2015-2016-1线性代数A卷答案定稿(60份)

2015-2016-1线性代数A卷答案及评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设A是n阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（D

（A）|A| 0（B）A可逆*）（C）A等价于单位矩阵（D）R(A) n

）

T22.设A是n阶矩阵，则下列矩阵为对称矩阵的是（B（A）A AT（B）AA

*T（C）A2（D）(A)3.设A是n阶可逆矩阵，A是A的伴随矩阵，则（A）

（A）(A)* 1 A

|A|（B）|A*| |A|n

A 1 |A|A*

）（C）R(A*)=1(D)4.设ξ1, ξ2, ξ3为齐次方程组Ax 0的基础解系，则下列向量组不是基础解系的是（B

（A）

（C）2ξ1, 3ξ2, 4ξ3ξ1 2, ξ2 ξ3, ξ3 ξ1（B）ξ1 2, ξ2 ξ3, ξ3 ξ1（D）ξ1, ξ1 ξ2, ξ1 ξ3

5.设Ax b是非齐次线性方程组，Ax 0是对应齐次线性方程组，则下列命题正确的是（C）

（A）若Ax 0有非零解，则Ax b有无穷多解

（B）若Ax 0仅有零解，则Ax b有唯一解

（C）若Ax b有唯一解，则Ax 0仅有零解

（D）若Ax b有无穷多解，则Ax 0仅有零解

二、填空题（每小题3分，共15分）

0 0 1 6． 0 1 0 1 0 0 3 9 8 7 1 2 3 0 0 1 4 5 6 0 1 0 =_____ 6 5 4 _______. 3 2 1 7 8 9 1 0 0 3

7. 1 0 B 0 A 1 _____.设A,B为可逆矩阵，X B 0 为分块矩阵，则X=____ 1 A 0

A 0 8.已知A,B,C均是2阶方阵，且|A| |B| 1，则分块矩阵 C 2B

的行列式的值为_____4_____.

1 2 4 已知矩阵A= 1 a 2 的列向量组线性相关，则a=___ 1_____.

0 1 2 9.

1 2 3 10.设A 0 1 2 ,且A与B相似，则|B| ___-3____.

0 2 1

三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）

11.设 1, 2线性相关, 1, 2线性相关，则 1 1, 2 2必线性相关（×）.

12.若A2 E，则|A| 1（×）

**13.若矩阵A可逆，则(A)必可逆（√）.

14.设 *为非齐次方程组Am nx b的解，ξ1, ξ2, ξn R(A)为对应齐次方程组Ax 0的基

础解系，则向量组ξ1, ξ2, ξn R(A)， *必定线性无关（√）.

15.若3阶矩阵A可对角化，则A2也必可对角化（√）

四、计算题（每小题10分，共50分）

2 3 4

0 2 1 1D ，则2M42 M43 M44的值为多少？3 4 1 2

4 1 2 316．若行列式

（其中Mij为元素aij的余子式）

解：因为2M42 M43 M44 0A41 2A42 1A43 1A44，--------------4分

构造新的行列式使得

2 3 4

D' 0 2 1 1 0A41 2A42 1A43 1A44，----------------8分3 4 1 2

0 2 1 1

2M42 M43 M44 0.--------------------------------10分

1 0 0 17.假设矩阵A 2 1 0 ，且B (E A) 1(E A)，求(E B) 1

2 2 3

解：因为B (E A) 1(E A)，所以(E A)B E A------------------------3分

从而AB A B E.我们得到

A(B E) (B E) 2E，即(A E)(B E) 2E.-----------------------7分

1 0 0 1 1所以(E B)=(A E) 1 1 0 .-----------------------------------10分2 1 1 2

2 x1 2x2 2x3 1 18．设方程组 2x1 5 x2 4x3 2,问当 取何值时，此方程组有无穷解，

2x1 4x2 5 x3 1

并求其通解.

解：直接把增广矩阵化成行阶梯型

2 λ 2 2 1 2 5 λ 4 2 2 5 λ 4 2~2 λ 2 2 1 2 4 5 λ λ 1 2 4 5 λ λ 1

2 5 λ 4 2 2 5 λ 4 2 (λ 1)(6 λ)~ 0 2 2λ λ 1 ~ 0 1 λ 1 λ 1 λ 2 (1 λ)(λ 6) 2 2λ λ 1 0 1 λ 1 λ 1 λ 0 2

2 5 λ 4 2 --------------------------4分~ 0 1 λ 1 λ 1 λ (1 λ)(10 )(1 λ)(4 ) 0 0 22

当 10知R(A) 2,R(A,b) 3,此线性方程组无解-------------------------6分当 1知R(A) R(A,b) 1，此方程组有无穷多解

其对应的方程组x1 2x2 2x3 1，所以 x1 2x2 2x3 1 x2 1x2 0x3 0，

x 0x 1x 023 3

2 2 1 从而通解为x k1 1 k2 0 0 ,其中k1,k2为任意数.--------10分

0 1 0

19.求向量组 1 (1,1,2,3)T, 2 (1, 1,1,1)T, 3 (1,3,3,5)T, 4 (4, 2,5,6)T的秩,并求出

一个极大无关组.

解令 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 3 2 0 1 1 3 1, 2, 3, 4 A 2 1 3 5 ~ 0 0 0 0 --------------------------6分

3 1 5 6 0 0 0 0

所以此向量组的秩为2.-----------------------------------------------------------------------8分由于任意两个向量都线性无关，所以我们可以选取 1, 2为一个极大无关组.---10分

20.设三阶实对称矩阵A有三个特征值2,2，-2，且(1,0, 1)T是A求A.

x1 T解设非零向量x x2 为属于2的特征向量，则向量x与(1,0, 1)正交，从而

x 3

0 1 x1 0x2 x3 0.其基础解系为 1 , 0 .-----------------------------------5分

0 1

0 1 1 2 令P 1 0 0 ，则P 1AP 2 .------------------------------7分 0 1 1 2

2 0 1 1 2 0 1 0 0 0 2 1 所以A P 2 P 1 0 0 2 1/2 0 1/2 = 0 2 0 .--10分 2 0 1 1 2 1/2 0 1/2 2 0 0

五、证明题（每小题5分，共10分）

21.设A,B为n阶方阵，且ABA B 1,证明R(E AB) R(E AB) n.证明因为ABA B 1，所以(E AB)(E AB) E AB AB ABAB 0，R(E AB) R(E AB) n--------------------------------------------3分又因为R(E AB) R(E AB) R((E AB) (E AB)) R(2E) n因此R(E AB) R(E AB) n-----------------------------------------5分22.已知矩阵A是正交矩阵，证明A的伴随矩阵A*必是正交矩阵.证明因为A是正交矩阵，即AAT ATA E，

所以A 1 AT且|A||AT| |A|2 1-----------------------------------------------------3分又因为AA* A*A |A|E，所以A* |A|A 1 |A|AT

因此A*TA* (|A|AT)T(|A|AT) |A|2AAT |A|2E E

所以A*是正交矩阵.---------------------------------------------------------------------5分

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