双曲线的第二定义

双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线，其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 1、离心率：

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e?（2）范围：e?1；

（3）双曲线形状与e的关系：

2cc?，叫做双曲线的离心率； 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1； 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：

x2y2a2对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?；

ca2b2?0，焦点到准线的距离p?位置关系：x?a?（也叫焦参数）； ccy2x2a2对于2?2?1来说，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

cyyF2A2F1A1OA2F2xOxA1F13、双曲线的焦半径： 双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1、F2的连线段，叫做双曲线的焦半径。

x2y2设双曲线2?2?1 (a?0,b?0)，F1,F2是其左右焦点，

abMF1MF1?e， ∴?e，∴MF1?a?ex0；同理 MF2?a?ex0； 2d1ax0?c即：焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：??MF1?a?ex0

???MF2?a?ex0同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：??MF1?a?ey0（ 其中F1、F2分

???MF2?a?ey0别是双曲线的下、上焦点）

点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果

要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加

右减，下加上减（带绝对值号）。 4、焦点弦：

过焦点的直线截双曲线所成的弦。 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点A?x1,y1?、B?x2,y2?， （1）当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关，

c?x1?x2?； ac②过右焦点与右支交于两点时：AB??2a??x1?x2?。

a（2）当双曲线焦点在y轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关，

c①过下焦点与下支交于两点时：AB??2a??y1?y2?；

ac②过上焦点与上支交于两点时：AB??2a??y1?y2?。

a①过左焦点与左支交于两点时：AB??2a?2b25、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到d?。

a

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