灰色预测与一元线性回归预测的比较

第22卷第1期2009年2月

四川理工学院学报(自然科学版)

JournalofSichuanUniversityofScience&Engineering(NaturalScienceEdition)Vol 22 No 1

Feb 2009

文章编号:1673 1549(2009)01 0107 03

灰色预测与一元线性回归预测的比较

刘晓叙

(四川理工学院机械工程学院,四川自贡643000)

摘 要:在介绍灰色预测和一元线性回归预测基本方法的基础上,用两个例子对两种方法的预测值进行了比较,结果表明:对所用的两个例子,灰色预测的GM(1,1)模型对数据的预测值精度较一元线性回归要好。

关键词:灰色预测;一元线性回归;比较中图分类号:TB11

根据系统已有的数据,按一定的方法建立模型,对系统的未来变化情况作出预测,是预测研究的主要工作。预测的方法很多,预测是否准确的关键,是能不能按照已有的数据和数据变化的趋势建立适当的数学模型,当模型能很好地反映数据的内在变化规律,则模型的预测数据就会与实际的数据比较吻合,反之则存在较大的误差。

从系统论的观点来看,影响一个系统的各个参数之间都存在一定的关系,有些是很确定的关系,这种确定关系通常可以用一个数学表达式来描述。还有很多复杂系统的参数之间存在不完全确定的关系,这些关系的相互作用,就表现为系统特征参数之间变化的随机性和不确定性。对大多数的预测所研究的对象,是系统各个参数之间具有复杂和不完全确定关系的系统。

在研究预测的模型中,最简单和常用的是系统的两个特征参数变化和分布关系呈现接近线性的关系,对这样的模型,一般是采用一元线性回归的方法,即最小二乘法。灰色系统理论是一门新兴的理论,灰色系统理论

[1]

认为:由于任何一个系统的各个因素之间都存在互相的关联和影响,呈现部分已知,部分未知的状态,所以,灰色系统理论把客观对象视为一个灰色的物质系统,在研究系统时,通过系统的表征信息,利用关联分析、灰数生成、灰色建模等信息加工手段,探求系统内在的规律,预测系统未来的发展状态。灰色预测就是运用灰色系统理论,通过灰色建模来对系统特征参数变化进行预测的一种实用方法。

本文将通过两个计算实例,用最小二乘法和灰色预测模型对数据预测精度进行一个比较分析。

收稿日期:2008 06 24

:( 男,四川叙永人,,主要从事机械设计方面的研究。

文献标识码:A

1一元线性回归

对基本符合线性关系的数据,一元线性回归所使用的最小二乘法是使回归的直线与散列的点在Y方向的距离最小为条件求出回归直线的系数a和b的。即对给定的n个点列(x1,y1),(x2,y2) .(xn,yn),设回归的直线方程为:

y=bx+a(1)点在y方向到直线的距离总的远近程度可以用

[2]

n

i=1

[yi-(a+bxi)]来定量的描述,所以可以把其看成

n

2

是一个二元函数:

Q(a,b)=

[y

i=1

i

-(a+bxi)]

2

(2)

从而把寻找一条直线,使其最接近n个点的问题,转化为找出两个数a^,b^,使二元函数Q(a,b)在a=a^,b=b^处达到最小的问题。通过公式推导,最后可得:

b=式中:

1

x=

n

--

n

i=1

(xi-x)(yi-y)

--

n

i=1

(xi-x)

-

1

xi;y= i=1n

--

y

i=1

n

i

(3)(4)

a=y-bx

2灰色预测

对二维问题,可以采用灰色预测中的GM(1,1)模

型,其基本的步骤如下:

108四川理工学院学报(自然科学版) 2009年2月

(1)对原始数据进行重新生成,在GM(1,1)模型中,它仅对原始数据进行一次累加再生成,方法是:

对一组原始数据列:(0)(0)(0)(0)

x=[x(1),x(2),....x(n)]进行一次累加生成,得到数列:(1)(1)(1)(1)

x=[x(1),x(2),....x(n)]

其中:x

(1)

两种模型的计算值与相对误差见表2,两种模型的图像如图1所示。

表2 模型计算值与误差

(5)(6)(7)

实际值305070100125

灰色模型预测模型计算值相对误差%

3052.25970.09294.011126.09169.12(预测值)

0-4.5173-0.131595.9887-0.87441

一元线性回归预测模型计算值

275175

99123147(预测值)

相对误差%

10-2-7.1429

11.6

(k)=

x

i=1

k

(0)

(i)

(2)生成x(1)的紧邻均值等权数列:

(1)

z=z(1)(k)|k=1,2,....其中:(1)(1)(1)z(k)=0.5[x(k)+x(k-1)](k=2,3, ,n)

(8)(3)根据灰色理论,对x(1)建立关于时间t的白化形式的一阶一元微分方程模型,记GM(1,1)

(1)dx(1)

+ax=b(9)dt其中:

T

a,b为待解参数设a^=[a,b],运用最小二乘法求解得:

TT-1

a^[a,b]=(BB)BYN(10)其中

YN=[x

(0)

(2),x(2)

(0)

(3),.....x1

1.1

(0)

(n)]

T

(11)

-zB

=

(1)

-z(1)(3)

.

(1)

(12)

-z(n)(4)解出a^后,就可以得到白化形式的微分方程解,(1)(0)

命x(0)=x(1),得

(1)(0)b-akbx^(k+1)=[x(1)-]e+

aa

(k=1,2, .n)(13)(5)将上述结果累积还原,即可得到预测值:(0)(1)(1)x^(k+1)=x^(k+1)-x^(k)14)

图1气缸磨损量与行驶里程关系预测模型图

3 计算实例

(1)某型内燃机气缸的磨损量与行驶里程的关系,

[3]

通过试验得到的测量数据见表1:

表1内燃机气缸磨损量测量值

行驶里程(km)磨损量下限值( m)

50001000015000200002500030

50

70

100

125

(2)某产品的一个技术指标与该产品工作转速关系的测量值见表3。

表3压力和工作转速的测量值

转速(1/min)指标值(MPa)

5001.11

5501.22

6001.27

6501.33

7001.49

7501.58

用灰色模型GM(1,1)计算得到的白化方程为:

(1)(0)b-akbx^(k+1)=[x(1)-]e+

aa0.2936k

=153.14032e-123.14032 (k=1,2,3,4,5,6)

采用一元线性回归得到的回归方程为:

12,3,4,,6)

用灰色模型GM(1,1)计算得到的白化方程为:

b-akb(1)(0)

x^(k+1)=[x(1)-]e+

aa

0.066583k

=17.3963e-16.2863

k=1,2,3,4,5

一元线性回归得到的回归方程为:y=0.087x+1.023 x=1,2,3,4,5

为便于比较,在建模时只使用前五个数据,用得到

第22卷第1期 刘晓叙:灰色预测与一元线性回归预测的比较109

差见表4。两种模型的图像如图2所示。

表4模型计算值与误差

灰色模型预测

实际值

模型计算值

1.111.221.271.331.491.58

1.111.19741.27981.36791.46211.5628

(预测值)

相对误差%

01.8538-0.77345-2.85251.87111.09

模型计算值

1.111.19701.28401.37101.45801.5450(预测值)

相对误差%

01.8852-1.1024-3.08272.14772.

2152

一元线性回归预测

出的两个例子,用灰色理论的GM(1,1)模型对数据的预测精度较一元线性回归都要稍高一些,这主要是由于灰色理论的GM(1,1)模型所得到的白化方程是一种指数形式的表达式,对数据变化的适应性更好一些。

4结束语

灰色系统理论把客观对象视为一个灰色的物质系统,在研究系统的变化规律时,通过抓住系统的表征信息,利用灰数生成,灰色建模的信息加工手段,研究系统内部因素间的变化规律,利用得到的灰色模型,来预测系统未来的发展,灰色预测在很多领域都有应用。

上面的两个例子表明,对基本符合线性关系的数据,采用灰色理论的GM(1,1)模型较一元线性回归的预测精度要高。用灰色理论的GM(1,1)模型进行建模时,并不直接采用已知的数据,而是通过对已知数据的再加工、即对灰数生成的数据进行处理来挖掘数据之间的内在联系,通过这种加工得到的数据及所建立的灰色模型,可以更好地揭示特定系统的运行机制和本质特征。灰色预测建模是少数据建模,对GM(1,1)模型可以仅需4个数据,对离散数据的分布没有要求。对本文所举的两个例子,应该说是灰色预测在离散数据接近线性分布情况下应用的特例,从例子的结果看出:灰色建模和灰色预测在一些特定的情况下,是一种较一元线性回归预测精度更好的实用预测方法。参考文献:

[1]罗佑新.灰色系统理论及其在机械工程中的应用

[M].长沙:国防科技大学出版社,2001.[2]陈家鼎,刘婉如,汪仁官.概率统计讲义[M].北京:高等教育出版社,1983.

[3]王羽,麻文炎,侯磊.发动机缸壁的耐磨寿命及可

靠性的研究[J].汽车技术,2000,23(8):24 26.

[4-6]

图2某产品压力与转速的关系预测模型

(3)结果分析

从上面两个例子可以看出,由于例子的数据分布关系基本接近线性关系,所以不论是一元线性回归还是灰色理论的GM(1,1)模型所得到的方程,都能很好地反映数据之间的变化关系,按方程得到的计算值与实际值之间的误差都不大。从相对误差大小比较的角度,对给

[4]张雅君,刘全胜.城市需水量灰色预测的探讨[J].

中国给水排水,2002,18(3):28 30.[5]王有良,唐跃刚.曲线拟合与GM(1,1)模型沉降预测及相关性分析[J].测绘科学,2008,33(3):13 15.[6]李延吉.基于灰色GM(1,1)模型预测固废气化焚烧污染

物排放[J].华东电力,2008,36(4):10 12.

ComparingforGreyForecastandForecastofOneElementLinearRegression

LIUXiao xu

(SchoolofMechanicalEngineering,SichuanUniversityofScience&Engineering,Zigong643000,China)

Abstrac:tBasedontheintroducingthebasicmethodsofgreyforecastandforecastofoneelementlinearregression,two

examplesareusedtocomparetheaccuracyofforecastvaluefortwomethods.TheresultsshowthatthemodelGM(1,1)ofgreyforecastisbetterthanoneelementlinearregressioninaccuracyofforecastvaluefortwogivenexamples.

:telemlinearregring

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rgt1.html