2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二下学期期末考试数学(理)试题

2015～2016学年度第二学期期末质量检测试题

高二数学（理科）

注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ

一、选择题（每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。）

1、 4 8i i的虚部是（ ）

A 4 B 4i C 8 D 8i

1

，则f' 2 （ ） x

11

A 4 B C 4 D

44

2、f x

3、已知p:x 2，q:0 x 2，则p是q的（ ）条件

A．充分不必要 B. 必要不充分 C．充要 D. 既不充分又不必要

4、已知变量x,y的值如下表所示，如果y与x线性

7

回归直线方程为y bx ，则实数b （ ） 2

A

相关且

111 B C D

102210

5、抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红色骰子出现点数3”，事件B=“蓝色骰子出现点数为偶数”，则

P BA ( )

A

1111 B C D 23612

6、函数y cos2x在点

,0 处的切线方程为（ ） 4

A 4x 2y 0 B 4x 2y 0 C 4x 2y 0 D 4x 2y 0

7、函数f x x ax x 1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

3

2

C ,U D A ,U B

8、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同

的排法共有( )

A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种 9、用数学归纳法证明

1111n

n N 时，由n k到n k 1，不等

KK 1 22 33 4nn 1n 1

式左端应增加的式子为（ ） A.

11111

B. C. D.

kk 1kk 1k 1k 2kk 2k 1k 2x2y2

1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐10、已知双曲线

259

标原点，则ON等于（ ）

A．4 B. 2 C．1 D．

2 3

x2y21

11、已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆2 2 1(a b 0)上一点，若PF1 PF2 0，tan PF1F2 ，

ab2

则椭圆的离心率为（ ） A．

112 B． C． D．

3323

12、直线y a分别与曲线y 2 x 1 ，y x lnx交于A,B，则AB的最小值为（ ）

A．

3 B. 2 C． D．3 24

2015～2016学年度第二学期期末质量检测试卷

高 二 数 学（理科）

卷Ⅱ（解答题，共70分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）

2

13、命题“ x R，使得x 1 0”的否定是

14、(x 3y)6的二项展开式中，xy项的系数是 .

24

x2y2

15、双曲线 1的焦点到渐近线的距离为 .

43

16、已知函数f x x R 满足f 1 1，且f x 的导函数f

'

x

1x2

，则f x 的解集333

为 .

三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、（本题满分12分）命题p： x 0,x

12

a；命题q： x0 R,x0 2ax0 1 0。若 q为假x

命题，p q为假命题，则求a的取值范围。

18、（本题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：

规定若满意度不低于98分，评价该教师为“优秀”．

（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率； （Ⅱ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人， 记ξ表示评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

19、（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D是BC的中点.

(1)求证：A1B∥平面ADC1；

(2)若AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值

.

20、（本题满分12分）已知抛物线E：x 2py(p 0)，直线y kx 2与E交于A、B两点，且OA·OB = 2，其中. （1）求抛物线E的方程；

2（2）点C坐标为(0, 2)，记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2，证明：k12 k2 2k2为定值.

2

21、（本题满分12分）已知函数f x ex ax 1，（a为实数），g x lnx x ⑴讨论函数f(x)的单调区间； ⑵求函数g x 的极值； ⑶求证：lnx x ex(x 0)

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22．（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选讲

已知，AB为圆O的直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F. （1）求证：E、F、G、B四点共圆； （2）若GF 2FA 4，求线段AC的长.

A

B

1x 2 23．已知圆C的极坐标方程为

2cos ，直线l的参数方程为

y 1 1t 22

ClAP（

t为参数），点的极坐标为 24 ，设直线与圆交于点、Q.

（1）写出圆C的直角坐标方程； （2）求AP AQ的值.

24．已知函数f x x x a. （1）当a 2时，解不等式f x 4；

（2）若不等式f x 2a恒成立，求实数a的取值范围.

2016数学理科试题答案

一、选择题ADBCA DBBDA DA 二、填空题

13、“ x R，均有x2 1 0” 14、 135 15

、 xx 1 17、解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立只需a (x )min,

1

x

1

(x ) 2

(当且仅当x 1时取" ")∴a 2…………………4分 x又∵当x 0时，

不妨设q为真，要使得不等式有解只需 0，即( 2a)2 4 0

解得a 1或a 1 …………………8分 ∵ q假，且“p q”为假命题,故q真p假 …………………10分

a 2

a 1或a 1∴实数a的取值范围为a 2 …………………12分 所以

18、解：（Ⅰ）设Ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”， 至多1人评价该教师为“优秀”记为事件A，

则P（A）=P（A0）+P（A1）=

=

．…………………4分

（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，…………………5分 P（ξ=0）=（P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=（

）=

3

）3=， …………………6分

==

， …………………7分 ， …………………8分

， …………………9分

∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3

P

Eξ=

…………………10分

=0.9．…………………12分

19、解：(Ⅰ)连接A1C，交AC1于点E， 则点E是A1C及AC1的中点． 连接DE，则DE∥A1B．

因为A1B 平面ADC1 DE 平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1． 4分 (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2) D(

uuuruuur11

AD＝(，，0)，AC1＝(0，1， 2)． 6分

22

设平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，则

11

，，0)， 22

1 1x y 0

,不妨取m＝(2，－2， 1)． 9分 2 2

y 2z 0

uuur

易得平面ABA1的一个法向量n＝AC＝(0，1，0)． 10分

cos<m，n>＝

2m n

＝， 3mn

平面ADC1与ABA1

2

12分 2

20、解：（Ⅰ）将y kx 2代入x 2py，得x 2pkx 4p 0． 2分 其中 4pk 16p 0

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1 x2 2pk，x1x2 4p． 4分

2uuruuurx12x2OA OB x1x2 y1y2 x1x2 4p 4．

2p2p

22

由已知， 4p 4 2，p

12

．所以抛物线E的方程x y． 6分 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1 x2 k，x1x2 2．

y1 2x12 2x12 x1x2

k1 x1 x2，同理k2 x2 x1， 10分

x1x1x1

2

所以k12 k2 2k2 2(x1 x2)2 2(x1 x2)2 8x1x2 16． 12分

21、解：（1）由题意得f

'

x ex a

当a 0时，f' x 0恒成立，函数f x 在R上单调递增， 当a 0时，由f' x 0可得x lna，由f' x 0可得x lna，

故函数f x 在 lna, 上单调递增，在 ,lna 上单调递减。…………………4分 （2）函数g x 的定义域为 0, ，g x

'

1

1， x

由g' x 0可得0 x 1；由g' x 0，可得x 1. 所以函数g x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，

故函数g x 在x 1取得极大值，其极大值为ln1 1 1.…………………8分

⑶当a 1时，f x ex x 1，由（1）知，f x ex x 1在x ln1 0处取得极小值，也是最小值，且f x min 0，故e x 1 0 x 0 ，得到e x 1 x 0 .

x

x

由（2）知，g x lnx x在x l处取得最大值，且g x max 1， 故lnx x 1 x 0 ，得到lnx x 1 x x 0 . 综上lnx x e

x

x 0 . …………………12分

22、解：（1）如图，连结GB，由AB为圆O的直径可知 AGB 90，

A

B

又CD AB，所以 AGB BEF 90，

因此E、F、G、B四点共圆；…………………5分

（2）连结BC，由E、F、G、B四点共圆得AF AG AE AB， 又AF 2，AG 6，所以AE AB 12，

2

因为在Rt ABC中，AC

AE AB所以AC …………………10分

23．解：（1）由 2cos ，得 2 cos

2

Q 2 x2 y2， cos x， x2 y2 2x即 x 1 y2 1，

2

2

即圆C的直角坐标方程为 x 1 y 1；…………………5分

2

（2）由点A

的极坐标 11

得点A直角坐标为 , ，

4 22

1x 22代入 x 1 2 y2 1消去x、y

，整理得t2 1 0， 将

2 y 1 1t

22

设t1、t

2为方程t2

111

t 0的两个根，则t1t2 ，

2221

.…………………10分 2

所以AP AQ t1t2

24．（1）由f x 4得，

1 x 2 x 1 x 2

，或 ，或 ，

1 4 3 2x 4 2x 3 4

解得：x

17 17

或x ，原不等式的解集为 xx ,或x ； …………………5分 2222

（2）由不等式的性质得：f x a ， 要使不等式f x 2a恒成立，则a 2a， 解得：a 1或a

1

3

所以实数a的取值范围为 , . …………………10分

3

1

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