考研数学基础串讲讲义

考研数学的命题特点

1. 基础性

【例一】极限定义

1、lim是什么？（lim是什么？）

x??n??①lim

x??1）“x??”存在六种情形 （1）x?x0

???0,0?x?x0??, （2）x?x0?

???0,0?x?x0??, （3）x?x0?

???0,0?x0?x??, (4) x??

?X?0,x?X, (5) x???

?X?0,x?X,

(6) x???

?X?0,x??X,

2极限趋向的“过程性”

——若limf(x)?，则f(x)在x??时处处有定义 x??（命题A?B，则B?A）

故有：若f(x)在x??时至少一点无定义，

?limf(x)不存在。

x??1??sin?xsin()?x??（2016）求lim

x?01xsin()x1【分析】x??，xsin()?0

xx~0, sinx~x. 狗~0，sin狗~狗 111xsin()?0, xsin()~sin(xsin())

xxx故原式=1

知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!

11【正解】当x=，|k|充分大，xsin()=0。还记

xkπ得极限的定义吗？x?0时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的

11点，例如取x=，此时xsin()的极限=0。所以

xkπ1xsin()在时x?0不能叫?0，而叫做无穷小量。

x1sin(xsin())1x故f(x)= 在x=处无定义，?原极

1kπxsin()x限不? ②lim

n??n??只有一种情形，专指n???

?N>0, n>N

（注意n是自然数，没有负的，而且都是整数，所以是离散的） 2、极限定义 ①函数极限的定义 若limf(x)=A?

x?x0??>0, ??>0,当0<|x-x0|

limxn=a???>0, ?N>0,当n>N时，|xn-a|

①??>0，?X>0,当x>X时，恒有|f(x)-A|

x???10

?1②??>0，?正整数k，当0<|x-x0|≤时，恒有

k1|f(x)-A|≤

2N?x???limf(x)=A

③???（0,1），?正整数N，当n≥N时，恒有|f(x)-A|≤2?

?limn??f(x)=A

正确的个数为 个。

【分析】①不论尺度?以何种形式出现，必须且仅需两个条件： ??0 ??可以任意小???0 存在而非唯一

?题目中第①个说法中，它的测度e10已经大于1，说明不能任意小，所以排除此项。

②极限的定义中明明写的是不带等的定义，而题

目中条件却带着等，那么条件还正确嘛？ ——带等不带等，结果是一样的。?是存在的而不唯一，?代表着“附近”，仅是存在而已。书上定义说是开区间成立，那么它的子闭区间必然成立。?既然不是固定的，你可以说里面的是?。自然成立等价条件：立即推 0<|x-x0|N?n≥N

|f(x)-A|

【例2】设liman=a,且a≠0，则当n充分大时

n??（ ）

11A） an>a- B) an< a+

nn|a||a|C) |an|> D) an<

22【分析】本题很好的考察了极限的定义。看到

liman=a，立马可以写成极限定义的格式：

n????>0，?N>0,n>N，|an-a|

原题中较明显的问题就是取测度咯，A、B采用

1|a|，C、D则使用了。至于为什么我会送你一

2n句话：请观察选项。那么好，我们先来看A、B

111取?=，a-

nnn往下看：

|a|取?=，（对于不等式有如下公式||a|-|b||≤|a-b|。

2可以理解为，a到b的距离一定大于a的长度与b长度的差值。这个请考生自行画图证明，不做赘述）

|a|根据上述不等式得：||an|-|a||≤|an-a|<

2|a|3|a|<| an|< 22故得出了三个答案。（这类题通常作为打开试卷的头一题，难道命题人出错题了嘛？当然没有！） 【注】?是一个很小很小很小的数，而不是一个无穷小量！

1+当n→∞时，→0是变量 n|a|而是一个常数。 2取测度取常数而不取变量。 所以最后的答案是C。 2. 稳定性

3x（2015）设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=k,若

f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量，求a,b,k。 （2009）设f(x)=x-sinax，g(x)=bx3，若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量，求a,b 【分析】先讲2009

根据已知条件，写出如下式子：

x?sinaxf(x)lim=lim=1 3x?0g(x)x?0bx你是不是想到了洛必达？如果你说是，那么我们再来看一道例中例

1xsinx 【例中例】limx?0x211（洛必达法则）=lim2xsin-cos

x?0xx好了前面那个叫有界变量乘以无穷小，那后面那个呢？有界震荡。好嘛cos?，不断地波动，极

限自然不存在。

难道以上的解法真的对嘛？直接约分得：原式

1=lim sin.有界变量与无穷小之积，结果为零。x?0x很明显，洛必达法则在这里是不能用的。洛必达法则是后验逻辑，也就是说，我们求导得出的式子的极限存在才能说原来函数的极限存在，而原来函数的极限存在，并不意味着求导后的极限一定存在。所以，洛必达法则，并不是随便用的。我们不能在此用洛必达法则解题。那么怎么办呢？是不是一定没有思路了呢？我们想到了一个人，他叫泰勒。

给大家讲个故事吧：从前有一对夫妇，丈夫叫sinx，妻子叫cosx，有一天晚上，sinx出去了，出去干嘛了呢？听相声。郭德纲专场。结果到了很晚，sinx还没有回家，cosx着急了，过了一会儿有人来敲门。门外站了这么一个人: x3x5x-++………. 3?5!啊呀长得好复杂。cosx问：“你是谁呀？”那人回答：“我是你丈夫sinx啊！”cosx:“你怎么变成了这个样子？”那人回答：“老婆，今晚相声

太乐（泰勒）了。”于是sinx泰勒展开了。于是不仅仅是sinx,cosx、tanx、arcsinx、arctanx、e、ln(1+x)…..

以至于所有可导f(x)????? ?anx

归于展开为x

n

看到没有，所有可导函数都可以表示成了幂函数的叠加。多么伟大的贡献啊~那么我们考研要求的泰勒公式，一共有八个：

13sinx=x-x+o(x3)

61214cosx=1-x+x+o(x4)

242133arcsinx=x+x+o(x)

613arctanx=x-x+o(x3)

3133tanx=x+x+o(x)

31213e=1+x+x+x o(x3)

26x1213ln(1+x)=x-x+x+o(x3)

23

?1?x?=1+?x+

?α???1?2x2+o(x2)

133根据sinx=x-x+o(x)得：

613x-sinx~x（x→0）

6再推广一下

13狗-sin狗~狗（狗→0）

61故上题a=1,b=,你看出来了吗?有些人问，为什

6么a一定是1？如果a不是1，那么x-sinax会出现一次项，在x趋向于0时，次数越低的项趋近于无穷小的速度越快。如果有一次项，则可泰勒等价为(a-1)x+o(x)而不能与三次方等价。故a=1.

(sinx?sin(sinx))sinxlim 4x?0x13sinx??16原式=lim= 3x?06x【注】展开原则

A1°型——“上下同阶”原则

B——若分母（分子）是xk，则分子（分母）展开至x

k

133-x?o(x)1x?tanx3如：lim=lim=- 33x?0x?03xarcsinx??2°A-B型（A+B=A-(-B)） ——“幂次最低原则”

——将A、B分别展开至系数不相等的最低次幂为止。

如（2016）当x→0时，f(x)=cosx-e为等价无穷小量，求c,k

1214cosx=1-x+x+o(x4)

242x2?2与g(x)=cxk

ex2?212144=1-x+x+ o(x)

28x2214

故cosx-e =-x+o(x4)

121故c=-，k=4.

12（2015）设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小量，求a,b,k。

【分析】x→0，

1213133f(x)=x+a(x-x+x+o(x))+bx(x-x+o(x3))

236a2133xxx=(1+a)x+(b-)++o()。故：1+a=0,a=-1, 23a11b-=0,b=-,c=- 2233. 新颖性

——牛顿—莱布尼茨公式

我们说如果我们对一篇课文熟悉到一种程度用四个字来形容那就是“倒背如流”。我们都知道：

bb?af(x)dx=F(x)|a=F(b)-f(a)，然而，你要是看到了F(b)-f(a)，能不能把它变回积分的形式呢？ （定积分符号?来源于英文summation）。 【例1】（2016）计算???0arctanπx-arctanxdx

xarctanπx-arctanx这个东西直接积怎么积都积不

x出来的样子，换个想法怎么样？

arctanπx-arctanxarctanxy?dy==? 211?(xy)xx这样的话这个积分就变成了一个二重积分。那么原式=???0??1dydx，二重积分直接积不方便，21?(xy)怎么办？——交换积分次序

????1dx?dy 由d(xy)=ydxdy得：=??? 21?01?(xy)????11=??dxy 2101?(xy)y?=??1x???1arctanxy|dy

x?0yπ=lnπ 2【例二】设y=f(x),如下图所示，f(x)具有二阶导数可积.则以下（ ）答案必成立

10A）?[f(x)-f’(x)]dx<0

110B) ?[f’(x)-f’’(x)]dx>0

110C) ?[f’’’(x)-f’’(x)]dx>0

110D) ?[f’’’(x)-f’(x)]dx>0

11010【分析】（A）I=?f(x)dx>0-? f’(x) dx

11=f(10)-f(1)=0，故I>0.

10(B)I=? f’(x) dx

110=0-? f’’(x) dx=0-(f(10)-f(1))=f’(1)-f’(10)<0

110(C)I=?f’’’(x)dx=f’’(10)-f’’(1)>0-1dx>0，故结果不确定。

1010(D)I=? f’’’(x)dx-? f’(x)dx>0

11故答案选D。

附：一阶导数表示曲线切线的斜率。二阶导数代

10?1 f’’(x)

表曲线的凹凸性。 凹凸：

?x∈I f’’(x)>0“凹”“U”

f’’(x)<0“凸”“?” 二、考研数学的命题题型 1、概念型 2、计算型

3、逻辑推理型（证明题） 4、应用型（强化班讲） ①读课本

1、概念型—导数定义 （牛顿提出）f(x0??x)?f(x0)?limx?0?x=f’(x0) 【注】1、f’(x0)只是一个记号

?2、 ????x?0f???x0?右导数 ???x?0?f???x0?左导数f’(x0)存在? f’+(x0)= f’-(x0) ②读18讲 1°f’(x0)? x0?狗)?f(x0)狗limf(?0狗须一样！

三个狗必

2°求f’(x0),必须-f(x0),此位置不能有任何的发挥。 ③做例题

f(1?cosh)【例一】 设f(0)=0，若lim存在，能2h?0h不能推出f’(0)存在？

f(0?狗)?f(0)?【分析】f’(0) lim

狗?0狗那么带公式——

f(0?1-cosh)?f(0)=lim 1?cosh?01?cosh这时我们想到了一个人，就是我们伟大的毛主席，因为毛主席说过：“没有条件，创造条件，自己动手，丰衣足食。”那就创造条件咯

f(1?cosh)lim 2h?0hf(0?1-cosh)?f(0)1-cosh=lim 21?cosh?o1?coshh（能不能拆，拆开再说，拆开都存在，说明拆对了。这就是所谓的“后验逻辑”） 那就拆开试试咯~

f(0?1-cosh)?f(0)=lim 1?cosh?01?cosh1-cosh1×lim=f’(0) 21?cosh?0h2故f’(0)存在。

同学们，上面的做法对吗？如果你说对，那么我们来看cosh能大于1嘛？当然不能了，余弦函数的定义域是[-1,1]，不能大于一那么1-cosh理所当然不是从两侧趋于零，而是右侧趋于零。也

+就是说，1-cosh→0。所以它只是右侧的极限存?在罢了只存在一侧导数自然不能推出导数存在，

mil所以f(0)=0，若

h?0f1(h)osc?h2存在，不能推出f’(0)

存在。回答完毕。

f(1?ek)【例二】 设f(0)=0,且lim存在，能不能

k?0k推出f’(0)存在？

f(1?ek)【分析】lim

k?0kf(1?e)1?e=lim kk?01?ekkkf(1?ek)1?ek=lim limkkk1?e?01?e1?e?0k=-f’(0)

f(1?ek)故，f(0)=0,且lim存在，可以推出f’(0)

k?0k存在，回答完毕。

【例三】 设f(0)=0,若limf(h?sinh)h?0h2存在，能否推出f’(0)存在？

【分析】limf(h?sinh)h?0h2 =limf(h?sinh)h?sinhh?0h?sinhh2 =f(h?sinh)hh?limsinh?0h?sinhlim?sinhh?0h2 =0?f’(0) 取f(x)=|x| 原式=limh?sinhh?sinh?0h?sinhlimh?sinhh?0h2=不存在 ????f'(0)?16?f'(0)?????f'(0)???f'(0)?0 ????f'(0)?0??【注】∞是特殊的不存在。

sinx有界，但limsinx??x?不存在

☆ 储备典型反例，用来辨析结论。

xx只取±1；有界， limxx?0x=???1??1???不? ?狗狗有界，但在狗?0时，极限不?

?x2exdx

X2 2x 2 0

ex ex ex ex

=x2ex-2xex+2ex+C

【例四】 设f(x)在x=0处有定义limf(h)?f(?h)h?0h?，能不能且

推出，

f’(0)?？

f(h)?f(?h)【分析】lim

h?0h①=limh?0(f(0?h)?f(0))?(f(0???h?)?f(0))h

f(0???h?)?f(0)f(0?h)?f(0)②=lim+lim

h?0h?0h?h③=f’(0)+f’(0) ④=2’f(0)??f’(0)?

同学们，以上做法对嘛？如果你说对，那么拿出红笔，标准的0分。有的人肯定问为什么，别着急马上来解释~

之前就讲过，f’(0)是记号，记号是不能参与运算的。上面的式子到第三步是完全没有问题的，因为它可以记作f’(0)+f’(0),但是f’(0)+f’(0)一定是小学算术中1+1=2的问题吗？我们来看。

hh取f(x)=|x|，lim +lim=不?，

h?0h?h?0?hh??hf(h)?f(?h)但是lim=lim=0?

h?0h?0hhf(h)?f(?h)?并不能说明f’(0)?。所以lim而且，

h?0hf(h)?f(?h)lim并不是2f’(0)，所以即使是它能h?0h表示成f’(0)+f’(0),它也不是2f’(0)所以运算中出现记号一定要注意，记号的想加和数量运算是完全不同的，就和前面说o(x)是个记号，o(x)+o(x)= o(x)移项之后还是并不改变o(x)前的符号，因为它仅仅是一个记号而已。一定要记住：记号是不参与计算的！回答完毕。

?巩固所学④做习题?

?增长见识【(tan习题】设f(x)=(tan?x4?1)

?x42?2)……(tan?x1004?100),求f’(1).

【分析】这时候你应该想到一个人，这个人是—普京?抓主要矛盾！

(tan?x4?1)在x=1时=0 记(tan=g(x)

?x24?2)……(tan?x1004?100)

（(tan=(tan?x44?1)g(x)）’

?x?1)’ g(x)+(tan?x4?1)g’(x)

再把1代入,整个式子后面那项直接等于零，不知你是否看出来了。

???然后原式=sec2g(1)= -99！

442此题宣告结束。

我相信导数的定义已经讲到了这份上了，大家对概念的理解一定够强了。那么我们来看2015年的真题，这是一道证明题，也是概念题。让你证明乘积的导数的公式：(uv)’=u’v+v’u。 （uv）’=lim=

?x?0u?x??x?v?x??x??u(x)v(x)?x?x?0

limu?x??x?v?x??x??u(x)v(x??x)?u(x)v(x??x)?u(x)v(x)?x

v?x??x??u(x??x)?u(x)??u(x)(v(x??x)?v(x))=lim ?x?0?x（能不能拆，拆开再说）

=?limx?0v?x??x??u(x??x)?u(x)??xlim+?x?0u(x)?v(x??x)?v(x)??x

=v(x) u’(x) +u(x) v’(x) 证明完毕。

2.行列式和矩阵到底是什么？ ①行列式的概念 a11a12a21a22

1223S?

=lmsin(β-α)

=lmsinβcosα-lmcosβsinα =lsinβmcosα-lcosβmsinα =a11a22-a12a21

?二阶行列式是以两个行向量为邻边的平行四边

形的面积。

a11a12a21a22a31?a13a23a33

a32三阶行列式是以三个三维向量为邻边的平行六

面体的体积。

☆ n阶行列式是以n个n维向量为邻边拼成的

的n维图形的体积。 ②行列式的性质

1） 某行元素全为0?|A|=0 2） 某两行元素对应成比例?|A|=0 3） 互换两行元素?行列式添负号。 1223=? 23124） 某行乘以k≠0 ?1?1k?2=k?2

?3?35） 某行的k倍加到另一行?行列式值不变

a11即：s?a21a12a11?a22a21?ka11a12?s'?

a22?ka126） 单行可拆性（可加性） ?1?1?1?1??2??1??2 ?2?2?27）A?AT?行列性质相同。（行列式经过转置，其值不变）

☆③重要结论—行列式是由向量拼成

??Dn?A?0?组成A的向量全独立.(线性无关) ??线性相关???Dn?A?0?组成A的向量至少一个多余￡④矩阵的本质

英语系 机械系男生 ?296?1） 表面上，?984?

女生 ??表达系统信息

kAn?n?knAn?n 2)本质上，秩(A)=r(A) 引入秩的定义：

??r?A??k。??k个独立向量?若?k阶子式不为0，?有且仅有k个独立向量???但?（k?1）阶子式全为0。??K?1个向量其中至少一个多余

☆换言之，秩(A)=r(A)是指组成A的独立向量个数。

?123???1°如021 ???006???2°化A为行阶梯型阵（行最简阶梯型阵） ① 若A满足

??1?若有0行，全在下方 ???2?从行上看，自左边起出现连续0的个数自上而下严格单增。称A为行阶梯型阵.

?7?0?如：?0??0?0??1?0??0??0?0?00000020?1050000532003?7??0? ?0?0??7118??173?002?

?000?000??② 进一步地，若A还满足

?3）台角位置元素为1 ??4）台角正上方元素全为0称A为行最简阶梯阵。

?1?0??0??0?0?0000001000530000?0??1? ?0?0??③ 初等行变换

?123??216?1） 互换?????

?216??123?2） 倍乘?213????4?2?6?

?123??123?3） 倍加?????

?216??0?30?④ 任何可逆矩阵A一定可以通过若干次初等行换

化成同阶单位阵E ?***??10????***???01?***??00???0??0??E 1???570???【例1】 化A=490为行最简阶梯阵 ???360????570??100?【分析】r(A)=2.A??490???010?

?????000??000??????12??25?【例2】 化A=

?0?1??303??4?为行最简阶梯型阵 1??2?【分析】r(A)≤3

?123??10????0910?→?01?0?11??00????000??000??0? 1??0?思维容量+计算量=const

??七种未定式?f(x)?2、计算型问题??泰勒公式

?x?数列极限?n①七种未定式

?0?00（，，??0，???，?，0，1） 0?0≠0 1≠1

0?1），，??0.洛必达+泰勒.

0?【例1】limx?0ex2?e2?2cosxx40（） 0【分析】化简先行—方法主要有三：

2?sinx(sinx?x)1°lim 3x?0tanxsinx?x=2lim 3x?0tanx2=?

6?及时提出极限不为0的因式. 2°limx?01?3x?31?5xx?

?1?x?-1~αx

??1?x?=1+αx+o(x) ?1?3x??1?5x?12131-1~?3x

21-1~?5x 3

故，原式=limx?01?3x?1??31?5x?1x3?

（能不能拆，拆开再说） =limx?01?3x?1x-limx?01?5x?1x

35=- 231=- 6?善于使用等价无穷小替换。

3°limex(1?1x???

x1)x2=limex((1?x???

x)x)xex=limx=1 x???e?sinxlim?1??x?0x善于使用重要极限。 ???lim(1?1)x?e?x?x??同学们，上述做法对嘛？如果你说对，那么就中了命题人的圈套了。同学们，重要极限不重要！ 来看注解吧~

【注】上述错误在于：

人为地制造同一极限号后，x趋向的先后顺序.

?必须x同时趋向。

v(x)?幂指函数. 【正解】u(x)vu100%evlnu

原式=limx???e2x1exln(1?)

x2==

eex??lim[x?xln(1?)]1x

12?善于利用恒等变形。

x2回头来看例1

elimx?0?e2?2cosxx4

=

elimx?02?2cosx(ex2?2?2cosx?1)x4

=

elimx?0x2?2?2cosx?1x24

=limx?0=limx?0x?2?2cosx 4x2x?2sinx 34x1= 121?cosxcos2xcos3xlim【例2】

x?0x212【分析】1-cosx~x（x→0）

2原式=

limx?01?cosx?cosx?cosxcos2x?cosxcos2x?cosxcos2xcos3xx21?cosx?cosx(1?cos2x)?cosxcos2x(1?cos3x)

=limx?0x2

1?cosx1?cos2x1?cos3xlim??=x?0 222xxx1121=+×2+×32 222=7

（2016）limx?01?cosxcos2x3cos3xx2

=lim=lim1?cosx?cosx?cosxcos2x?cosxcos2x?cosxcos2x3cos3xx?0x21?cosx1?cos2x1?3cos3x??x?0x2x2x2

1lim(1?=+

2x?0cos2x)(1?cos2x)1?3cos3x?2x2x(1?cos2x)11lim1?cos2x1?3cos3x?=+ 2222x?0xx31?cos3x1lim=+1+ 2x?02x3lim(1?cos3x)(1?cos3x?cos3x)=+ 2x?0x2(1?3cos3x?3cos23x)333231lim1?cos3x=+ 223x?0x33=+=3 22【例3】

lim?lnx(ln1?x)?0???

x?1????1????0“设置分母有原则，简单因式才下0????0?0?10???放。”

??x?简单：x,e,etc????复杂：arcsinx,arctanx,lnx,,etc

xlnx 如lim?x?0x①=lim?x?01lnx?0??? ?0?1洛=lim?

x?011?2?lnxx=-limxlnx ?x?02lnx②lim? x?01x

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