2014年各地中考题分类汇总——锐角三角函数

组一 一、选择题

1. （2014?四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

A．

B．

C．

，则tanB的值为（ ） D．

考点：锐角三角函数．

分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=

，设一条直角边BC为5x，斜边AB

为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B． 解答：∵sinA=故tan∠B=点评：

=

，∴设BC=5x，AB=13x，则AC=．故选D．

=12x，

本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函

数的定义和勾股定理的运用．

2. （2014?山东威海，第8题3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）

A． 考点： 分析： 解答： B． C． D． 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理 作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦的定义即可求解． 解：作AC⊥OB于点C． 则AC=， AB=则sin∠AOB=故选D． ===2=， ． 点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．（2014?四川凉山州，第10题，4分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）=0，则∠C的度数是（ ） A． 45° 60° 75° 105° B． C． D． 考点： 分析： 解答： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理 根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数． 2解：由题意，得 cosA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°． 故选：C． 点评： 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理． 4．（2014?甘肃兰州,第5题4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（ ）

A． B． C． D． 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理． 分析： 首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=∴cosA=故选：D． 点评： 本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边． 2．（2014?广州,第3题3分）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，三个顶点均在格点上，则（A） （B） 【考点】正切的定义． 【分析】【答案】 D

．

（ ）． （C）

（D）

的

， ． 5. 6. 7. 8.

二、填空题

1. (2014年贵州黔东南11．（4分）)cos60°= ．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 根据特殊角的三角函数值计算． 解答： 解：cos60°=．

点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．

2. （2014?江苏苏州,第15题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= ．

考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理 分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=． 解答：解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB=AC=5， ∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC， ∵∠BPC=∠BAC， ∴∠BPC=∠BAE． 在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE=∴tan∠BPC=tan∠BAE=． ， 故答案为：． 点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函 数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 3．（2014?四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是

．

考点： 含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： 延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可． 解答： 解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB， ∴PD=PC， 在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2， ∴QC=OCtan30°=2×==，∠APD=30°， ，即PQ=， DP=PC， 在Rt△QPD中，cos30°=∴QC=PQ+PC，即解得：PC=故答案为：． PC+PC= 点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 4．（2014?四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．

据此判断下列等式成立的是 ②③④ （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；

=②sin75°；

③sin2x=2sinx?cosx；

④sin（x﹣y）=sinx?cosy﹣cosx?siny． 考点： 专题： 分析： 解答： 锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值． 新定义． 根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断． 解：①cos（﹣60°）=cos60°=，命题错误； ②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°?cos45°+cos30°?sin45°=×+×=+=，命题正确； ③sin2x=sinx?cosx+cosx?sinx═2sinx?cosx，故命题正确； ④sin（x﹣y）=sinx?cos（﹣y）+cosx?sin（﹣y）=sinx?cosy﹣cosx?siny，命题正确． 故答案是：②③④． 点评： 本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键． 5．（2014?甘肃白银、临夏,第15题4分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=cosB=，则∠C= ．

考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理． 分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C 即可作出判断． 解答： 解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=∴∠A=∠B=60°． ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°． 故答案为：60°． 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单． 3. 4.

，cosB=， ，

∴此圆直径长为． 点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键． 2. （2014?益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）． 参考数据：

sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0； sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．

（第2题图）

考点：解 直角三角形的应用． 分析：设 AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解． 解答：解 ：设AD=x米，则AC=（x+82）米． 在Rt△ABC中，tan∠BCA=， ∴AB=AC?tan∠BCA=2.5（x+82）． 在Rt△ABD中，tan∠BDA=∴AB=AD?tan∠BDA=4x． ∴2.5（x+82）=4x， 解得x=． ≈546.7． ， ∴AB=4x=4×答：AB的长约为546.7米． 点评：此 题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

3.（2014?株洲，第17题，4分）计算：

考点：实 数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 分析：原 式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答：解 ：原式=4+1﹣1=4． 点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4.（2014年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．

（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）

（第4题图）

+（π﹣3）0﹣tan45°．

考点：解直角三角形的应用

分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解． 解答：设梯子的长为xm． 在Rt△ABO中，cos∠ABO=在Rt△CDO中，cos∠CDO=

，∴OB=AB?cos∠ABO=x?cos60°=x． ，∴OD=CD?cos∠CDO=x?cos51°18′≈0.625x．

∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．

点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

5. （2014?泰州，16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 1或2 cm．

（第5题图）

考点：全 等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 分析：根 据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可． 解答：解 ：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC=PN， 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°=，即DE=cm， =2cm， 根据勾股定理得：AE=∵M为AE的中点， ∴AM=AE=cm， 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即PM⊥AF， 在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=∴AP===2cm； ， 由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 综上，AP等于1cm或2cm． 故答案为：1或2． 点评：此 题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

6. （2014?泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．

（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

（第6题图）

考点：解 直角三角形的应用 分析：过 C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解． 解答：解 ：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G． ∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°， ∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°， ∴∠CAF=68°， 在Rt△ACF中，CF=AC?sin∠CAF≈0.744m， 在Rt△CDG中，CG=CD?sin∠CDE≈0.336m， ∴FG=FC+CG≈1.1m． 故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m． 点评：此 题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

7. （ 2014?福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）． （1）求该反比例函数的关系式；

（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；

②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：反 比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题：压 轴题；探究型． 分析： 1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可． （（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值． ②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标． 解答： （1）设反比例函数的关系式y=． 解：∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×1=2． ∴反比例函数的关系式y=． （2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示． 当x=0时，y=0+3=3， 则点B的坐标为（0，3）．OB=3． 当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3， 则点A的坐标为（3，0），OA=3． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴OA′=OA=3． ∵PC⊥y轴，点P（2，1）， ∴OC=1，PC=2． ∴BC=2． ∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1， ∴A′B=3，A′C=． ++2． ∴△A′BC的周长为3∵S△ABC=BC?A′O=A′B?CD， ∴BC?A′O=A′B?CD． ∴2×3=3∴CD=×CD． ． ∵CD⊥A′B， ∴sin∠BA′C===+． +2，sin∠BA′C的值为． ∴△A′BC的周长为3②当1＜m＜2时， 作经过点B、C且半径为m的⊙E， 连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP， 过点E作EG⊥OB，垂足为G， 过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示． ∵CP是⊙E的直径， ∴∠PBC=90°． ∴sin∠BPC===． ∵sin∠BMC=， ∴∠BMC=∠BPC． ∴点M在⊙E上． ∵点M在x轴上 ∴点M是⊙E与x轴的交点． ∵EG⊥BC， ∴BG=GC=1． ∴OG=2． ∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°， ∴四边形OGEH是矩形． ∴EH=OG=2，EG=OH． ∵1＜m＜2， ∴EH＞EC． ∴⊙E与x轴相离． ∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=． ②当m=2时，EH=EC． ∴⊙E与x轴相切． Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示． ∴点M与点H重合． ∵EG⊥OG，GC=1，EC=m， ∴EG=∴OM=OH=EG=∴点M的坐标为（=． ，0）． ． Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时， 同理可得：点M的坐标为（﹣③当m＞2时，EH＜EC． ∴⊙E与x轴相交． Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时， 设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示． ∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2， ∴MH===． ，0）． ∵EH⊥MM′， ∴MH=M′H． ∴M′H═． ∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m， ∴EG=∴OH=EG=∴OM=OH﹣MH=∴OM′=OH+HM′=∴M（﹣=． ﹣+， ， +，0）． =． ，0）、M′（Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时， 同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）． 综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在； 当m=2时，满足要求的点M的坐标为（当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（（+，0）、（﹣+，0）和（﹣﹣，0）、（﹣，0）； ，0）、﹣，0）． 点评：本 题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．

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