高三物理曲线运动总复习

第四章 曲线运动

第一课时 考点梳理

知识结构

等时性合运动与分运动的关系等效性运动的合成和分解独立性合成与分解的法则—平行四边形法则平抛运动的条件:初速度水平;仅受重力曲线运动平抛运动研究方法:水平方向匀速运动;竖直方向自由落体运动1gt2)2S=x2?y2=(V0t)2?(2规律:VX=V0,X=V0t.Vy=gt,y=2gt12有关物理量及其关系πr=2V=2πfr=ωrT2S1,π2fV=t,ω=t,T=fω=2T=πVπa=rπ2f2r=4=ω2r=42r2φ匀速圆周运动F=ma=m应用实例:火车、自行车、飞机拐弯，汽车过拱桥，离心现象等轻绳束缚:Vmin=Rg圆周运动的临界条件轻杆束缚:Vmin=02mf2rπr=4π=mωVωr=m42r=mT2V2T2三、本章知识考查特点及高考命题趋势

本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高解决实际问题的能力。在高考中对本章知识的考查重点在于：（1）平抛运动在前几年的考题中都有所体现，在近两年考题中出现的几率较小，但仍要引起注意。（2）匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周运动的力学特点，要引起足够的重视，另外天体运动的考查都离不开匀速圆周运动。（3）本章中一些考题的特点是：一题中考查知识点多，有相当一部分是与电场、磁场、机械能结合的综合题，以及与实际生活、新科技、新能源等结合的应用性题型。

实用复习建议

掌握基础知识、基本概念，抓住处理复杂运动的基本方法——运动的合成与分解，能将所学的知识进行合理的迁移，在处理圆周运动问题时，要区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的区别，同时要首先确定圆心位置和圆轨道平面，认真分析向心力的来源。

第二课时

运动的合成与分解

一、考点理解

（一）曲线运动

1、物体做曲线运动的条件：运动物体所受的合力跟它的速度方向不在一条直线上。 2、曲线运动的特点：

（1）运动学特征：做曲线运动物体在某点的速度方向就是该点的切线方向，所以曲线运动的物体速度方向时刻改变，即速度矢量时刻改变。曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零。

（2）动力学特征：曲线运动物体所受合外力方向和速度方向不在一直线上，且一定指向曲线的凹侧。 3、曲线运动的轨迹与合外力方向的确定

（1）做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向。若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；若合外力为恒力且与初速度方向不在同一直线上，则物体做匀变速曲线运动。

（2）当物体受到的合外力的方向和速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大；当物体受到的合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体所受合外力的方向与速度方向垂直时，该力只改变速度的方向，不改变其大小。 （二）运动的合成与分解 1、合运动与分解

已知物体的分运动求合运动叫运动的合成，已知物体的合运动求分运动叫运动的分解。运动的合成和分解是解决曲线运动问题的基本方法，即较复杂的运动可以看作较简单的运动的合运动。必须明确：运动的合成和分解遵循矢量合成和分解的平行四边形定则；

2、合运动与分运动的关系

（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。

（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它运动的影响。 （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果。 3、合运动的轨迹与分运动性质的关系：

（1）两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。

（2）一个匀速运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。

（3）两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在一条直线上，是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，是曲线运动。

4、运动的分解的两种基本方法：

（1）运动效果法：在实际问题中，一个运动到底应该怎样分解，可以根据合运动产生的效果，具体问题具体分析。

（2）功率相等法求合速度与分速度大小关系

在确定哪个运动是合运动，哪个运动是分运动时，要明白的一点是：实际轨迹上的运动永远是合运动。

二、方法讲解

1、运动的合成和分解的平行四边形法或三角形法

如图甲所示，人在船上匀速走动而船又在水中匀速航行。在某段时间内，如果船不动，人对岸的位移为AB；如果人不动，由于船航行造成人对岸的位移为AC。当

两位移同时存在时，在岸上的观察者所看到的人的合位移就是由平行四边形法则求出的AD。平行四边形法还可用更简单的办法来代替，如图乙所示，从A出发，把表示人对岸的两个分运动的位移AB、BD首尾相接地画出，则从A指向D的有向线段同样表示了人对岸的合运动的位移，这种方法叫运动合成的三角形法。

若人的两个分运动位移用S1、S2来表示，合运动位移用S表示，则：SAB甲CDAB乙D?S1?S2

速度和加速度的合成也可以按平行四边形法或三角形法表示，即：

???1??2，a?a1?a2

2、在实际问题中，有的是考查曲线运动的条件，有的是考查两分运动的独立性的性点，有的考查用三角形求极值问题，有的是利用分运动规律求解实际问题，一定要认真对待。

3、关于斜牵引运动的基本规律及分解方法

所谓“斜牵引运动”是指牵引方向与被牵引物体的运动方向不在同一条直线上，此时物体做变速直线运动。为了确定合运动与分运动的关系，一般应按如下步骤进行：

（1）确定合运动的方向——物体运动的实际方向就是合运动即合速度的方向。

（2）确定合运动的两个效果——一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是垂直牵引方向的转动效果，改变速度的方向。

（3）将合速度按平动、转动效果分解，确定合速度与分速度的大小关系。

三.考点应用

例 1:如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为?A，当OA绳与水平方向夹角为?时，求：（1）车运动的速度?B多大？（2）车B是否做匀速运动。

分析:此题的关键是分清合速度与分速度，并根据实际运动情况，确定速度的分解方向。 解答:（1）车前进的速度?B取决于船前进而使OB段绳子变短的快慢，可把?A分解为一个沿

BOθAVAV2绳子方向的分速度?B和一个垂直于绳的分速度?2，如图所示，所以车前进的速度?1应等于?A的分速度?1，即?B=?1=?Acos?。（2）当船匀速向前运动时，?角逐渐减小，车速度?B将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。

点评:（1）该题是速度的分解问题，船的前进速度?A产生了绳子的下拉速度?1（沿绳的方向）和绳子以滑轮为轴的转动速度?2。

（2）将船的速度?A分解时，每一位置的分解方法相同，但两个分速度的大小不同（因为?角变化） （3）让学生学会分析这类题的方法，该题就是速度的正交分解问题，因此，合速度一定大于分速度，在比较两个速度的大小时（如比较?A与?B的大小），可通过比较位移的大小来确定（因时间相同）。

例3：如图所示，一辆汽车通过轻绳和定滑轮将竖井中质量为m的重物吊起，开始左右两侧的绳处于竖直状态，且左侧的绳长为H，汽车静止不动，然后汽车向左行驶，当通过水平距离H时，汽车的速度达到?。求此过程中绳的拉力对重物做了多少功？

分析：此题考查的重点是运动的合成与分解，并要运用功能原理，解答时要分清合速度与分速度以及合速度与分速度的关系。

解答：设此时重物的速度为??，上升高度为h。根据功能原理，绳的拉力对重物所做的功，等于重物机械能的增量，即

V⊥θVAV1vv450V∥θHHvm

?2??① w?12m??mgh汽车沿水平方向向左运动有两个效果：一是使绳上各点沿绳平动，且平动的瞬时速率就是重物上升的速率；二是使绳绕左侧的定滑轮转动。因此，汽车的速度?应分解为相对绳垂直的分量??和平行的分量?‖，且平行分量的大小就是重物上升的速率，即

????‖??cos450?h?Hsin45022???②

根据三角函数的关系，重物上升的高度为：

?H?(2?1)H??③

所以，绳的拉力对重物做的功为：

2w?1m??(2?1)mgH 4点评：解决问题的关键在于分清合速度和分速度，并根据实际运动的情况，确定合速度的分解方向。若将本题运动的分解和绳受拉力的分解混同起来，很容易得出错误的结果，认为?m误的原因就在于不能正确分析合运动和分运动间的关系。

例4： 渡河问题是运动合成与分解的典型模型，在渡河问题的情景中，有四个重要的极值规律，下面将分别进行探究并证明。

情景：一条大河，设河岸平直，船相对水的速度为?船（即船在静水中的速度），水的流速为?水（即水对地的速度），船的合速度为?（即船对地的速度，其方向就是船的航向），河的宽度为L。

问题探究1：当船头垂直河岸，即?船VyαV船V船??/cos?。产生错

xVV水LVx(1)??水时，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

证明：如图（1）所示，设船头与河岸的夹角为a，则渡河时间可以表示为：

1t??Ly??船Lsinα?sinα

当sinα?1，即α?900时，渡河时间最短，此时，tmin??L

船?水L?船这里应该注意：渡河时间与水的流速无关，水的流速只影响船下漂的距离，即：

x?(?水??船cosα)t?(?水??船cosα)?船Lsina 当α?900时，下漂距离为：x?

问题探究2： 在?船＞?水的条件下，当船的合速度垂直河岸时，渡河位移最小，并等于河宽，即Smin?L

V船αV(2)V水L证明：如图（2）所示，当合速度?的方向即船的航向垂直河岸时，船将达到正对岸，不会下漂，即x=0，位移最小为Smin?L。这时，船头与河岸的夹角应为α?arccos?水?船

问题探究3 ：在?船＜?水的条件下，当船头与船的合速度方向垂直，即?船 ??时，渡河位移最小。

证明：如图（3）所示，当?水恒定不变，?船的大小不变而方向变化时，根据矢量合成的三角

LV船xminsmin(3)αV水形法则，合速度?的矢尖总是在以?船为半径的圆周上；当?与圆相切，即?船??时，下漂距

α离（x）所对应的α角最小，下漂距最小，总位移（s）最小。这时，船头应指向上游，与河岸的夹角即为α，其大小应为：α?arccos?船?水

这时，最小下漂距离和最小位移分别为：

xmin?Ltanα，

LSmin?cosα

问题探究4： 船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即?船的速度最小，并等于水的流速沿垂直航线的分量。

??时，船相对水

证明：如图（4）所示，设航线OA与河岸的夹角为α。为了沿此航线到达对岸，首先必须保证合速度?的方向与航线重合。为了使船相对水的速度最小，在同样条件下消耗功率最少，只有船相对水的速度与水的流速沿垂直航向的分量等值反向，才能保证船在垂直航线方向的速度为零。所以，船对水的最小速度为：

?船min?????水sinα??水LOA

船渡河的速度?的大小就等于?水平行航线的分量，即?位移为：

??水cosα。此时，船沿航线方向的运动

s??t?(?水cosα)t

通过对渡河问题的深入探究，可以帮助我们加深理解运动的合成与分解中的相关问题。

点评：小船同时参与两个运动，随水漂流和船在静水中运动，由于分运动之间的独立性和等时性，不管?水和?船大小如何，当??最大时，渡河耗时最少，所以小船正对对岸航行时??=?船为最大；由?船与?水组成的平行四边形可知，当?船＞?水时，故航程最短为河宽；当?船＜?水时，?合可以垂直于对岸，

?合不可能垂直于对岸，航程最短为

四、课后练习

L.?水

?船

。这种情况要特别注重其分析方法。

1、（1999年上海）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向改变而大小不变（即由F变为—F）。在此力作用下，关于物体以后的运动情况下，下列说法正确的是（ ）

A、物体不可能沿曲线Ba运动 B、物体不可能沿直线Bb运动 C、物体不可能沿曲线Bc运动 D、物体不可能沿原曲线B返回A

vABcbaLV船(4)OV⊥V∥αVV水A2、（2001年全国）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，

水流速度为?1，摩托艇在静水中的航速为?2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如果战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点距O点的距离为（ ）

A、

d?222?2??1 B、0

d?2?1C、

d?1?2 D、

3、（2000年全国）如图为一空间探测器的示意图，p1、p2、p3、p4是四个喷气发动机，p1、p3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，p2、p4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率?0向正x方向平动。要使探测器为向正x偏负y60的方向以原来的速率?0平动，则可（ ）

A、先开动B、先开动C、开动

0p1适当时间，再开动p4适当时间

p3适当时间，再开动p2适当时间

p4适当时间

D、先开动

p3适当时间，再开动p4适当时间

4、（2001年上海）关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（ ）

A、一定是直线运动 B、一定是抛物线运动

C、可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D、以上说法都不对

V船xVV水AxOV船VαOV水O5、一条大河宽为y=300m，水的流速为?水=1.0m/s。如图所示，一艘船在静水中的速度为?船=3.0m/s。试回答下列问题：

（1）若船以最短时间渡河，到达对岸时下漂距离是多少？ （2）若船要到达距离正对岸x0?100m的上游码头A，需要多少时间？

?50m/s，并在下游形成壮观的瀑布，

ALV∥VαV⊥SVminO6、如图所示，一条河宽为L=900m，水的流速为?最少，试回答：

（1）游艇应如何航行？最小速度是多大？ （2）游艇在河中航行的时间不能超过多少？

一艘游艇从距离瀑布水平距离为s=1200m的上游渡河，为了不会被冲进瀑布，而且消耗功率

第三课时 平抛物体的运动

一、考点理解

1、平抛运动的定义

水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动叫做 平抛运动。

2、平抛运动的性质

平抛运动的物体只受重力作用，且力的方向与初速

度方向垂直，因此平抛物体的运动是加速度恒定（恒为g）的匀变速曲线运动。

3、平抛运动的研究方法

运动的合成与分解是研究曲线运动的基本方法。根

据运动的合成与分解，可将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体来进行研究。

4、平抛运动的规律 运动位移：

X=υ0t（水平方向匀速直线运动）??① 1y=gt2（竖直方向自由落体运动）??② 2V0x/2xxOθαSVx＝V0,yP(x)VyyV运动轨迹：由①、②式中消去t，得：

y?g22?0x2（抛物线轨迹）

运动速度：

υx=υ0（水平方向匀速直线运动） υy=gt（竖直方向自由落体运动）

如图所示，以抛出点作为坐标原点，建立直角坐标系，有： （1）水平方向上：

x??0t ?x??0

（2）竖直方向上：

2 ?y?gt y?12gt（3）任意时刻位移

x?x2?y2 tan?y?x?gt2?0

（4）任意时刻速度:

222v?vx?vy?v0?(gt)2

tan??vyvxgt??0

（5）注意到：tanα动方向相同）。

?2tan?（即某时刻平抛物体运动的方向与过水平方向距离的一半处的直线运?2hg2hg（6）平抛运动时间：t0（7）水平射程：x0（由高度决定，与?0无关）。

??0（由?0和h共同决定）。

V0（8）平抛运动的速度变化：

△V1VV2△V

V3△V

???g?t，即相等时间内速度改变量相等，如图所示。

二、方法讲解 1、常规解法是运动的分解法

①水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个运动的存在而受到影响。

②水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等时性。由t?2h/g可知，平抛物体在空中

运动的时间t只决定于物体抛出时离地的高度h，而与抛出时的初速度?0无关。

2、特殊的解题方法是选择一个适当的参考系。选择一个自由落体运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系是水平匀速直线运动，选择一个相同初速的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体相对这个参考系是做自由落体运动。这种方法在解判断题时是方便的。

3、平抛物体运动的解题思路

运用运动的合成和分解法是解平抛物体运动问题

的基本方法，解题时一般是通过分析题意，将平抛物体运动分解为水平方向上匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动去研究。根据平抛物体运动位移和速度规律，结合运用一些几何知识列出方程，求解问题的结果。

三、考点应用

例1：如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37和53。在顶点把两个小球以同样大小

的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（ ）

A、1:1 B、4:3 C、16:9 D、9:16 分析：由平抛物体运动位移规律，可得：

37000AB53O?x??0t ?21y?gt2?由图知：tan?有：

tAtB?yx,故t?2?0tan?g，所以

VxVθVy?tan370tan5309?16。故D选项正确。

答案：D

点评：灵活运用平抛运动位移规律（或速度规律）是解这类题的基本方法，应用时必须明确各量的物理意义，不能盲目套用公式。

例2：如图所示倾角为?的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛 出点到落点间斜边长为L

①求抛出的初速度？

②抛出后经多长时间物体离斜面最远？

分析：本题的特点是起点和落点都在斜面上，则物体的位移与水平线的夹角为斜面的倾角，同时通过分析可得出物体离斜面最远时，速度方向平行于斜面。

解答：①钢球做平抛运动，下落高度

V0Lθ

2，飞行时间 t?2Lsin?/g水平飞行距离 Lcos???0t Lsin??12gt初速度

?0?Lcos?/t?Lcos?/2Lsin?/g

?gL/2sin?cos?

②当物体的速度方向平行于斜面时，离斜面最远，如图所示 此时物体竖直方向上的分速度为：

?y??x.tan???0tan?物体从抛出到离斜面最远所用时间为：

t??yg???0tan?gLsin?2g

点评：解答斜面上的平抛问题，除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角。找出斜面倾角同位移和速度与水平方向的夹角的关系，从而使问题得到简化。

例3：在离水平地面高度为H处有一小球A，在A的右边，与它的水平距离为s处的地面上，有另一小球B，如图所示，现同时把两球抛出。A球沿水平方向向右，抛出时的初速度为?A，B球竖直向上，抛出时的初速度为?B。设H、s是已知的，问：

（1）要想使两球空中相碰，?A、?B各应满足什么条件？

（2）若从抛出到相碰所经历的时间为最长，则B球运动的路程是多少？

分析：此题有两个物体分别做两种运动，A物体做平抛运动，B物体做竖直上抛运动，要根据它们的运动特点，找出它们相碰的条件，即A的水平位移为s，A与B在同一高度，再根据位移关系找出时间关系

解答：（1）设A球从抛出至落地的时间为t1，则：H2??① ?1gt12AHVAVBBS在t1时间内，A球在水平方向运动的路程不能小于s，否则不可能与B球相碰，故有：

?At　1≥s??②

由①、②两式得?A应满足的条件：

?A ≥sg2H??③

抛出后经时间t，B球上升到离地面的高度为hB处，则：

2??④ hB??Bt?12gt这时A球离地面的高度为hA则：

hA?H?12gt

2??⑤

若B球在运动过程中与A球相碰，则应满足：hA?hB；??⑥

Os??At ??⑦

由④、⑤、⑥式可得：H联立⑦、⑧两式得：?Bxy)P(x,??Bt??⑧

12y?Hs?A?Hg ??⑨

故③式和⑨式即为使用两球中相碰，?A、?B各应满足的条件。 （2）如果要使A、B球在抛出后经过较长的时间才相碰，由⑧式知tH??B，即?B要较小。但碰撞必

须发生在A球落地之前，故经历最长的时间即为A球从抛出至落地的时间t1。由①式和⑧式可得出，?B的最小值为：

?B?Ht1?12gH

B球上升的最大高度为：hm?2?B2g?14H

则B球从抛出到碰撞时刻经过的总路程为： sB?2hm?12H点评：研究做平抛运动的物体A和做竖直上抛运动的物体B，在不同的情况下相碰所应满足的条件，问题具有综合性和复杂性，对能力的要求也较高，在分析问题时，不仅要抓住两种运动的关联性，还须建立其数学关联方程，并根据物理意义，严密推导求解，从而得到正确的结论。

例4：如图所示，为一物体做平抛运动的x-y图象，物体从0点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移。

P（x、y）为物体运动过程中的任一点，其速度的反向延长线交于x轴A点（A点未画出），则0A的长为：

（ ）

A、x ; B、 0.5x C、0．3x D、不能确定

分析：作出图示如图，设?与竖直方向的夹角为α，根据几何关系

?0tan???yOyyA??①

xαEPBVyxV0V由平抛运动得

水平方向：x =?0t??② 竖直方向：

??③ y?12?yt由①②③得tan?在Rt?ABE中，

?2xy

xAE=ytanα=2

x所以OA?2，选 B

答案：B

点评：从解题中我们发现：①平抛运动中以抛出点O为坐标原点的坐标系中任一点P（x，y）的速度方向与竖直方向的夹角为α则tan?x处，这两个结论可?2xy；②其速度方向的反向延长线交于x轴的2用于分析其它的平抛、类平抛问题。

四、课后练习

1、（1996·全国）如图所示，以9.8m/s的水平初速度?0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角?为30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（ ）

A、3s B、3s C、3s D、2 s

3、（1997·上海）在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地，已知汽车从最高点至着地点经历的时间约为0.8s，两点间的水平距离约为30m，忽略空气阻力，则最高点的速度大小是 （取g=10m/s）

4、（2003·上海）如图所示，在研究平抛运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开轻质接触式开关s，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落。改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后（ ）

A、水平方向的分运动是匀速直线运动 B、水平方向的分运动是匀加速直线运动 C、竖直方向的分运动是自由落体运动 D、竖直方向的分运动是匀速直线运动

5、（2004·湖北）一水平放置的水管，距地面高

2

0V0323θh=1.8m，管内横截面积s?2.0cm。有水从管口处以不变的速度??2.0m/s源源不断地沿水平方向射出，

2

设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水？

g?10m/s，不计空

2

6、一网球运动员在离网的距离为12m处沿水平方向发球，发球高度为2.4m，网的高度为0.9m。 （1）若网球在网上0.1m处越过，求网球的初速度。

（2）若按上述初速度发球，求该网球落地点到网的距离。（取g

?10m/s，不考虑空气阻力）

2

第四课时 匀速圆周运动

一、考点理解

1、关于匀速圆周运动

（1）条件：①物体在圆周上运动；②任意相等的时间里通过的圆弧长度相等。 （2）性质：匀速圆周运动是加速度变化（大小不变而方向不断变化）的变加速运动。 （3）匀速圆周运动的向心力：

①是按力的作用效果来命名的力，它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向

心力。例如，小铁块在匀速转动的圆盘上保持相对静止的原因是，静摩擦力充当向心力，若圆盘是光滑的，就必须用线细拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起做匀速转动，这时向心力是由细线的拉力提供。

②向心力的作用效果是改变线速度的方向。做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为向心力，它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变化的（线速度大小变化的非匀速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度）。

③向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。例如，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和重力（F向?T拉?mg）两个力的合力充当。

?mgtan?，其中?为摆线

而在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是由重力的分力（F向与竖直轴的夹角）充当，因此决不能在受力分析时沿圆心方向多加一个向心力。

④物体做匀速圆周运动所需向心力大小可以表示为：2、描述圆周运动的物理量

2?F?ma?m?mr??mr4T?2r

22

（1）线速度：

??s，方向沿圆弧上该点处的切线方向。描述t（s是物体在时间t内通过的圆弧长）

了物体沿圆弧运动的快慢程度。

（2）角速度：??，描述了物体绕圆心转动的快慢程度。 ??t（是物体在时间t内绕圆心转过的角度）

?r??2??2??1f（3）周期与频率：T转数叫频率）。

（沿圆周运动一周所用的时间叫周期，每秒钟完成圆周运动的

（4）向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量。大小：a向心总是指向圆心，方向时刻在变化，是一个变加速度。

??r?r?2?r4T?222。方向：

说明 当?为常数时，a向心与r成正比；当?为常数时，a向心与r成反比。因此，若无特殊条件说明，不能说a向心一定与r 成正比还是反比。

3、匀速圆周运动的运动学特征

匀速圆周运动的线速度大小不变但方向不断变化；周期不变；频率不变；角速度不变；向心加速度大小不变但方向不断变化。 二、方法讲解 1、匀速圆周运动的分析方法

对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析： （1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。

（2）明确运动情况。包括搞清运动速率?、轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等，只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小（m?2/R）和向心力方向（指向圆心）。

（3）分析受力情况，对物体实际受力情况作出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供的向心力）。

（4）代入公式F?m?R2，求解结果。

2、匀速圆周运动中向心力的特点

由于匀速圆周运动仅是速度方向发生变化而速度

大小不变，故只存在向心加速度，物体受的外力的合力就是向心力，可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。

在求解匀速圆周运动的问题时，关键是对物体进行受力分析，看是哪一个力或哪几个力的合力来提供向心力。

三、考点应用

例1：如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则（ ）

A、a点和b点的线速度大小相等 B、a点和b点的角速度大小相等 C、a点和c点的线速度大小相等 D、a点和d点的向心加速度大小相等

分析：皮带不打滑表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，即a、c两点的线速度大小相等，C选项正确，A选项错误。

b、c、d三点同轴转动，角速度大小相等，B选项错误。

设a点线速度为?，c点线速度也为?，而d点线速度则为2?，所以：

cb2rrrd4araa??2r,ad?(2?)24r??r2。D选项正确。

答案：C、D

点评：本题考查的重点是描述圆周运动的线速度、角速度及向心加速度等几个物理量间的关系。需要明确的是：用皮带传动的皮带轮轮缘（皮带触点）线速度相等；固定在同一转动轴上转动的物体其角速度相等，解此类题时首先要明确究竟是线速度大小相等还是角速度大小相等，然后根据关系式，用比例的方法求得问题的结果。

例2：如图所示，两绳系一个质量为m=0.1kg的小球，上面绳长l=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为

AB300450300与45。问球的角速度满足什么条件，

0lC两绳始终张紧？

分析：分析两绳始终张紧的制约条件，当?由零逐渐增大时可能出现两个临界值；其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC仍然拉直，但不受拉力。对小球C进行受力分析，运用正交分解法分别对上述两种情况列出动力学方程求解。

解答：两绳张紧时，小球受的力如右图所示，当?由0逐渐增大时，?可能出现两个临界值。 （1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为?1，则有

ωFx?F1sin300?m?12Lsin300??①

AB300450lFy?F1cos30?mg?0??②

0yF1xmgF2C

代入已知解①②得，?1?2.40rad/s

（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为?2，则有

2Fx?F2sin450?m?2Lsin300??③

Fy?F2cos450?mg?0??④

代入已知解③④得，?2?3.16rad/s

可见，要使两绳始终张紧，?必须满足 2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s

点评：本题考查对匀速圆周运动的动态分析，即根据题给条件，确定临界状态是分析问题和解决问题的关键，同类问题还有在光滑的锥顶用细绳悬一小球，让小球和圆锥面一起匀速转动，当转速为某一值时，锥面对小球恰无支持力作用，转速大于这一临界值，小球将摆起，离开锥面做锥摆运动，且顶角随之增大。

例3：如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（ ）

A、600r/min B、900r/min C、1200r/min D、3000r/min

分析：风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T灯 内，风扇转过的角度是120的整倍数，即13圈的整数倍。T灯风扇的最小转速

1r31s300O01s ?30nmin??10r/s=600 r/min

故满足题意的可能转速

n?knmin（k=1，2，3?）

答案：ACD

点评：匀速圆周运动是一种周期性的运动，分析此类问题，关键是抓住周期性这一特点，得出可能的多解通式，解题过程中，常出现只考虑k=1的情况，而没有注意问题的多解性。

例4：如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方

L2处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，到悬点正下方时悬线碰钉子，则小球的（ ）

A、 线速度突然增大 B、角速度突然增大 C、向心加速度突然增大 D、悬线拉力突然增大 分析：小球碰到钉子后，将做r增大，a??r将大，FT答案：BCD

点评：注意速度不能“突变”，掌握这一点是解答本题的关键。

例5：如图所示，水平面上方挂一个摆长为L、摆球质量为m的单摆，若此摆球位于光滑水平面上，摆长仍为L，悬点到水平面距离为h（ h＜L ），摆球在水平面上以n转/秒的转速做匀速圆周运动，求水平面受到的压力，为使摆球不离开水平面，求转速n的最大值。

分析：摆球受力有三个：重力、支持力、摆线的拉力。当摆球对水平面压力为零时，摆球只受到两个

OhLαO2OCm?L22的圆周运动，碰钉子前后瞬间的线速度?不会改变，而?将增大。故答案为B、C、D

??r将

?mg?m?r

力作用。分别对这两种情况求出合力即向心力，然后列出动力学方程求解。

解答：受力分析如右图

FN?FTsin??mg??① FTcos??m?2R??②

由②式得：

FTFNOαOmgFTRL?m(2?n)2R

即FT?4?2n2mL

代入①式，整理得：

FN?mg?4?2n2mh

根据牛顿第三定律，水平面受到的压力大小FN?FN?mg?4?2n2mh，方向垂直水平面向下。 当FN??0时，n?12?gh

点评：摆球转速越大，摆线偏离竖直方向的夹角越大，摆球对水平面的压力就越小，摆球受到水平面的弹力即支持力也就越小。当支持力FN?0时，此时摆球的转速是摆球不离开水平面的最大转速。

四、课后练习 1、（2003·上海）某品牌电动自行车的铭牌如下：

车型：20时（车轮直径：508mm） 整车质量：40kg 外形尺寸： L1800mm×W650mm×H1100mm 电机：后轮驱动、直流永磁式电机 额定工作电压/电流：36V/5A 电池规格：36V 12Ah（蓄电池） 额定转速：210r/min 充电时间：2-8h 根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为（ ）

A、15km/h B、18km/h C、20km/h D、25km/h

2、（2004·上海春季）假设“神舟”五号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为?，半径为r，则计算其运行周期可用（ ） ①T④T?t2?t1n；②T?t1?t22?r； n；③T???2??r

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

3、（2003·杭州）机械手表中的分针和秒针在转动时，可视为匀速转动，分针和秒针从重合开始到第2次重合，中间经历时间为（ ）

A、1min B、59min

60C、

60min D、61min 59604、（2004·秦川）在如图所示的皮带传动中，小轮半径ra是大轮半径rb的一半，大轮上c点到轮心o?

c、d的竖直距离之比为1∶2∶3?，因而将a做为平抛出发点是错误的。

例3：如图所示，图甲是研究平抛运动的实验装置图，图乙是实验后在白纸上作的图。 甲yOxO19.644.1cm32.048.0x/ABy/cm乙（1）在甲图上标出0点及OX、Oy轴，并说明这两条坐标是如何作出的。 （2）说明：要求槽口切线水平的原因及判定方法。

（3）实验过程中需经过多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹。进行这一实验步骤时应注意什么？为什么？

（4）根据图乙给出的数据，计算此平抛运动的初速度?0

分析：（1）利用拴在槽口处的重锤线作出Oy轴，OX轴与Oy轴垂直。

（2）本实验中小球离开弧形槽端点时，也就是平抛运动的起点，为保证小球此时速度水平，就必须保证斜槽末端的切线水平。

将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚也不向外滚，说明槽口末端是水平的。 （3）应注意每次小球都从轨道同一位置由静止释放。

由于本实验是采用寻找同一运动轨迹上的各个不同点，然后再用描点法来确定轨迹的方法，小球下落一次只能测一个点，需多次测量，故应保证每次小球的平抛运动完全相同，即平抛物体的初速度必须每次都相同，为做到这一点，应使小球每次都从斜槽上的同一位置无初速度滚下。

（4）利用B点进行计算

2y?1gt,t?22yg?2?0.4419.8?0.30（s）

0.48?0?x?0?1.6(m/s) t.30答案：（1）利用拴在槽口处的重锤线作出Oy轴，OX与Oy轴垂直。

（2）将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚动，也不向外滚动，说明槽口末端是水平的。 （3）应注意每次小球都从轨道同一位置由静止释放。 （4）由y?得：?012gt2,t?g2y2yg

?xt?x?1.6m/s

点评：本题全面考查了学生的观察、理解、分析、

实验操作等各种能力，因此要重视实验过程和方法。

七.课后练习

1、如果小球每次从斜槽滚下的初始位置不同，下列说法中错误的是（ ） A、 小球平抛的初速度不同 B、小球每次均沿不同的抛物线运动 C、小球在空中运动的时间每次均不同

D、小球通过相同的水平位移，所用时间均不相同

2、在“研究平抛物体的运动”实验时，下列因素中会使该实验的误差增大的是（ ） A、球与斜槽间有摩擦

B、安装斜槽时其末端不水平

C、建立坐标系时，x轴、y轴正交，但y轴不够竖直

D、根据曲线计算平抛运动初速度时，曲线上取作计算的点离原点O较远

3、（1998·上海）在做“研究平抛物体的运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：

a、通过调节使斜槽的末端保持水平 b、每次释放小球的位置必须不同 c、每次必须由静止释放小球

d、记录小球位置用的木条（或凹槽）每次必须严格地等距离下降 e、小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相接触 f、将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线

4.右图为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm。如果取g=10m/s，那么

（1）闪光频率是 Hz （2）小球运动中水平分速度 的大小是 m/s。

（3）小球经过B点时的速度 大小是 m/s。

5、一个同学做“研究平抛物体运动”的实验，只在纸上记下重锤线y方向，忘记在纸上记下斜槽末端位置，并只在坐标纸上描出如图所示的一段 曲线。如何只用一把刻度尺算出这个物体的初速度.

2

ABCy

第四章 《曲线运动》参考答案

第一课时

1、做曲线运动的物体速度方向时刻在改变 2、曲线上该点的切线方向

3、做曲线运动的物体速度方向时刻在改变

4、物体所受的合力与速度方向成不等于0或180角（或不在一条直线上） 5、不等于0或180角（或不在一条直线上） 6、分运动 合运动

7、物体实际运动的位移 物体在各分运动方向上的位移 物体实际运动的速度 物体在各分运动方向上的速度 8、矢量

9、运动的合成 运动的分解 10、直线 曲线 直线

11、将一个物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动 12、水平方向上的匀速直线 竖直方向上的自由落体 13、抛物

14、质点沿圆周运动，如果在相等时间内通过的弧长相等，这种运动叫做匀速圆周运动 15、线速度的方向在不断改变

16、做圆周运动的物体通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值、圆周该点的切线方向 17、做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟转过这个角度所用时间的比值 18、做圆周运动的物体运动一周 19、??r ????r?2T2?T0000

20、10? 3.14 21、60 1/60 30 22、圆心

23、垂直 方向 大小 24、大小 圆心 变 25、向心力 方向 26、F??m?R?m4T?2R

222a??R??2R?4?2T2R

27、效果 作用效果 向心加速度

28、轨道对火车 火车重力 轨道对火车的支持力 29、汽车重力和路面（或桥面）的支持力

第二课时

1、ABD 2、C 3、A 4、C

5、解析：（1）如图所示，当渡河时间最短时，船头与河岸垂直，这时，船下漂的距离为：

x??水tmin??水y/?船?100m

（2）为了到达对岸上游的码头A，合速度应沿OA方向。设?船与河岸的夹角为a，则有：

x0?(?船cosα??水)t??①

y?(?船sinα) t??②

由①、②式可得： 3 cosα=5

所以，船到达上游码头需要 的时间为：tx0??船cosa??水?125s

6、解析 （1）为了不被冲进 瀑布，而且消耗功率最少，游 艇的临界航线OA如图所示， 船头应与航线垂直，并偏向上 游，最小速度等于水的流速沿垂直航 线的分量，即：

3?min?????sinα?5??30m/s

V船xVV水AxOV船VαOV水OALV∥VαV⊥SVminO（2）在OA航线上，游艇以水的流速沿平行航线的方向漂移，所以，允许船在河中航行的

最长时间为：

OAs tmax?OA???cosa?37.5‖第三课时

1、C 2、D 3、37.5m/S 4、C 5、2.4?10?4m，以t表示水由喷口处到落地所用的时间，有h?3

12gt2

单位时间内喷出的水量为Q空中水的总量应为v 由以上各式得v?s?

?Qt

2hg?s.v.

代入数值得v?2.4?10m

?43

6、解析 该运动员发球后，网球做平抛运动。以?表示初速度，H表示发球高度，S1表示网球开始运动时与网的水平距离，t1表示网球从发球到达网上的时间，h表示网球通过网上时离地面的高度，由平抛运动的知识得

S1??t1??①

2H?h?11??② 2gt由①、②式消去t1得

??2gs12(H?h)?23m/s

以t2表示网球从发球到落地的时间，s2表示网球开始运动的地点与落地点的水平距离，由平抛运动规律得

2??③ H?12gt2S2??t2??④

由③、④式消去t2得

S2??2Hg?16m

网球落地点到网的距离s?s2?s1?4m

第四课时

1、C 由题所给信息可得到额定转速n=210转/分=3.5Hz，车轮直径d=508mm，则由

???r?2?fr?2??3.5?(254?10?3)

=5.6m/s=20km/h，所以C选项正确。 2、A

3、C 分针角速度?12??60?60，秒针角速度?26059??260，从第一次重合至下一次重合，必有

?2?t??1?t?2?，则?t?360059s?4、ABD 5、C 6、C

min

7、B 由9mg?mg?m?，得RR2 ??8g28、40N；0。先求出CD拉力为零对应的临界角速度可知：当?有：mgtan?

?10rad/s时，CD绳处于松驰状态，此时

，又FBcos??mg，即可解得FB?40N。 ?m?2lsin?，得cos??14

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