湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

湖北省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试

数学试卷（文）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。 1．函数

在点（1，1）处的切线方程为（ ）

B．x+y﹣2=0 D．x﹣4y+3=0

A．x﹣y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 2．抛物线x2?A．2

1y的焦点到准线的距离为（ ） 4

B．4

C．1 8 D．12 3．函数f(x)?excosx在点(0,f(0))处的切线斜率为（ ）

A．0

B．?1

C．1

D．2 24．K为小于9的实数时，曲线

A．焦距

B．准线

与曲线

C．顶点

一定有相同的（ ）

D．离心率

x2＋a3?5. 曲线f(x)?在点(1,f(1))处切线的倾斜角为，则实数a?（ ）

x＋14A．1

B．－1

C．7

D．－7

x2y23a6．设F1,F2是椭圆E：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，P为直线x?上一点，2ab?F1PF2是底角为30?的等腰三角形，则椭圆E的离心率为 （ ）

A．1 2B．2 3C．34 D． 457．已知函数f(x)?sinx?cosx，且f'(x)?3f(x)，则tan2x的值是（ ）

?A.

43 4B.3

?

C.

34 3D.4

8．实半轴长等于

A．

，并且经过点B（5，﹣2）的双曲线的标准方程是（ ） 或

D．

1

B．

C．

9．抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足垂足为N，则?AFB?1200. 过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，值为（ ）

A．|MN|的最大|AB|3 3 B．1 C．23 3 D．2

a2x2y210．设双曲线2?2?1的两条渐近线与直线x?分别交于A,B两点，F为该双曲线的

cab右焦点．若60???AFB?90?, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A．(1,2) B．(2,2) C．(1,2)

D．(2,??) 11.函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2013，对任意的x?R，都有f?(x)?2x成立，则不等式f(x)?x2?2009的解集为（ ）

A．（-2，+?）

B. （-2,2）

C.（-?，-2）

D.（-?，+?）

x2y212. 已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)与圆C2:x2?y2?b2，若在椭圆C1上存在点P，

ab?过P作圆的切线PA,PB,切点为A,.B使得?BPA?，则椭圆C1的离心率的取值范围是

3（ ）

A．[231,] B．[,1) 222C．[2,1) 2D．[3,1) 2第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13．设点P、Q分别是曲线y?xe?x(e是自然对数的底数）和直线y?x?3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为

2C:y?x?x?1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[?1,3],则14．设P为曲线

点P纵坐标的取值范围是_______． ．．．15．已知P（x，y）是双曲线则

=1上任意一点，F1是双曲线的左焦点，O是坐标原点，

的最小值是 。

3

2

16．已知f（x）＝x＋3x＋a（a为常数），在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f（x）

的最大值是___________。

2

三、解答题（本大题共6小题，共70分）。 17．已知函数f?x??xa3??lnx?，其中a?R，且曲线y?f?x?在 4x21点?1,f?1??处的切线垂直于直线y?x

2（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数f?x?的单调区间及极值．

18．直线y?x?4与抛物线y2?4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积。

19．已知函数f(x)?(x2?ax?a)ex?x2，a?R

（1）若函数f(x)在(0,??)内单调递增，求a的取值范围； （2）若函数f(x)在x?0处取得极小值，求a的取值范围.

x2y220．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点

aba2E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点，且F1A//F2B,F1A?2F2B． c（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）求直线AB的斜率．

3

21．设函数f(x)?12x?mlnx，g(x)?x2?(m?1)x，m?0． 2（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当m?1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．

22．已知圆F1：(x?1)2?y2?r2与圆F2：(x?1)2?y2?(4?r)2(0?r?4)的公共点的轨迹为曲线E,且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线

MA,MB的斜率之积为1． 4（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标； （Ⅲ）求?ABM的面积的最大值．

4

一、 1 B 湖北省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试

数学试卷（文）

选择题 2 C 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B 11 A 12 D 二、填空题 3213．2

14. ?，3?

15．4﹣25 16. 57 三、解答题 17. 【答案】（Ⅰ）

?3??4?5；（Ⅱ）f?x?的递增区间为?5,???，递减区间为?0,5?，极小值为4f?5???ln5，无极大值．

1a1??， 4x2x13/ 由在点?1,f?1??处的切线垂直于直线y?x，知f?1????a??2 ，

2455 解得a?，所以，a的值为．

44【解析】（Ⅰ）对f(x)求导得f'(x)?x2?4x?5x53?lnx? ，则f'?x??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x??? ， 244x24x 令f/?x??0，解得x??1 或x?5 ，因x??1不在f?x?的定义域?0,???内，

'故舍去．

当x??0,5?时， f?x??0，故f?x?在?0,5?内为减函数；

当x??5,???时，f'?x??0，故f?x?在?5,???内为增函数． 由此知函数f?x?在x?5时取得极小值f?5???ln5

综上得，f?x?的递增区间为?5,???，递减区间为?0,5?，极小值为f?5???ln5，无极大值．

5

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、函数的极值． 18. 【答案】65

试题解析：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

直线交x轴于C(4,0)点，知F(1,0)，FC?3 …………2分

解??y?x?42

得 y-4y-16=0 ……………… 4分 2?y?4x得|y2-y1|=45 ……………… 8分

11S△ABF=?|FC|?|y2?y1|=×3×45＝65 ……… 10分

22考点：1.直线与抛物线相交；2.设而不求的思想；3.分割法求三角形的面积

19. 【答案】（1）a的取值范围是(??,0]，f'(x)?0在(0,??)，参变分离后即可求解；

x（2）求导可得f'(x)?xe(x?2?22x?2??a的零点x0的取值分类讨论，?a)，函数

exex结合条件f(x)在x?0处取得极小值即可求解.

6

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.构造函数的数学思想；3.分类讨论的数学思想. 20．（Ⅰ）e?32；（Ⅱ）?． 33a2?cEF2F2B11c试题解析：（Ⅰ）由F1A//F2B，且F，得，从而， ?A?2FB??122a2EF1F1A2?cc22整理，得a?3c，故离心率e?3， 32222222（Ⅱ）由（Ⅰ）得b?a?c?2c，所以椭圆的方程可写为2x?3y?6c，

a2设直线AB的方程为y?k(x?)，即y?k(x?3c)．

c由已知设A(x1,y1),B(x2,y2)，则它们的坐标满足方程组??y?k(x?3c)， 222?2x?3y?6c 7

消去y整理，得(2?3k2)x2?18k2cx?27k2c2?6c2?0， 依题意，??48c2(1?3k2)?0，得?333?k?3，．．．．．．．．．．．．．．．．．．（* ） 18k2而xc1?x2?2?3k2， ① x27k2c2?6c21x2?2?3k2， ②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1?3c?2x2 ③

联立①③解得x?9k2c?2c9k2c?12?3k2,x2c2?2?3k2，

将x1,x2代入②中，解得k??23满足（*）式，故所求k的值是?23． 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的斜率．

21. 【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0,??)，

f?(x)?(x?m)(x?m)x，

当0?x?m时，f?(x)?0，函数f(x)的单调递减， 当x?m时，f?(x)?0，函数f(x)的单调递增．

8

22．（1）

x24?y23?1，（2）N(0,23)，（3）3 2试题解析：（Ⅰ）设⊙F1，⊙F2的公共点为Q,由已知得，F1F2?2,QF1?r,QF2?4?r，故QF1?

QF2?4?F1F2, 因此曲线E是长轴长2a?4,焦距2c?2的椭圆，且

b2?a2?c2?3，所以曲线

E的方程为

x24?y23?1；

（Ⅱ）由曲线E的方程得，上顶点M(0,3),记A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知，

x1?0,x2?0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x?x1，故y1??y2，且

y

21?y2?3(1?2x124)，

9

因此

kMA?kMBy1?3y2?3y12?33?????， 与已知不符，因此直

x1x24x12线AB的斜率存在，设直线AB:

y?kx?m，代入椭圆E的方程

x24?y23?1得：

（3?4k2）x2?8km?4(mx2?3)?0…．①因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方

8km， 23?4k程①有两个非零不等实根x1,x2，所以x1?x2??4(m2?3)y1?3kx1?m?3y2?3kx2?m?3x1x2?，又，k??,k??AMMBx1x1x2x23?4k2由kAM?kBM?1，得 4（4kx1?m?3）(kx2?m?3)?x1x2, 即（4k2?1）x1x2?4k(m?3)(x1?x2)?4(m?3)2?0, 所以（4m2?3）(4k2?1)?4k(m?3)(?8km)?4(m?3)2(3?4k2)?0,化简得：

m2?33m?6?0，故m?AB恒过定点N(0,23)．

3或m?23，结合x1x2?0知m?23，即直线

（Ⅲ）由??0且

m?23得：

k??32或

k?32，又

S?A?S??BCAS?N?M1MN?x2?x1 23?(x1?x2)2?4x1x223?8km24(m2?3)?()?4?223?4k3?4k264k2?9?3?4k2?64k2?9?124k2?93 2?13212，当且仅当4k?9?12，即k??时，?ABM22的面积最大，最大值为 10

考点：1．求椭圆的标准方程；2．证明直线过定点；3．求三角形面积的最值；

11

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