2014中考备考数学总复习基础讲练 第4讲 一元一次方程和二元一次方程组(含答案)
更新时间:2024-01-03 22:03:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第4讲 一元一次方程和二元一次方程组
考纲要求 1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念,掌握等式的基本性质. 2.掌握一元一次方程的标准形式,熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法. 3.会列方程(组)解决实际问题. 备考指津 中考中多以选择题、填空题、解方程(组)的形式考查方程(组)的解法,结合社会关注的热点,考查列方程(组)解决实际问题的能力.同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查.
考点一 等式及方程的有关概念 1.等式及其性质
(1)用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.
(2)等式的性质:等式两边加(或减)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.
2.方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程.
(2)方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方程的解,也叫它的根.
(3)解方程:求方程解的过程叫做解方程. 考点二 一元一次方程
1.只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程,其标准形式为ax+b=0(a≠0),其解为x=?b. a2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)未知数的系数化为1.
考点三 二元一次方程组的有关概念 1.二元一次方程
(1)概念:含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.
(2)一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0).
(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. (4)解的特点:一般地,二元一次方程有无数个解. 2.二元一次方程组
- 1 -
(1)概念:具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
??a1x+b1y=c1,
(2)一般形式:?(a1,a2,b1,b2均不为零).
?a2x+b2y=c2?
(3)二元一次方程组的解
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 考点四 二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方法有代入消元法和加减消元法.
1.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为:(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x(或y)的代数式表示出y(或x),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;(2)将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元一次方程;(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;(4)把x(或y)的值代入y=ax+b(或x=ay+b)中,求y(或x)的值.
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为:(1)在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可以直接相减(或相加),消去一个未知数;(2)在二元一次方程组中,若不存在(1)中的情况,可选一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数;(3)解这个一元一次方程;(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内,求出另一个未知数.
考点五 列方程(组)解应用题
步骤:(1)设未知数;(2)列出方程(组);(3)解方程(组);(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义;(5)写出答案(包括单位名称).
1.(a-1)x|a|+5=0是一元一次方程,那么a=__________,x=__________.
?x=1,?
2.已知?是方程2x-ay=3的一个解,那么a的值是( ).
y=-1??
A.1 B.3 C.-3 D.-1
??x+y=1,
3.方程组?的解是( ).
2x-y=5????x=-1
A.?
y=2??
??x=-2
B.?
y=3??
??x=2
C.?
y=1??
??x=2
D.?
y=-1??
?x+2y=4,?
4.若有方程组?则x-y的值是( ).
2x+y=6,??
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5.2011年5月长江中下游发生严重干旱,受气候等因素的影响,今年某些农产品的价格有些上涨,张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元,其中甲种蔬菜每
- 2 -
亩获利1 200元,乙种蔬菜每亩获利1 500元,则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
一、一元一次方程的解法 【例1】 解方程:
2x+110x+1
-=1. 36
解:去分母,得2(2x+1)-(10x+1)=6, 去括号,得4x+2-10x-1=6, 移项,得4x-10x=6-2+1, 合并同类项,得-6x=5, 5
系数化为1,得x=-.
6
解一元一次方程时,首先要清楚基本方法与一般步骤,明确每步的理论依据,根据其特点选用解题步骤.
二、二元一次方程组的有关概念
?x=2,?mx+ny=8,??
【例2】 已知?是二元一次方程组?的解,则2m-n的算术平方根为
y=1nx-my=1????
( ).
A.4 B.2 C.2 D.±2
?x=2,?mx+ny=8,??
解析:∵?是方程组?的解.
?y=1???nx-my=1?2m+n=8,?m=3,??
∴?解得? ?2n-m=1,???n=2.
∴2m-n=2×3-2=4=2. 答案:B
方程组的解适合于方程组的每一个方程,把它代入原方程组,就会得到一个新的方程组,解新方程组即可得出待定字母系数的值.
三、二元一次方程组的解法
?3x-y=5,?
【例3】 解方程组:?
?5x+2y=23.?
①②
解:方法一:用加减消元法解方程组. ①×2得6x-2y=10,③ ②+③得11x=33,∴x=3. 把x=3代入①得9-y=5,∴y=4.
- 3 -
?x=3,?
所以原方程组的解为?
y=4.??
方法二:用代入消元法解方程组. 由①得y=3x-5,③
把③代入②得5x+2(3x-5)=23, 所以11x=33,则x=3. 把x=3代入③得y=4.
??x=3,
所以原方程组的解为?
?y=4.?
解二元一次方程组的基本思路是通过消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法,具体应用时,要结合方程组的特点,灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或-1,宜用代入消元法解;如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂,宜用加减消元法解.
四、列方程(组)解决实际问题
【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务,需要用到甲、乙两种原料.已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg和0.3 kg,生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg和3 600 kg,如果所进原料全部用完,求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套?
解:设生产亚运会标志x套,生产亚运会吉祥物y套.
??0.4x+0.5y=2 300,
根据题意,得?
?0.3x+y=3 600.?
①②
①×2-②×1得0.5x=1 000, ∴x=2 000.
把x=2 000代入②得600+y=3 600, ∴y=3 000.
答:该厂能生产亚运会标志2 000套,生产亚运会吉祥物3 000套.
对于含多个未知数的实际问题,利用列方程组来解,一般要比列一元一次方程解容易.列二元一次方程组,首先要对具体的问题进行具体分析,从中抽取等量关系,再根据相应的等量关系列出方程组,注意所求的解要符合实际问题.
1.(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪,它的长比宽
- 4 -
多10米,设草坪的宽为x米,则可列方程为( ).
A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200 C.2x+2(x+10)=200 D.x(x+10)=200 2.(2011湖南邵阳)请写出一个解为x=2的一元一次方程:__________.
3.(2011广东湛江)一件衬衣标价是132元,若以9折降价出售,仍可获利10%,则这件衬衣的进价是________元.
??2x+3y=7,
4.(2011安徽芜湖)方程组?的解是__________.
?x-3y=8?
1.已知x=2是关于x的方程x-2a=0的解,则a的值是( ). 1
A.4 B.2 C.1 D. 2
?x=4,?
2.方程2x+3y=11和下列方程构成的方程组的解是?的是( ).
y=1??
A.3x+4y=20 B.4x-7y=3 C.2x-7y=1 D.5x-4y=6
3.巴广高速公路正式通车,从巴中到广元全长约126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出,经过45分钟相遇,相遇时小汽车比货车多行6 km,设小汽车和货车的速度分别为x km/h,y km/h,则下列方程组正确的是( ).
33???4(x+y)=126??4(x+y)=126?4(x+y)=126?45(x+y)=126
A.? B.?C.? D.?3?45(x-y)=6????x-y=6?45(x-y)=6?4(x-y)=6
3
??x+y=5k,4.若关于x,y的二元一次方程组?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,则
x-y=9k??
k的值为( ).
3344
A.- B. C. D.-
4433
5.一家商店将某件商品按成本价提高50%后,再打8折出售,售价为480元,则售出这件商品可获利润________元.
6.方程|4x-8|+x-y-m=0,当y>0时,m的取值范围是__________.
???x=2,?ax+by=7,?7.已知是二元一次方程组?的解,则a-b的值为__________. y=1????ax-by=1
8.剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换),有关销售策略与售价等信息如下表所示:某段时间内,甲厂家销售了8 400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲的两倍,问这段时间内,乙销售了多少把刀架?多少片刀片?
- 5 -
?x+y=5k,?
4.若关于x,y的二元一次方程组?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,则
x-y=9k??
k的值为( ).
3344
A.- B. C. D.-
4433
5.一家商店将某件商品按成本价提高50%后,再打8折出售,售价为480元,则售出这件商品可获利润________元.
6.方程|4x-8|+x-y-m=0,当y>0时,m的取值范围是__________.
???x=2,?ax+by=7,7.已知?是二元一次方程组?的解,则a-b的值为__________.
y=1ax-by=1????
8.剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换),有关销售策略与售价等信息如下表所示:某段时间内,甲厂家销售了8 400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲的两倍,问这段时间内,乙销售了多少把刀架?多少片刀片?
售价 成本 老式剃须刀 Z#X#X#K]新式剃须刀 刀架 1(元/把) 5(元/把) 刀片 0.55(元/片) 0.05(元/片) 2.5(元/把) 2(元/把) 9.开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格;
(2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?请你一一写出.
参考答案
基础自主导学
自主测试 1.-1
5
2.A 3.C 4.D 2
- 6 -
5.解:设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x,y亩,依题意,得
???x+y=10,?x=4,
解得? ?
???1 200x+1 500y=13 800,?y=6.
答:甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩.
知能优化训练
中考回顾
1.D 2.x=2,x-2=0,2x-3=1……
??x=5
3.108 4.?
?y=-1?
模拟预测
1.C 2.C 3.D 4.B 5.80 6.m<2 7.-1
8.解:设这段时间内乙厂家销售了x把刀架,则销售刀片x片. 依题意,得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x=2×(2.5-2)×8 400,解得x=400. 销售出的刀片数=50×400=20 000(片).
答:这段时间乙厂家销售出400把刀架,20 000片刀片. 9.解:(1)设每支钢笔x元,每本笔记本y元.
???x+3y=18,?x=3,
依题意得?解得?
???2x+5y=31,?y=5.
答:每支钢笔3元,每本笔记本5元. (2)设买a支钢笔,则买笔记本(48- a)本.
??3a+5(48-a)≤200,
依题意得?
??48-a≥a.
解得20≤a≤24.
所以,一共有5种方案,
即购买钢笔、笔记本的数量分别为:20,28;21,27;22,26;23,25;24,24.
- 7 -
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