5-1-3-3 数阵图（三）-教师用

5-1-3-3.数阵图

教学目标

1. 了解数阵图的种类

2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题

知识点拨

.

一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵

图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

例题精讲

数阵图与数论

【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差

数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．

【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、

E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55， 得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.

【答案】2种可能

【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只

能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6?8?14是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．

【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3

【例 3】 在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下

一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分 【解析】 按顺时针方向：1,2，5,3，8，7,4，6或1,5,2，4，8，6，7,3或1,6,2,3，8，5，7，4或1,6，4，2，8，

7，5，3 (答对任一种给6分，总得分不超过12)由于无论如何填8都是最后一个填写，而填之前，已经走过了28步，因为 28÷8=3余4，即8永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从1到8顺序填写发现可以，此时从1顺时针为1、2、5、3、8、7、4、6；逆推：8前面的一个填有2、3、5、6、 7共5种可能。假设为2，如上图，再往前一个数有3、4、5、7共4种可能，设为3，再前推一个数可能是4或6，设为4，…依次类并排除错误的选择，可得1、5、2、 4、 8、6、7、3。

【答案】1、5、2、 4、 8、6、7、3。

【例 4】 在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、

6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛，第4题 【解析】 共6种

【答案】

【例 5】 图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填

入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a?b?g?f?A）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a?g?d?___________．

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第12题 【解析】 先考虑菱形顶点的和为3、6的倍数，7个数被3除的余数分别为1、0、2、1、0、2、1，可以得到

中间数g?8或14，同样分析5的倍数，7的倍数，得到具体的填法（如图），a?g?d?4?8?10?320评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。

1326112014FE04A8D10BC612

【答案】320

【例 6】 在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。请问这

样的填法存在吗?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。

16

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第18题，10分 【解析】 图中共有4个不同的数，每个数除以3的余数只可能有0、1、2三种，根据抽屉原理可知，这4个

数中必然至少存在一对同余的数，那么这两个数的差必然为3的倍数，故不存在这样的填法。

【答案】不存在这样的填法

【例 7】 如图?ABC被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求：(1)任

23何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如：和是互为倒数)；(2)四个小三角形里的数字的

32

乘积等于225。

则中问小三角形里的数是

ABC【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分 【解析】 四个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是1，所以将这三对数乘起来，得到的积还是1,但

1其中中间的数被乘了3次,如果只乘1次那么积为225，所以中间的数是.

151【答案】

15

【例 8】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第8题）2010年是虎年，请把1~11这11个数不重复的填入虎

额上的“王”字中，使三行，一列的和都等于18

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 三个答案均可

81562743115107961428310911

7141052811639

三个交叉点数的和是：?1?2???11??4?18?6，只能是6?1?2?3。剩下通过整数分拆即可得到如图的三种实质不同的答案 【答案】

815627431151079614283106951171428391110

【例 9】 将1～9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可

得到12个不同的和）。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第4题，8分 【解析】 答案不唯一。例如：

【答案】

【例 10】 在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。右图中A有3个相邻的方格，而B有8个相

邻的方格。图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如3表示相邻的方格中有3个偶数），每个偶数表示与它相邻的方格中，奇数的个数（如4表示相邻的方格中有4个奇数）。请在下面的4×4的棋盘中填数（至少有一个奇数），满足上面的要求。

AB3【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第12题，12分 【解析】 如右图

233234433443233224323334433323424

【答案】答案不唯一

23323443344323322432333443332342

【例 11】 在右图所示的5?5方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和

都是30。要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的2倍。

65614513171

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第12题，12分 【解析】 提示：设填入的较小的数为a，则较大的数为2a。第一行要填的两数之和为16，最后一列要填的两

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rgqo.html