2012年怀柔区四月高三年级调研考试理科数学试题及答案

2012年怀柔区四月高三年级调研考试理科数学试题及答案

2012.4

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=?B A C U )(

A ．{0}

B ．{2}

C ．{0，l ，2}

D ．φ

2．已知i 为虚数单位，2=i

z

，则复数=z

A ．i -1

B ．i +1

C ．2i

D ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A ．2

1

B ．1

C ．

2

3

D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是

A ．最小正周期为π2的奇函数

B ．最小正周期为π2的偶函数

C ．最小正周期为π的奇函数

D ．最小正周期为π的偶函数

6．过点π4,2A ?

?- ??

?引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为

A ．33

B ．36

C ．22

D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不 同的标字母方式共有

A ．24种

B ．48种

C ．72种

D ．144种

1

1

主视图

左视图

俯视图

开 始

i=1, s=0

s=s+i

1

i=i +2

输出S 结 束

否

是

8．若函数()() y f x x R =∈满足()()

2f x f x +=，

且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，

函数()()()lg 01 0x x g x x x ?>?

=?-

，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个

数为

A ．5

B ．7

C ．8

D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．二项式5

21??? ?

?-x x 的展开式中含4

x 的项的系数

是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011

1

51311+???+++

的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA 是圆的切线，

A 为切点，PBC 是圆

的割线，且PB PA 3=，

则=BC

PB

． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2

(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

13．已知不等式组???

??>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域

M 有公共点，则k 的取值范围是 ．

14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为

2

2的圆周上．从整点

i

到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则

2111243323221t t t t t t t t t t t t ?+???+?+?＝ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在ABC ?中，a b c 、、分别为角A B C 、、

的对边，且满足222

b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；

．

P

B

A

C

（Ⅱ）若3a =，设角B 的大小为x ，ABC ?的周长为y ，求()y f x =的最大值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是

正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD

的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．

（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：

SA ∥平面BDE ；

（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；

（Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45?

时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．

O S A B C D E

17．（本小题满分13分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰

有2件产品的重量超过505克的概率．

18．（本小题满分13分） 已知x x x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=

∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2

f x

g x >+； （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分14分） 已知：椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为2

3． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,

1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；

（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分 ）

定义：对于任意*

n ∈N ，满足条件2

12

n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．

（Ⅰ）若2

9n a n n =-+(*

n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；

（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502n

n b n ??

=- ???

，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范

围；

（Ⅲ）设数列1n p

c n

=

-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

C

C

A

C

D

B

C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．10 10．2011≤i 11．

2

1

12．]2,1( 13．)0,3

1[- 14．936-

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

15．（本小题满分13分）

在ABC ?中，a b c 、、分别为角A B C 、、

的对边，且满足222

b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；

（Ⅱ）若3a =，设角B 的大小为x ，ABC ?的周长为y ，求()y f x =的最大值． 解：（Ⅰ）∵2

2

2

b c a bc +-=，

∴2221

cos 22

b c a A bc +-=

=

又0A π<<， ∴3

A π

=

； -------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）∵

A

a x

b sin sin =， ∴x x x a b sin 2sin 2

33sin 3

sin

=?=

?=

π

同理)3

2sin(sin sin x C A a c -=?=

π

∴3)6

sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=π

πx x x y

∵320,3ππ

<

<∴=

x A ∴)6

5,

6(6π

ππ∈+x ， ∴6

2

x π

π

+

=

即3

x π

=

时，max 33y =.----------------------------13分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．

（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：

SA ∥平面BDE ；

（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45? 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA ?平面BDE ，OE ì平面BDE ，

所以SA ∥平面BDE .-----------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.

建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0, 2)S ，(

)

2, 0, 0A

，

()0, 2, 0B ，()

2, 0, 0C -， ()

0, 2, 0D -.

所以()22, 0, 0AC =- ，()

0, 22, 0BD =-

.

设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=?.

所以22(2, 0, )22E a a -+，22

(2, 2, )22

BE a a =-+- . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，

则0,0

BD BE ??=???=?? n n 即0, 22

(2)20.22

y a x y az =??

?-+-+=?? O

S

A

B

C

D

E

O

y

z

x

S

A B

C

D

E

令1z =，得(, 0, 1)2a a

=-n . 易知()

0, 22, 0BD =- 是平面SAC 的法向量. 因为(, 0, 1)(0, 22, 0)02a BD a

?=?-=- n ， 所以BD ⊥ n ，所以平面BDE ⊥平面SAC .-------------------------------------9分

（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，

平面BDE 法向量为(, 0, 1)2a a

=-n . 因为SO ABCD ⊥底面， 所以(0, 0, 2)OS = 是平面SAC 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45?. 所以2cos , cos 452

OS ??=?= n ， 所以22

22

()122a a =+?-，解得1a =.[ 所以点E 是SC 的中点.-----------------------------------------------------------------14分

17．（本小题满分13分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰

有2件产品的重量超过505克的概率．

解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=?+??件------------2分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2

22824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130

C P C ξ===, ξ的分布列为

-------------------------------------------------------9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其

频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，

令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，

故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分 18．（本小题满分13分） 已知x x x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=

∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2

f x

g x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，x

x x x f 111)(-=-=' ∴当10<

当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增

∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分

（Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，

∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，x

x x h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12

121211)()(x f e e h x h ==+<+== ξ 0 1 2 P 13063 13056 130

11

∴在（1）的条件下，1()()2

f x

g x >+------------------------------------------------8分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x

=-x ax 1-= ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=

（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.

② 当e a

<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a a

f x f ，2e a =，满足条件. ③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e

a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.

综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分

19．（本小题满分14分） 已知：椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为2

3． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,

1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；

（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由33=a b ，222

32121b a b a +??=? ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：13

22

=+y x ---------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入13

22

=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=． 由322221+=-=+m m y y y ，3

2222221+-=-=m y y y ----------------------------6分

得3

1)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分） 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分

（Ⅲ）将2+=kx y 代入13

22

=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即

0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+?+y y x x y x y x ，又

211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=

+++++k k x x k x x k ． 解得6

7=k ，此时（*）方程0>?， ∴存在6

7=k ，满足题设条件．------------------------------------------------------14分 20．（本小题满分13分 ） 定义：对于任意*

n ∈N ，满足条件

212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．

（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列； （Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502n n b n ??=- ???

，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （Ⅲ）设数列1n p c n

=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． 解：（Ⅰ） 由29n a n n =-+，得

2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n 所以数列{}n a 满足

212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ??=--+ ??

?，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20. 综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n n n n b b n n ++??????-=+--+=- ? ? ???

????， 所以当1350022n ??-≥ ???

即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rglq.html