《数学分析》 教学大纲（2013版）

《数学分析》教学大纲

课程英文名称： Mathematical Analysis

【课程代码】08130001 【课程名称】数学分析 【学时学分】 192学时 【理论/实验学时】192/0 【课程类型】专业基础课 【先修课程】无

【开课模式】必修 【开课学期】第1、2学期 【授课对象】统计学专业 【考核方式】考试

一、本课程的性质、目的与任务

本课程为专业基础课。 数学分析课程是统计学专业学生一门必修的重要的基础理论课, 通过本课程的教学，应使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本运算，掌握数学分析的思想方法。提高学生的逻辑推理能力、抽象思维能力，计算能力以及创新精神，培养学生良好的数学素养和分析问题、解决问题的能力。使学生受到运用数学分析方法解决实际问题的初步训练，为今后课程的学习和继续深造奠定坚实的基础。 二、教学目标要求

在各章节内容中，按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次要求。“了解”是要求学生知道与问题直接有关的概念和公式。对于要求了解的内容，一般不要求定量计算；所涉及的内容大都是一些基本概念和简单叙述，知道了就行，没有进一步深入和扩展的要求。“理解”是要求学生对于相关的概念、定律、定理、原理等能领会其含义及适用条件，并能运用它们进行简单的定量计算和判断、推理。“掌握”是要求学生相关的概念、定理、定律、原理等能深刻领会其含义，并能熟练地进行定量计算和判断、推理。学生能够全面、深入地掌握所学内容，能够举一反三，熟练解决相关问题。

各章节的重、难点用下划线表示。 三、教学内容、重点、难点、教学目标和方法

第一章 实数集与函数（6学时）

【教学内容】

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1、实数

（1）实数及其性质 （2）绝对值与不等式 2、数集·确界原理 （1）区间与邻域

（2）有界集·确界原理 3、函数概念 （1）函数的定义 （2）函数的表示法 （3）函数的四则运算 （4）复合函数 （5）反函数 （6）初等函数 4、具有某些特性的函数 （1）有界函数 （2）单调函数 （3）奇函数和偶函数 （4）周期函数 【教学目标】

理解：函数的概念，掌握函数的各种表示方法，函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

掌握：确界定义，基本初等函数的性质及其图形，会求初等函数的定义域，会分析初等函数的复合关系。 【教学方法】采用多媒体课堂教学。

第二章 数列极限（9学时）

【教学内容】 1、数列极限概念 2、收敛数列的性质

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3、数列极限存在的条件 【教学目标】

掌握：数列极限的“ε-N”定义，会用它们证明数列的有关命题； 【教学方法】采用多媒体课堂教学。

第三章 函数极限（12学时〕

【教学内容】 1、函数极限概念

（1）x趋于∞时函数的极限 （2）x趋于x0时函数的极限 2、函数极限的性质 3、函数极限存在的条件 4、两个重要的极限 （1）证明limx→0sinx/x=1 （2）证明limx→∞[1+1/x]x=e 5、无穷小量与无穷大量 （1）无穷小量 （2）无穷小量阶的比较 （3）无穷大量 （4）曲线的渐近线

【教学目标】

理解：函数左极限、右极限、∞→x及∞→f(x)的情形，理解极限存在与左、右极限之间的关系，并会用它判断极限的存在性。

掌握：函数极限的“ε-δ”定义，会用它们函数极限的有关命题， 数列极限与函数极限的性质（唯一性、单调性、保号性及不等式性质等）及四则运算法则， 数列极限存在的两个准则，并会用它们求极限，利用两个重要极限求极限的方法，函数极限与数列极限的关系，无穷小、无穷大及其阶的概念，会用它们求极限。

【教学方法】采用多媒体课堂教学。

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第四章 函数的连续性（9学时）

【教学内容】 1、连续性概念

（1）函数在一点的连续性

（2）间断点及其分类 （3）区间上的连续函数 2、连续函数的性质 （1）连续函数的局部性质

（2）闭区间上连续函数的基本性质 （3）反函数的连续性

（4）一致连续性 3、初等函数的连续性 （1）指数函数的连续性 （2）初等函数的连续性 【教学目标】

理解：函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。 掌握：介值定理及其应用。 【教学方法】采用多媒体课堂教学。

第五章 导数和微分（12学时）

【教学内容】 1、导数的概念 （1）导数的定义 （2）导函数

（3）导数的几何意义 2、求导法则

（1）导数的四则运算 （2）反函数的导数 （3）复合函数的导数

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（4）基本求导法则与公式 3、参变量函数的导数 4、高阶导数 5、微分 （1）微分的概念

（2）微分的运算法则 （3）高阶微分

（4）微分在近似计算中的应用

【教学目标】

理解：微商和微分概念，微商和微分的关系，微商的物理意义和几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，高阶微商与高阶微分的概念。

掌握： 微商解决一些涉及函数变化率的实际应用问题，会求曲线上一点处的切线方程，导数与单侧导数、可导与连续的关系，会利用其判断函数的可导性，会用定义求函数的微商，微商的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的微商公式并会运用这些法则与方法求初等函数的微商，函数的微分、函数的高阶微商与高阶微分的计算。

【教学方法】采用多媒体课堂教学、案例教学，结合网络课程自主学习。

第六章 微分中值定理及其应用（15学时）

【教学内容】

1、拉格朗日定理和函数的单调性 （1）罗尔定理与拉格朗日定理 （2）单调函数

2、柯西中值定理和不定式极限 （1）柯西中值定理 （2）不定式极限 3、泰勒公式

（1）带有佩亚诺型余项的泰勒公式

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1、可微性

（1）可微性与全微分 （2）偏导数 （3）可微性条件 2、复合函数微分法 （1）复合函数的求导法则 （2）复合函数的全微分 3、泰勒公式与极值问题 （1）高阶偏导数 （2）中值定理和泰勒公式 （3）极值问题 【教学目标】

理解：二元函数偏导数和全微分的概念，全微分形式的不变性，二元函数的泰勒公式，多元函数的极值和条件极值的概念。

掌握：二元函数连续、可微、偏导数存在、偏导数连续之间的关系 ，多元复合函数偏导数、隐函数的偏导数的求法，多元函数极值存在的充分必要条件，求二元函数的极值。

【教学方法】采用多媒体课堂教学。

第十八章 隐函数定理及其应用（9学时）

【教学内容】 1、隐函数

（1）隐函数的概念 （2）隐函数存在性条件分析 （3）隐函数定理 （4）隐函数求导举例 2、几何应用 【教学目标】

理解：一个方程或方程组所确定的隐函数的存在性定理(存在性、连续性、可微性)及证明思路，

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掌握：隐函数的偏导数，求空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程。

【教学方法】采用多媒体课堂教学。

第二十章 曲线积分（9学时）

【教学内容】 1、第一型曲线积分

（1）第一型曲线积分的定义 （2）第一型曲线积分的计算 2、第二型曲线积分

（1）第二型曲线积分的定义 （2）第二型曲线积分的计算 （3）两类曲线积分的联系 【教学目标】

理解：两类曲线积分的概念、性质。

熟练：掌握计算两类曲线积分的方法；两类曲线积分之间的关系；计算两类曲面积分的方法。

【教学方法】采用多媒体课堂教学。

第二十一章 重积分 （21学时）

【教学内容】 1、二重积分概念 （1）平面图形的面积

（2）二重积分的定义及其存在性 （3）二重积分的性质

2、直角坐标系下二重积分的计算 3、格林公式 曲线积分与路线的无关性 （1）格林公式

（2）曲线积分与路线的无关性 4、二重积分的变量变换

（1）二重积分的变量变换公式

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（2）用极坐标计算二重积分 5、三重积分

（1）三重积分的概念

（2）化三重积分化为累次积分 （3）三重积分换元法 【教学目标】

了解：二重积分的可积性理论；

理解：二重积分、三重积分概念及性质，二重积分的几何意义，三重积分的变量代换。

掌握：二重积分化为累次积分的计算方法，二重积分的变量代换，二重积分的极坐标变换，三重积分化为累次积分的计算方法，三重积分的柱坐标变换、球坐标变换，二重积分、三重积分计算一些几何量（平面图形的面积、立体体积、曲面的面积），格林公式，掌握平面曲线积分与路径无关的条件。 【教学方法】采用多媒体课堂教学。 四、各环节的学时分配

内 容 实数集与函数 数列极限 函数极限 函数的连续性 导数与微分 微分中值定理及其应用 讲授 讨论 实验、见习 示教 其它 6 9 12 9 12 15 12 9 9 3 12 12 9 9 15 9 13

小计 不定积分 定积分 定积分的应用 反常积分 数项级数 函数列与函数项级数 幂级数 多元函数的极限与连续 多元函数的微分学 隐函数定理及其应用

曲线积分 重积分 总 计

五、考核方式。

9 21 192 按平时40%，考试60%的标准综合评定该课程的总成绩。 六、推荐教材与教学参考书。

1、教材：《数学分析》（第三版），华东师大数学系，高等教育出版社， 2010年 2、参考书：《数学分析》，同济大学数学教研室，高等教育出版社，2004年

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