向量β?2?.

?1????4????9????3??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?16,则事件A、B、C全不发生的概率

为____________.

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概

2率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?1?t22??x??edt).

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1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x1

1(2?)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.

t(2)由曲线 3x2?2y2?12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量

z?0为_____________.

(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为a?02??(ancosnx?bnsinnx),则其中

n?1系数b3的值为_____________.

(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________. (5)设n阶矩阵

A的各行元素之和均为零,且

A的秩为

n?1,则线性方程组

AX?0的通解为

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)??sinx0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的

(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小

(D)低价无穷小

(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为

??(A)2?4cos2?d40?

(B)4?0cos2?d?

?(C)2?40cos2?d? (D)1?42?0(cos2?)2d? (3)设有直线lx?1z?81:?y?5?与1?21l2: x?y?6则2y?z?3l1与l2的夹角为

(A)?6

(B)?4

(C)?3

(D)?2

(4)设曲线积分

?xL[f(t)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中

f(x)具有一阶连续导数,且

f(0)?0,则f(x)等于

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(A)e?x?ex2 (B)ex?e?x2 (C)ex?e?x?1

(D)xe?x21?e?2

?123?(5)已知Q???24t?,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ???369??(A)t?6时P的秩必为1

(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1

(D)t?6时P的秩必为2

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求lim(sin2x?cos1x)x.

x??x

(2)求

?xeex?1dx.

(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.

四、(本题满分6分)

计算???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面

?外侧.

五、(本题满分7分)

?求级数?(?1)n(n2?n?1)n?02n的和.

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六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一

个零点. (2)设b?a?e,证明ab?ba.

七、（本题满分8分）

已知二次型f(x2x221,x2,x3)?2x1?32?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形f?y2?2y2y212?53,求参数a及所用的正交变换矩阵.

八、（本题满分6分）

设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.

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九、（本题满分6分）

设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度

fY(y)=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率分布密度为f(x)?12e?x,???x???.

(1)求X的数学期望EX和方差DX.

(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?

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1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)limcot?(1?1

?0sinxx)= _____________. x(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

(3)设u?e?xsinxy,则?2ux?y在点(2,1??)处的值为_____________. 22R2,则??(x2y2(4)设区域D为x?y?2?2Dab)dxdy=_____________.

(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1n2,13],设A?α?β,其中α?是α的转置,则A=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

?(1)设M??2sinx??434??cosxdx,N?21?x2?2??(sinx?cosx)dx,P??22?(xsin3x?cos4x)dx,则有 2?2(A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P (D)P?M?N

(2)二元函数

f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是

f(x,y)在该点连续的

(A)充分条件而非必要条件

(B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(3)设常数????0,且级数?a2nn收敛,则级数?(?1)ann?1n?1n2?? (A)发散

(B)条件收敛

(C)绝对收敛

(D)收敛性与?有关

(4)limatanx?b(1?cosx)x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a2?c2?0,则必有

(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c

(D)a??4c

(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组

15

(A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

x?cos(t2)

(1)设 2d2y?y?tcos(t2)??t1cosudu,求dy、在12udxdx2t?2的值. (2)将函数f(x)?14ln1?x1?x?12arctanx?x展开成x的幂级数.

(3)求?dxsin(2x)?2sinx.

四、(本题满分6分)

计算曲面积分??xdydz?z2dxdy,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)两平面所围成Sx2?y2?z2立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设

f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全

微分方程,求

f(x)及此全微分方程的通解.

16

六、(本题满分8分) 设

f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)?0,证明级数?f(1)绝对收敛. x?0x?n?1n

七、（本题满分6分）

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.

八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).

(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

16

九、（本题满分6分）

设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________.

(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为

X 0 1 P 1 122 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?xy??1,设Z?X3?Y22, (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.

(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?

17

1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)2lim(1?3x)sinx=_____________.

x?0(2)d0dx?2xcost2dt= _____________.

x(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________. (4)幂级数??nn?12n?(?3)nx2n?1的收敛半径R=_____________. ?1?00??3??(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A??1?00??4?,则B=_____________. ?1???007???

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线L: x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L

(A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?

(D)与?斜交

(2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)

(3)设

f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则

f(0)?0是F(x)在x?0处可导的

(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件

(C)必要条件但非充分条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(4)设un?(?1)nln(1?1n),则级数 (A)???un与

(B)n?1?u2都收敛

n?1n???un与?u2都发散

n?1n?1n(C)??un收敛,而??

?u2发散

(D)收敛,而n?1n?1n?un??u2发散

n?1n?1n17

?a11a12a13??a12a13??(5)设A???a21a22a??a1123aaa??P?010???100?2223,1?100?,P???a31a32a?,B??2133????a31a32???2010?,则必有

a??33???001????101??(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B

(D)P2P1A=B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且???z?0.求dudx.

(2)设函数

f(x)在区间[0,1]上连续,并设

?1(x)dx?A,求?1dx?10f0xf(x)f(y)dy.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分??zdS,其中?为锥面z?x22??y2在柱体x?y2?2x内的部分.

(2)将函数

f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为

4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与

y轴总相交,交点记为

A.已知

MA?OA,且L过点(3,3),求L的方程.

22

18

六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分

?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对

任意t恒有?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).

七、（本题满分8分）

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:

(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.

(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使f(?)?f??(?)g(?)g??(?).

八、（本题满分7分）

?0?设三阶实对称矩阵A的特征值为??1,?1,对应于???1?2??3?1的特征向量为ξ1??1??,求A. ?1??

18

九、（本题满分6分）

设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.

(2)设X和Y为两个随机变量,且

P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47, 则P{max(X,Y)?0}?____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为

f(x)? e?xX x?0?0,

0x求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).

19

1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设lim(x?2a)x?8,则a=_____________.

x??x?a(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点

A(1,0,1)处沿点

A指向点

B(3,?2,2)方向的方向导数为

_____________.

?102(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B????020?,则r(AB)=_____________. ?103?????

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分,a则等于

(x?y)2(A)-1

(B)0 (C)1 (D)2

(2)设f?(0)?0,limf??(x)f(x)具有二阶连续导数,且x?0x?1,则

(A)f(0)是f(x)的极大值

(B)f(0)是f(x)的极小值

(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

(3)设an?1,2,?),且???n?0(an收敛,常数??(0,?),则级数n?12?(?1)n(ntan?)a2n?1nn

(A)绝对收敛

(B)条件收敛

(C)发散

(D)散敛性与?有关

(4)设有

f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??xk0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与x是同

阶无穷小,则k等于

(A)1

(B)2 (C)3

(D)4

19

a100b1(5)四阶行列式

0a2b200a的值等于

3b30b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4

(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)

(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数. (2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向S. 22(2)设变换 u?x?2y可把方程?z??2z?2v?x?ay6?x2?x?y?z??y2?0简化为z?u?v?0,求常数a.

五、(本题满分7分) 求级数??1的和.

n?1(n2?1)2n

的夹角为锐角

20

六、(本题满分7分)

设对任意xx?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1x?0f(t)dt,求f(x)的一般

表达式.

七、（本题满分8分）

设

f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内

任意一点.证明f?(c)?2a?b2.

八、（本题满分6分）

设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1.

(2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.

20

九、（本题满分8分）

已知二次型f(x2cx21,x2,x3)?5x21?5x2?3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,

(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.

(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(1)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望

2E(???)=____________.

十一、（本题满分6分）

设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?13,i?1,2,3.

又设X?max(?,?),Y?min(?,?).

(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).

21

1997年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

3sinx?x2cos1(1)limxx?0(1?cosx)ln(1?x)=_____________.

(2)设幂级数???a1nxn的收敛半径为3,则幂级数?nan(x?1)n?的收敛区间为_____________.

n?1n?1(3)对数螺线??e?在点?(?,?)?(e2,?2)处切线的直角坐标方程为_____________.

?(4)设A??12?2??4t3?,B为三阶非零矩阵,且

AB?O,则t?11?=_____________. ?3???(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,

则第二个人取得黄球的概率是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

xy(1)二元函数 (x,yf(x,y)? x2?y2)?(0,0),在点(0,0)处

0 (x,y)?(0,0)(A)连续,偏导数存在

(B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在

(D)连续,偏导数不存在

(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令

Sb11??af(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?2[f(a)?f(b)](b?a), 则

(A)S1?S2?S3 (B)S2?S1?S3 (C)S3?S1?S2

(D)S2?S3?S1

(3)设F(x)??x?2?txesinsintdt,则F(x)

(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零

(D)不为常数

21

?a1??b1??c1?(4)设α???????1?a2,α2?b2,α3?c???2,则三条直线 ?a3??????b3?????c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中a2i?b2i?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关

(B)α1,α2,α3线性无关

(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)

(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是

(A)8 (B)16 (C)28 (D)44

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)计算I????(x2?y2)dv,其中?为平面曲线 y2?2z绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围?x?0成的区域.

(2)计算曲线积分

??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是曲线 x2?y2?1cx?y?z?2从z轴正向往z轴负

向看c的方向是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已

掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).

22

四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)

(1)设直线l: x?y?b?0在平面而平面求x?ay?z?3?0?上,?与曲面z?x2?y2相切于点(1,?2,5),a,b之值.

2

(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(exsiny)满足方程?z?2zx?x2??y2?e2z,求

f(u).

五、(本题满分6分) 设

f(x)连续,?(x)??10f(xt)dt,且limf(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性.

x?0x

六、(本题满分8分) 设a1?0,an?1?12(an?1a)(n?1,2,?),证明

n

(1)liman存在.

x?? (2)级数??(ann?1a?1)收敛. n?1

22

七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)

(1)设B是秩为2的5?4矩阵,αT1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1],α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组

Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.

??2?12?

(2)已知ξ??1??1?是矩阵A??a3?的一个特征向量. ??1???5??????1b?2?? 1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.

2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

八、（本题满分5分）

设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.

(1)证明B可逆. (2)求AB?1. 九、（本题满分7分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.

5 十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为

f(x)? (??1)x? 0?x?1 0其它其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极

大似然估计法求?的估计量.

23

1998年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)lim1?x?1?x?2=_____________.

x?0x2

2(2)设z?1xf(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?z?x?y=_____________.

(3)设2l为椭圆xy24?3?1,其周长记为a,则??(2xy?3x2?4y2)ds=_____________.

L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必有特征值_____________.

(5)设平面区域D由曲线y?1及直线xy?0,x?1,x?e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀

分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

xf(x)连续,则

dtf(x2?t2dx?0)dt= (A)xf(x2)

(B)?xf(x2) (C)2xf(x2)

(D)?2xf(x2)

(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1

(D)0

(3)已知函数

y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x1?x2??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷

小,y(0)??,则y(1)等于

(A)2? (B)?

??(C)e4

(D)?e4

(4)设矩阵

23

??a1b1c1??a2b2c?2 ?a??3b3c3??是满秩的,则直线x?a3?y?b3?z?c3与直线x?a1?y?b1?z?c1a?ab

12b1?b2c1?c2a2?a3b2?3c2?c3(A)相交于一点

(B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面

(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有 (A)P(A|B)?P(A|B)

(B)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B)

(D)P(AB)?P(A)P(B)

三、(本题满分5分)

求直线l:x?1?y?z?1在平面11?1?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所

成曲面的方程.

四、(本题满分6分)

确定常数?,使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2?)j为某二元函数

u(x,y)的梯度,并求u(x,y).

五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).

六、(本题满分7分)

计算??axdydz?(z?a)2dxdy2,其中?为下半平面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数. ?(x?y2?z2)12

24

七、(本题满分6分) ?2?

求lim?sin?nsin?x????n???sin??.?n?1?n?11?2n?n??

八、（本题满分5分）

?设正向数列{a?n1nn}单调减少,且?(?1)an发散,试问级数?()是否收敛n?1n?1an?1?并说明理由.

九、（本题满分6分）

设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y?f(x)为曲

边的曲边梯形面积.

(2)又设

f(x)在区间(0,1)内可导,且

f?(x)??2f(x)证明(1)中的x,x0是唯一的.

十、（本题满分6分）

?已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换?x?????y??P???化为椭圆柱面????z????????方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P.

十一、（本题满分4分）

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且Ak?1α?0. 证明:向量组α,Aα,?,Ak?1α是线性无关的.

十二、（本题满分5分）

24

已知方程组

a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0(Ⅰ)

a21x1?a22x2???a2,2nx2n?0 ?

an1x1?an2x2???an,2nx2n?0的一个基础解析为(bT11,b12,?,b1,2n),(b21,b22,?,b2,2n)T,?,(bn1,bn2,?,bn,2n)T.试写出线性方程组

b11y1?b12y2???b1,2ny2n?0(Ⅱ)

b21y1?b22y2???b2,2ny2n?0 ?

bn1y1?bn2y2???bn,2ny2n?0的通解,并说明理由.

十三、（本题满分6分）

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为1的正态分布,求随机变量X?Y的方差.

2

十四、（本题满分4分）

从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表

2?(x)??z1?t??2?e2dt z 1.28 1.645 1.96 2.33 ?(x) 0.900 0.950 0.975 0.990

十五、（本题满分4分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表

P{t(n)?tp(n)}?p

0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281

25

1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(1?1tanx)=_____________. x?0x2x(2)dxdx?sin(x?t)2dt=_____________. 0(3)y???4y?e2x的通解为y=_____________.

(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________.

(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?12,

且已知P(A?B?C)?916,则P(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数 (C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数

?1?cosx(2)设f(x)???x x?0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处

??x2g(x) x?0(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续

(C)连续,但不可导 (D)可导

?x 0?x?1(3)设f(x)???,S(x)?a?0???2?2x 12?x?12?ancosn?x,???x???, n?1其中an?2?10f(x)cosn?xdx

(n?0,1,2,?),则S(?5等于

2)(A)12

(B)?12

(C)34

(D)?34

(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则 (A)当m?n时,必有行列式|AB|?0

(B)当m?n时,必有行列式|AB|?0

25

(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0

(D)当n?m时,必有行列式|AB|?0

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则 (A)P{X?Y?0}?12

(B)P{X?Y?1}?12

(C)P{X?Y?0}?12

(D)P{X?Y?1}?12

三、(本题满分6分) 设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连

续导数和一阶连续偏导数,求dzdx.

四、(本题满分5分)

求I??(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点

LA(2a,0)沿曲线

y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.

五、(本题满分6分)

设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线

及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形

面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.

26

六、(本题满分7分)

论证:当x?0时,(x2?1)lnx?(x?1)2.

七、(本题满分6分)

为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

八、(本题满分7分)

设为椭球面x22S2?y2?z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为点

O(0,0,0)到平面?的距离,求

??zdSS?(x,y,z).

九、(本题满分7分)

?设an??40tannxdx:

(1)求??1(an?an?2)的值.

n?1n26

(2)试证:对任意的常数??0,级数??an收敛.

n?1n?

十、(本题满分8分)

?

设矩阵A??a?1c??5b3?,其行列式

|A|??1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值?0,属于?0的一个特征???1?c0?a??向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.

十一、(本题满分6分)

设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要

条件是B的秩r(B)?n.

十二、(本题满分8分)

设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 y3 P(X?xi)?pi? x 11 8 x12 8 P(Y?y1i)?p?j 6 1

十三、(本题满分6分)

?6x设X的概率密度为f(x)????3(??x) 0< x??,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本

??0 其它(1)求?的矩估计量??. (2)求??的方差D(??). 27

2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价 (D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价 (5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量?为

?X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件

?12x?x2dx=_____________.

0(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.

?11??x1??1?(4)已知方程组?2?23a?2??x???2???2?????3?无解,则a= _____________. ?1a???x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相

等,则P(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有

(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)

(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)??xdS?4??xdS

(B)SS??ydS?4??xdS

1SS1(C)

??zdS?4??xdS

(D)

SS??xyzdS?4??xyzdS

1SS1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为

n?1(A)??(?1)nun

(B)n???u2n 1nn?1 (C)??1?u2n)

(D)?(u2n??un?1)

n?1?(unn?1 (4)设n维列向量组α 1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为 (A)向量组α 1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示

(B)向量组β

1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示

27

(A)E(X)?E(Y) (B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2

(C)E(X2)?E(Y2)

(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2

三、(本题满分6分) 1求xlim(2?e?sinxx??4).1?exx 四、(本题满分5分)

2设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?z?x?y.

五、(本题满分6分) 计算曲线积分I???xdy?ydx,其中L是以点L4x2?y2(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.

28

六、(本题满分7分)

设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有

???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其

S中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且

xlim?0?f(x)?1,求f(x).\\\\

七、(本题满分6分) ? 1xn求幂级数?n?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数

f(x)在??[0,?]上连续,且

?0f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同

的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(本题满分6分)

??1000?A*?0100?

设矩阵A的伴随矩阵??10??10?,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.

?0?308??

28

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1熟练工支援其他生产部门,其缺

6额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年1月份统

5计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn?n和yn,记成向量??xy?. ?n?(1)求??xn?1?与?xn?的关系式并写成矩阵形式:??y???xn?1???A?xn?n?1??y?n??y??. n?1??yn?(2)验证η?4???1?1???1??,η2???是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1??1?(3)当?x????1???2?时,求?x??y???n?1?.1?1??yn?1??2??

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).

十三、(本题满分6分) (x??)设某种元件的使用寿命

X的概率密度为f(x;?)???2e?2x??0,其中?0为未知参数.又设

?x???x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.

29

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________.

(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)?1= _____________.

(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为

(A) (B)

(C) (D)

(2)设

f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且

fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则

29

(A)dz|(0,0)?3dx?dy (B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1} (C)曲线 z?f(x,y)在y?0(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3} (D)曲线 z?f(x,y)在y?0(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}

(3)设

f(0)?0则f(x)在x=0

处可导?

(A)limf(1?cosh)存在 (B) h?0h2 limf(1?eh)存在 h?0h(C)limf(h?sinh)2存在

(D)h?0hlimf(2h)?f(h)存在

h?0h?11??000?(4)设?11A??1111??4000???,则A与B ?1111??,B??0?0000??1111????0000??(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似

(D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为 (A) -1 (B)0

(C)12

(D)1

三、(本题满分6分)

求

?arctanexe2xdx.

四、(本题满分6分) 设函数z?f(x,y)在点

(1,1)可微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求

ddx?3(x)x?1.

30

五、(本题满分8分) 1?x2?设(?1)nf(x)? xarctanx x?0,将

f(x)展开成x的幂级数,并求?的和. 1 x?0n?11?4n2

六、(本题满分7分)

计算I???(y2?z2L)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面 x?y?z?2与柱面

x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:

(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立.

(2)limx?0?(x)?0.5.

八、(本题满分8分)

h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?2(x2?y2设有一高度为)h(t)(设长度单位为厘

米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?

30

九、(本题满分6分)

设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,

β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,

其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?

十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.

(1)记P?(x,Ax,A2x),求B使A?PBP?1.

(2)计算行列式A?E.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.

十二、(本题满分7分)

设X~N(?,?2)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2), 样本均值2nnX?12n?Xi,Y?i?Xn?i?2X)2,求E(Y).

i?1?(Xi?1

31

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

???dxexln2x= _____________. (2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________.

(3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?1的特解是_____________.

2(4)已知实二次型f(x2?x221,x2,x3)?a(x12?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型

f?6y21,则a=_____________.

(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:

①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③

f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④

f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在.

则有:

(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①

(D)③?①?④

(2)设un?0,且1nlimn??u?1,则级数?(?1)n?(1u?1)为

nnun?1(A)发散 (B)绝对收敛

(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.

(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则

(A)当xlim???f(x)?0时,必有xlim???f?(x)?0

(B)当limf?(x)存在时,必有x???xlim???f?(x)?0

(C) 当xlim?0?f(x)?0时,必有xlim?0?f?(x)?0 (D) 当xlim?0?f?(x)存在时,必有xlim?0?f?(x)?0.

(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与

增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

31

(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则

(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数

(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当

h?0时,若

af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线2y?f(x)与y??arctanx?t0edt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限limnf(2n??n).

五、(本题满分7分) 计算二重积分

??emax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.

D

32

六、(本题满分8分)

设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.

记I??1y[1?y2f(xy)]dx?xy2[y2f(xy)?1]dy, (1)证明曲线积分I与路径L无关.

(2)当ab?cd时,求I的值.

七、(本题满分7分)

? (1)验证函数y(x)??x3n (???x???)满足微分方程y???y??y?ex.

n?0(3n)!

??x3n(2)求幂级数y(x)?n?0(3n)!的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.

(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

32

十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,

(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分)

设维随机变量X的概率密度为

1f(x)? 2cosx2 0?x?x

0 其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于?的次数,求3Y2的数学期望.

十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为

X 0 1 2 3 P ?2 2?(1??) ?2 1?2? 其中?(0???12)是未知参数,利用总体X的如下样本值

3,1,3,0,3,1,2,3.

求?的矩估计和最大似然估计值.

33

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

1(1)lim(cosx)ln(1?x2) = .

x?0(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是

.

(3)设?x2??ancosnx(???x??),则a2= .

n?0(4)从R2的基α?1?,α?1??1??1?1???2??1?到基?β1???1??,β2???2?的过渡矩阵为 .

?0????(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 6x0 0?x?y?1其它,则P{X?Y?1}? .

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有

(A)一个极小值点和两个极大值点

(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有

(A)an?bn对任意n成立 (B)bn?cn对任意n成立 (C)极限limn??ancn不存在

(D)极限limn??bncn不存在

(3)已知函数

f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且

f(x,y)?xyx?lim0,y?0(x2?y2)2?1,则 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为

f(x,y)的极值点

33

(4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则

(A)当r?s时,向量组II必线性相关 (B)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关 (D)当r?s时,向量组I必线性相关 (5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题: ① 若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B) ② 若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③ 若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④ 若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解 以上命题中正确的是 (A)①②

(B)①③

(C)②④

(D)③④

(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则

(A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1) (C)Y~F(n,1)

(D)Y~F(1,n)

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.

(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分)

将函数f(x)?arctan1?2x展开成(?1)?2xx的幂级数,并求级数的和.

1n??n?02n?1

五 、(本题满分10分)

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证:

(1)??Lxesinydy?ye?sinxdx???Lxe?sinydy?yesinxdx.

(2)

??yLxesindy?ye?sinxdx?2?2.

34

六 、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m表示长度单位米.)

七 、(本题满分12分)

设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.

(1)试将x?x(y)所满足的微分方程d2xdxdy2?(y?sinx)(dy)3?0变换为y?y(x)满足的微分方程.

(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解. 2

八 、(本题满分12分)

???f(x2?y2?z2)dv??f(x2?y2)d?设函数

f(x)连续且恒大于零,F(t)??(t)f(x2?y2)d?,G(t)?D(t)D??(t)?t?1f(x2,

)dx其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.

(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).

九 、(本题满分10分)

34

?322??010设矩阵A???232?,P???101?,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴

????223?????001??随矩阵,E为3阶单位矩阵.

十 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:

ax?2by?3c?0,l2:

bx?2cy?3a?0,

l3:

cx?2ay?3b?0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.

十一 、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二 、(本题满分8分)

设总体X的概率密度为?2(x??f(x)? 2e) x??

0x?0其中??0是未知参数.

从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记???min(X1,X2,?,Xn). (1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).

(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.

35

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且

f(1)?0,则f(x)=__________ .

(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分

?Lxdy?2ydx的值为__________.

(4)欧拉方程2x2dydx2?4xdy?2y?0(x?0)的通解为__________ .

dx?210(5)设矩阵A????120?,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则

?001????B=__________ .

(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

2(7)把xx?0?时的无穷小量???20costdt,???xx0tantdt,???0sint3dt,使排在后面的是前一个的

高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)?,?,? (B)?,?,? (C)?,?,?

(D)?,?,?

(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少 (C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)

(9)设??an为正项级数,下列结论中正确的是

n?1(A)若limna?n=0,则级数?an收敛

n??n?1(B)若存在非零常数?,使得limna??,则级数??nan发散

n??n?1(C)若级数??an收敛,则limn2an?0

n?1n??(D)若级数??an发散, 则存在非零常数?,使得limn??nan??

n?135

(10)设

tf(x)为连续函数,F(t)??t1dy?f(x)dx,则F?(2)等于

y(A)2f(2) (B)f(2)

(C)?f(2)

(D) 0

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?01?(A)?0??100? (B)?010?

?01??101? ?1???001?????010??(C)??100?

(D)?011??11??100? ?0???001????(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有

(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13)设随机变量

X服从正态分布

N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若

P{X?x}??,则x等于

(A)u?

(B)u

21??2(C)u1??

(D) u1??

2(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为?2?0.

令1n?nY?Xi,则

i?1(A)2Cov(X1,Y)??n

(B)Cov(X21,Y)?? (C)D(X1?Y)?n?2n?2

(D)D(X1?Y)?n?1n?2

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)

设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).

36

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.

?

(18)(本题满分11分) 设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数

??x?n收

n?1敛.

(19)(本题满分12分) 设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

??(1?a)x1?x2???xn?0,设有齐次线性方程组??2x1?(2?a)x2???2xn?0,??????(n?2),

???nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

36

(21)(本题满分9分)

?设矩阵A??12?3???14?3?的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. ???1a5??

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且P(A)?14,P(B|A)?13,P(A|B)?12,令

X???1,A发生, ?0,A不发生;Y???1,B发生, ?0,B不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布.

(2)X和Y的相关系数?XY.

(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为

?1F(x,?)???1??,x?1,

?x?0,x?1,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

求:(1)?的矩估计量.

(2)?的最大似然估计量.

37

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线2y?x的斜渐近线方程为 _____________. 2x?1(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为____________.

9(3)设函数222u(x,y,z)?1?x6?y12?z18,单位向量n??1=.________.

3{1,1,1},则

?u?n(1,2,3)(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,

则??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.

?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵

A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),

如果A?1,那么B? .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)?limn13nn???x,则

f(x)在(??,??)内

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点

(D)至少有三个不可导点

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有

(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数

(C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数

(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数

(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则

必有

?2u?2u2(A)2??2

(B)?u?2u?x?y?x2??y2

37

?2u?2(C)?x?y?u?y2

(D)?2u?2?x?y?u?x2

(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)

(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分必要条件是

(A)?1?0 (B)?2?0

(C)?1?0

(D)?2?0

(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B*

(B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得?B* (D)交换A*的第1行与第2行得?B*

(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则 (A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2

(D)a?0.1,b?0.4

(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则 (A)nX~N(0,1) (B)nS2~?2(n)

(C)(n?1)XS~t(n?1)

(D)(n?1)X21~F(1,n?1)

?nX2ii?2三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)

设D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二

重积分??xy[1?x2?y2]dxdy.

D38

(16)(本题满分12分) 求幂级数??(?1)n?1(1?1nn(2n?1))x2n的收敛区间与和函数f(x).

?1

(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别

是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连

续导数,计算定积分

?30(x2?x)f???(x)dx.

(18)(本题满分12分)

已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1.

证明:

(1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.

(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.

(19)(本题满分12分)

设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydyL2x2?y4的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有???(y)dx?2xydyC2x2?y4?0.

(2)求函数?(y)的表达式.

38

(20)(本题满分9分)

已知二次型f(x(1?a)x2221,x2,x3)?1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.

(1)求a的值；

(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

(21)(本题满分9分)

?已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B??123??246?(k为常数),且AB?O,求线性?36k????方程组Ax?0的通解.

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)?

10 0?x?1,0?y?2x其它

求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

(23)(本题满分9分)

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

39

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)limxln(1?x)x?01?cosx?.

(2)微分方程y??y(1?x)的通解是 .

x(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? . ?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= . (5)设矩阵A???21?12?,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B= .

???(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?= .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为

f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则

(A)0?dx??y

(B)0??y?dy (C)?y?dy?0

(D)dy??y?0

(8)设?f(x,y)为连续函数,则

?4?10d?0f(rcos?,rsin?)rdr等于

(A)22?2dx?1?x0xf(x,y)dy (B)2?21?x20dx?0f(x,y)dy

(C)

2?2dy?1?y2yf(x,y)dx

(C)

22dy?1?y20?00f(x,y)dx

(9)若级数??an收敛,则级数

n?1(A)??an收敛

(B)n?1??(?1)nan收敛

n?1(C)??a?1nan?1收敛

(D)an?an收敛

n?1??n?12(10)设

f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是

f(x,y)在约束条件

?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是

39

(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0

(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0

(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关

(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.

(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记

?110?P???010???,则

?001??(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1

(C)C?PTAP (D)C?PAPT (13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有 (A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)

(C)P(A?B)?P(A) (D)P(A?B)?P(B)

(14)设随机变量X服从正态分布N(?21,?21),Y服从正态分布N(?2,?2),

且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则

(A)?1??2 (B)?1??2

(C)?1??2

(D)?1??2

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xyD1?x2?y2dxdy.

40

(16)(本题满分12分)

设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limxn存在,并求之.

x??1(2)计算lim?xnx????1?x2n?x?. n?

(17)(本题满分12分) 将函数f?x??x展开成2?x?x2x的幂级数.

(18)(本题满分12分)

2设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x2?y2??z?2满足等式z?x2??y2?0.

(1)验证f???u??f??u?u?0.

(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.

40

(19)(本题满分12分) 设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有

f?tx,ty??t2f?x,y?.

证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.

L

(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组

??x1?x2?x3?x4??1?4x1?3x2?5x3?x?4??1 ?ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2. (2)求a,b的值及方程组的通解.

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