随机过程 - 课件 - 第四章

第四章 Poisson过程

4.1 齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布

1、定理4-1

强度为?的齐次Poisson过程{Nt,t?0}的到达时间间隔序列?Xn,n?1,2,??是独立

1同分布的随机变量序列，且是具有相同均值证： 事件

?的指数分布。

即事件?X1?t?等?X1?t?发生当且仅当Poisson过程在区间?0,t?内没有事件发生，

价于{Nt?0}，所以有

P(Xt?t)?P(Nt?0)?e??t

因此，

X1具有均值为

1?的指数分布，再求已知

X1的条件下，X2的分布。

P(X2?t|X1?s)?P(在?s,s+t?内没有事件发生|X1?s)（由独立增量性）（由平稳增量性）?e??t上式表明

P(在?s,s+t?内没有事件发生)P(在?0,t?内没有事件发生)X2与X1相互独立，而且X2也是一个具有均值为

1?的指数分布的随机变量，重复

同样的推导可以证明定理4-1的结论。

2、定理4-2

等待时间Sn服从参数为n，?的?分布，即分布密度为

f(t)??e??t证：

(?t)n?1, t?0

(n?1)!因为第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n，即事件

?Nt?n???Sn?t?

是等价的，因此

P(Sn?t)?P(Nt?n)??ej?n???t(?t)jj!

上式两边对t求导得Sn的分布密度为

f(t)????e??tj?n?j?1?(?t)j(?t)???e??tj!(j?1)!j?n??e??t(?t),t?0(n?1)!n?1

注：定理4-2又给出了定义Poisson过程的另一种方法。从一列均值为1/?的独立同分布的指数随机变量序列?Xn,n?1?出发，定义第n个事件发生的时刻为Sn，则

Sn?X1?X2???Xn

这样就定义了一个计数过程，且所得计数过程?Nt,t?0?就是参数为?的Poisson过程。

3、定理4-3

条件随机变量(X1证： 对s|Nt?1)?U(0,t)，即在区间?0,t?内为均匀分布。

?t,(X1|Nt?1)的分布函数为

P(X1?s,Nt?1)P(X1?s|Nt?1)?P(Nt?1)P(在?0,s?内有一个事件发生，在?s，t?内没有事件发生)?P(Nt?1)P(在?0,s?内有一个事件发生)P(在?s，t?内没有事件发生)?P(Nt?1)P(Ns?1)P(Nt?s?0)?P(Ns?1)?se??se??(t?s)??te??ts?t这说明(X1

4、顺序统计量

|Nt?1)在?0,t?上服从均匀分布。

Y设Y1,?,Yn是n个随机变量，如果(k)是Y1,?,Yn中第k个最小值，k称Y(1),?,Y(n)是对应与Y1,?,Yn的顺序统计量。

5、定理4-4

?1,?,n，则

已知在Ntn个事件来到的时刻S1,?,Sn的联合密度与n个独立的?0,t?上?n的条件下，

均匀分布随机变量的顺序统计量的联合密度相同，即条件随机向量有联合分布

?S1,?,Sn|Nt?n?具

f(t1,?,tn)?证： 设0?t0n!, 0?t1???tn?t nt?t1???tn?tn?1?t，则把?0,t?分成n+1个小部分，于是有

P(ti??ti?Si?ti,1?i?n|Nt?n)?P(Nti??ti,ti?1,Nti?1,ti??ti?0,1?i?n;Ntn,t?0)P(Nt?n)(???tie???ti)e??(t1??t1)e??(t2??t2?t)?e??(t?tn)i?1n?e??t(?t)n/n!??(??tieni?1nn???ti)ee??t????tii?1ne??t(?t)n/n!i?1?n!(??ti)/tn所以对给定Nt

?n,(S1,?,Sn)的n维条件密度函数是

fS1,?,Sn(t1,?,tn|Nt?n)n??得证。

6、定理4-5

max?ti?0limP(ti??ti?Si?ti,1?i?n|Nt?n)/??ti

i?1n!tnN1(t)和N2(t)是相互独立的随机变量，分别服从均值为?tp和?t(1?p)的Poisson分

布，其中

1tp??P(s)ds

t0证： 考虑

?0,t?中发生的任一事件，如果它在s时刻发生，则它是1型的概率为P(s)。由定理4-4，

?0,t?上的均匀分布，所以

时刻s服从

1tp?P?一个事件发生且是1型???P(s)ds

t0而且与其他事件归为什么类型相互独立。因此

P(N1(t)?n,N2(t)?m|N(t)?n?m)

正好是n?m次Bernoulli试验中，1型事件出现n次，2型事件出现m次的概率。故有

?n?m?nm P(N1(t)?n,N2(t)?m|N(t)?n?m)??p(1?p)??n?所以有

P(N1(t)?n,N2(t)?m)??P(N(t)?n,N1k?0?2(t)?m|N(t)?k)P(N(t)?k)?P(N1(t)?n,N2(t)?m|N(t)?n?m)P(N(t)?n?m)

n?m?n?m?n(?t)m??t??p(1?p)e?(n?m)!?n?nm??tp(?tp)??t(1?p)[?t(1?p)]?e?en!m!由此证明了定理4-5的结论成立。 7、例题 例4-1

设乘客按参数?的Poisson过程来到火车站，若火车在t0时刻启程，计算在时间的乘客的等待时间总和的期望。 解：

设按照Poisson过程到达的第一位乘客的到达时间为S1，因此其等待时间为(t0位乘客的等待时间为(t0时间为

?0,t0?内到达

?S1)，而第i

?Si)，在时间?0,t0?内共来了Nt0位乘客，所以这些乘客总的等待

??ti?1Nt00?Si?

要求的就是上式的数学期望。为此先求条件期望

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