2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例)

2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例)

课时作业(十四) [第14讲 用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例]

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

lnx

1．函数y＝( )

x

110 B．e C．e2 D.e3

2．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为( ) A．36 B．18 C．25 D．42

3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间

13629

关系可近似地用如下函数给出：y3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时

844

最多的时刻是( )

A．6时 B．7时 C．8时 D．9时

4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) 133

B．2 C. D.

2

能力提升

1－x1

5．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在 2，2 上的最大值和最小值之和是( ) x

A．0 B．1－ln2 C．ln2－1 D．1＋ln2

32 2x＋3x＋1 x≤0 ，

6．[2011·哈三中三模] 函数f(x)＝ ax在[－2,2]上的最大值为2，则

e x>0

a的取值范围是( )

ln2ln2 B. 0 A. 2 2

ln2 C．(－∞，0] D. 2

7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为( )

A．20 km/h B．25 km/h C．19 km/h D．

18 km/h

图K14－1

8．[2011·江苏四市联考] 今有一块边长为a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为( )

2aaa

A．a B. C. D.326

9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的

1

关系式为：p＝24 200－x2，且生产x t的成本为R＝50 000＋200x(元)．则该厂每月生产

5

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________ t产品才能使利润达到最大．(利润＝收入－成本)

10．[2011·潮州模拟] 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．

图K14－2

11．[2011·宁化模拟] 如图K14－2，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a取________时，漏斗的容积最大．

12．(13分)[2011·无锡模拟] 甲、乙两村合用一个变压器，如图K14－3所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？

难点突破

13．(12分)[2011·长沙模拟] 广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的

1

金额为x万美元，可获得的加工费近似地为x＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，

2

美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万

1

美元(其中m为该时段美元的贬值指数，m∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f(x)ln(2x＋

2

1)－mx(万美元)．

1

(1)若某时期美元贬值指数m＝，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该

200

企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？

1

(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为x万美元，已知该

20

企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

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课时作业(十四)

【基础热身】

lnx ′x－lnx·x′1－lnx

1．A [解析] 令y＝0，得x＝e，当x>e时，y′<0；当xx11

x<e时，y′>0，故y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.

ee

x

3－，x∈[0,9]，令f′(x)＝6x－x2＝0，得x＝0或x＝6，2．A [解析] 令f(x)＝x2y＝x2 3可以验证x＝6时f(x)有最大值36.

333

3．C [解析] y′＝－2－＋36t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，

828

当6≤t<8时，y′>0，当8<t<9时，y′<0，∴当t＝8时，y有最大值．

4V

4．C [解析] 设底面边长为x，则高为h＝

3x2

4V4V∴S表＝3×x＋2×2＝x2， 2·4x23x

4V∴S′表＝－3x，令S′表＝0，得x＝4V.

x

3

经检验知，当x＝4V时S表取得最小值． 【能力提升】

x－1

5．B [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝.

x

1

(1)若x∈ 2，1 ，则f′(x)<0； (2)若x∈(1,2]，则f′(x)>0，

1

故x＝1是函数f(x)在区间 2，2 上的唯一的极小值点， 也就是最小值点，故f(x)min＝f(1)＝0；

11又f ＝1－ln2，f(2)＝－ln2， 22

1 lne3－ln163 所以f 2 －f(2)＝－2ln2＝，

22

因为e3>2.73＝19.683>16，

1 所以f 2 －f(2)>0，

1即f 2>f(2)，

1 12上最大值是f . 即函数f(x)在区间 2 21 1

，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f(x)在 2 上的最大综上知函数f(x)在区间 2 2

值和最小值之和是1－ln2.

6．D [解析] 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即ln2ln2a≤(0,2]上恒成立，故a≤.

x2

7．A [解析] 设船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得33

k＝，∴Q3， 500500

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331396696x＋96 x2＋，∴总费用y＝ y′＝x－令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20) 500 x500x500x时，y′<0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20 km/h的速度行驶每千米的费用总和最小．

a30<x< ，高为h＝x·8．D [解析] 折成盒子后底面正三角形的边长为a－2x tan30°2 3

x，

设容积为V，则

13

V＝Sh＝(a－2x)2x，

23

2a

＝x3－ax2＋x，

4

a22

V′＝3x－2ax＋，

4aaaaa

令V′＝0得x＝或x＝舍去)，当0<x时，V′>0；当<x<V′<0.

6266233333

aaaa4aa∴xV最大＝＋6216362421654

11

9．200 [解析] 每月生产x吨时的利润为f(x)＝24 200－2x－(50 000＋200x)＝－x3

55

＋24 000x－50 000(x≥0)．

3

由f′(x)＝－x2＋24 000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内有唯

5

一的极大值点，也是最大值点．

3

R [解析] 设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，那么h＝RR－x，解2

得

x2＝h(2R－h)，于是内接三角形的面积为 S＝x·h＝ 2Rh－h ·h＝2Rh－h，

1从而S′＝Rh3－h4)－Rh3－h4)′

22

h2 3R－2h 113423

＝(2Rh－h)－Rh－4h)＝ 22 2R－h h3

令S′＝0，解得h＝，由于不考虑不存在的情况，所以在区间(0,2R)上列表如下：

2

由此表可知，当x＝时，等腰三角形面积最大．

2

2611. [解析] 解法一：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么由r2＋h2＝

3

R2，Ra＝2πr，

2R3121Ra2a24 代入V＝πrh，得V＝π·2πR－ 2π＝a－，

3312π4π

65a3a

再令T(a)＝a4T′(a)＝4a3－T′(a)＝0.

4π2π5

2633a即4a－＝0，求得a＝，

2π3

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222检验，当0<a6π时，T′(a)>0；当a<2π时，T′(a)<0，所以当a＝π时，

333

T(a)取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T(a)取得最大值时，V也就取得最大值，

2所以当a＝π时，漏斗的容积最大．

3

1

解法二：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2＋h2＝R2，因此V(r)＝r2h

3

11

＝πr2R－r＝πr－r(0<r<R)．令T(r)＝R2r4－r6，求它的导数T′(r)＝4R2r3－6r5.33

66

再令T′(r)＝0，即4R2r3－6r5＝0，求得r＝，可以检验当r＝R时，T(r)取得最大值，

33

66226

也就是当r＝时，V(r)取得最大值．再把rR代入Ra＝2πr得a＝所以当a＝

3333

π时，漏斗的容积最大．

12．[解答] 设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．

由题意知所需输电线的长l为：l＝AC＋BC＝1＋x＋1.5＋ 3－x (0≤x≤3)，

－2 3－x 2x

l′＝，

1＋x21.5＋ 3－x 3－xx

令l′＝0，得＝0，

1＋x1.5＋ 3－x 3－xx

即， 1＋x1.5＋ 3－x

2

3－x 2x

，

1＋x1.5＋ 3－x 1．52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2， 1．52x2＝(3－x)2,1.5x＝3－x， 2．5x＝3，x＝1.2，

故当CD＝1.2(km)时所需输电线最短． 【难点突破】

1

13．[解答] (1)由已知m＝，

200

1x

f(x)ln(2x＋1)x>0，

2200

199－2x11

∴f′(x)＝＝2x＋1200200 2x＋1

由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0<x<99.5， 即加工产品订单金额x∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x的增加不断增长．

11

(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，都有ln(2x＋1)－mx≥x，

220

ln 2x＋1 111

由ln(2x＋1)－mx≥x，得＋m≤220202x

ln 2x＋1

令g(x)＝x∈[10,20]，

2x2x－ln 2x＋1 2x＋1

则g′(x)＝

2x2x－ 2x＋1 ln 2x＋1 ＝.

2x 2x＋1

令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，

2 2ln 2x＋1 ＋ 2x＋1 则h′(x)＝2－2x＋1 ＝－2ln(2x＋1)<0，

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可知h(x)在[10,20]上单调递减． 从而h(20)≤h(x)≤h(10)，

又h(10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0. 故可知g(x)在[10,20]上单调递减，

ln41ln411

因此g(x)min＝m404020

ln41－2

故当美元的贬值指数m∈ 0时，该企业加工生产不会亏损．

40

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rg04.html