小学数学专题训练

专题九 让学生了解自己的生存空间

阅读材料9.1

图形与几何教学的最终目的是发展学生的空间观念

编写按：几何课程内容的改革，历来是国内外数学改革的重要问题，小学几何初步知识也不例外，下面就帮助学生更好地认识、描述生活空间进行说明。

目前，大家已经达成共识，在几何中要大量增加有关空间图形和实验几何的内容，对于大多数的学生，几何学习更重要的目标是形成空间观念，因此，要在图形观察与操作、探究物体间的位置关系、想象与设计图形等活动中，逐步形成空间感；获得与图形和空间有关的基础知识和基本技能；经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，发展合情推理的能力；运用图形与空间的知识解决现实生活中的问题并进行交流；体会几何发现的乐趣，初步感受图形与空间的美和推理的价值。

教学中，教师应该应用多种方法帮助学生认识现实生活中的几何形体和图形的形状、大小、位置关系和变换，使学生更好地认识、描述生活空间，并进行有效的交流。

一、利用学生的生活经验，引导观察

在几何教学时，要充分利用学生的生活经验，从小学生熟悉的事物中引入，让学生找到几何生活中的原型。教师要引导学生进行有效的观察，提供标准图形，使学生初步了解图形的某些特征，提供变式图形，可以帮助学生在观察中进行思考，进一步掌握几何概念。 二、、引导学生进行操作实验

教师要让学生亲自动手实验。让学生的视觉、听觉、触觉等多种分析器官协同参与活动，通过内容丰富的图形、符号、实物操作等探究活动，不断丰富归纳和类比的经验，从而促进学生思维能力的发展。例如，前面例子当中提到的切土豆，让学生感知长方体的面、棱、顶点。对于一些空间观念要求比较高的问题，教师可以引导学生通过摆、折、剪等方法来帮助理解。若学生凭空去思考，就会感到困难。而通过动手剪一剪、折一折，就能很容易发现其中的奥秘。

小学生的操作方法大致有六个方面：剪拼；折叠；测量；制作；绘画；实地操作等。 三、运用变式图形，掌握几何概念

在学生空间观念的形成、发展过程中，学生所接触到的几何形体的实物或其他的一些感性材料，可能会有局限性，因此，教师必须运用变式图形。例如，画三角形的高，可以先让学生观察标准图形，然后出示各种变式图，无论三角形的形状如何，让学生比较，概括出画三角形高的方法。

四、培养学生的推理能力

在空间与图形的教学中，引导学生进行几何推理是一个重要的教学环节。

在观察中思考。如认识三角形，教师可以出示形状不同、大小不同、方位不同甚至是颜色不同、用料不同的各种三角形，让学生从中得出：像这样的用三条边围成的封闭图形都叫三角形。

利用几何概念进行判断。这种方式可以帮助学生从相似的图形中精确地辨别各种图形的本质特征，使学生的印象更加清晰。如低年级学生刚认识三角形和四边形后，就可以出示一些图片，让他们判断哪些是三角形、四边形？

利用想象进行推理。如教师可以出示三个学生从不同方向观察同一个物体的情景，让学生说一说他们看到的分别是什么。学生在这一过程中，就可以利用空间想象进行推理。

在活动中思考。如学生理解“左右”的相对性时，总会有一些困难，教师可以组织学生进行模拟活动，体会左右的相对性。

总之，要加强几何与生活的联系，将视野拓宽到生活空间，重视现实世界中有关空间与

图形的问题，重视量及量的单位的实际意义，学会运用测量、计算、实际操作、图形变换以及简单的推理等手段，解释和处理一些简单的问题。在不断的探索、处理问题的过程中发展学生的空间观念、几何直觉、图形设计与推理能力。 阅读材料9.2

一节切土豆的数学课

编写按：为了让学生有一种体验，用切土豆的方式进行教学可谓匠心独具，这节“长方体和正方体认识”的数学课对我们的教学有什么启示呢？让我们细细体会吧。

长方体和正方体的认识

教学内容：长方体和正方体的认识。 教学目的：

1．使学生认识和掌握长、正方体的特征。

2．培养学生观察、操作、概括的能力，发展学生的空间观念。 3．初步渗透“认识来源于实践”的辩证的唯物主义观点。 教学重点：认识长方体和正方体的特征。 教学难点：理解长方体和正方体的关系。 教具、学具准备：

教具：长、正方体模型，投影片。

学具：火柴盒、正方体小木块、土豆、小刀。 教学过程：

1．导人新课。

(1) 建立面、棱、顶点的概念。 师：“今天我请大家带来了土豆、小刀，你们一定会感到奇怪，数学课带这些东西做什么呢？下面，就用它来帮助我们认识一些数学中的形体概念。” （师示范切土豆，垂直地切下第一刀，学生模仿切土豆。） 师：“请同学们用手轻轻地摸一摸，你发现了什么？” 生：“我发现切一刀后出现了一个很平很平的面。” （板书：面）

（师面朝下，垂直切下第二刀） （学生模仿切土豆。）

师：“请你们再用手摸一摸，又发现了什么？” 生：“我发现了一条边。” 师：“这条边是怎么形成的？请观察。” 生：“这条边是两个面相交在一起（手势）形成的。” 师：“两个面相交的边叫做棱。” （板书：棱）

师：“什么叫做棱？” 生：“两个面相交的边叫做棱。” （师在侧面垂直切下第三刀） （学生模仿切土豆。）、 师：“请你们再一次用手轻轻地摸一摸，又有什么新的发现？” 生：“我发现了一个小尖。” 师：“请仔细观察（手摸三角棱）这个小尖是怎么形成的？” 生：“小尖是由三条棱相交的点。”．

师：“三条棱相交的这点叫做顶点。” （板书：顶点） 师：“什么叫顶点？” 生：“三条棱相交的点。” 教师举起土豆边演示边讲解：“切一刀出了个面，切两刀出了条棱，切三刀出了个顶点。面、棱、顶点这三要素正是我们今天要研究的长方体，正方体的三个基本要素。” (2)提出疑问。引发思考。

讲台上摆满了各种物体，老师请同学们将这些物体分类。 同学们将物体根据它们的形状分了三类： ①长方体一类；

②正方体一类（一组对面是正方形的长方体也分在了这类）； ③其它物体一类。 教师讲解：“同学们对这些物体进行了分类，认为这些物体是长方体（举起长方体模型），认为这些是正方体（举起正方体模型）．而认为这些物体（举起一组对面是平行四边形的六面体模型既不是长方体，也不是正方体）。你们是根据什么判断的呢？换句话说；一个物体具备了哪些特征就可以说它的形状是长方体或正方体呢？下面，我们就从面、棱、顶点三方面来研究一下长方体和正方体的特征。 2．探讨新知。 （1）出示思考题。

教师在黑板上书写的面、棱、顶点后面提出问题：

面：长方体有几个面？每个面都是什么形状的？面的大小有什么不同？ 棱：长方体有几条棱？棱的长短有什么不同？ 顶点：长方体有几个顶点？ （2）学生讨论。

学生两个人为一组，拿出长方体的火柴盒，一边观察，一边讨论。 教师行间巡视指导。‘ 集中发言： 生甲：（手拿长方体模型）“长方体有6个面（指给大家看1.2.3.4.5.6），面的形状都是长方形，而且每两个相对的面的面积相等。” 师：“同学们对照手中的长方体火柴盒，看看长方体的面是否具有这个特征。” 生乙：“长方体有12条棱，每四条棱的长度相等。” 生丙：“不是随便的四条棱相等，而是每组相对的四条棱长度相等。”

教师对学生丙的补充给予鼓励，并请全班同学按规律，有节奏地数一数这12条棱。 学生数棱：“1.2.3.4——5.6.7.8——9.10.11.12” 生丁：“长方体有8个顶点。”

（全班同学举起火柴盒数出8个顶点。） 教师请同学完整地叙述长方体的特征。，

一学生叙述，全班随着叙述，对照模型观察。 （3）验证结论。 师：“长方体6个相对的面都是相等的长方形吗？12条棱，每相对的4条相等吗？请看演示。”

（演示：将长方体前、后、左、右、上、下6个面一组一组的对面分别出现，再使相对的面重合，证实6个相对的面都是相等的长方形。）

（再将用12条铁丝围成的长方体模型的每相对的4条棱涂上同样的颜色，用尺子测量一下，证实了每相对的4条棱的长度相等。） 最后数一数8个顶点。 出示表格长方体的特征

长方体 面 6个面一般都是长方形（ ）相对的面面积相等。 棱 有12条棱，每相对的4条棱的长度相等。 顶点 8个顶点 师：“（出示一组对面是平行的四边形的六面体）”这个物体是长方体吗？为什么？” 生：“这个物体不是长方休，因为它不符合相对的面是长方形的特征。” (4)介绍长方体的长、宽、高。 师：“（出示一个长方体的模型，指着一个顶点）相交于这个顶点的有几条棱？你能动手摸一摸吗？”

（生边说边摸） 师：“相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的什么呢？请打开书。” （学生看书） 师：（边出示用铁丝做成的长方体模型边讲解）相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。习惯上，我们把底面较长的边叫做长，较短的边叫做宽，垂直于底面的这条棱叫做高。

教师在黑板上画出长方体的立体图、请同学观察： 高

宽

长

学生拿出火柴盒分别指出它的长、宽、高。

将火柴盒调换不同的方位再分别指出它的长、宽、高。 (5)认识正方体。

教师出示一个用铁丝围成的正方体模型，请同学们指出它的长、宽、高。 师：“这个物体的长、宽、高有什么特点？用尺子量一量。” 生：“这个物体的长、宽、高的长度相等。” 师：“像这样的（指模型）长、宽、高都相等的物体叫做正方体。正方体有什么特征？你们能从“面、棱、顶点”三方面来观察研究吗？” 学生拿出正方体盒子，边观察边研究它的特征。 补充板书：

长方体 正方体 面 6个面一般都是长方形（ ）相对的面面积相等。 棱 有12条棱，每相对的4条棱的长度相等。 顶点 8个顶点 8个顶点 6个面都是相等的正方形，面积相等。 有12条棱，长度都相等。

教师在黑板上画出正方体的立体图，请同学们观察：

棱 棱

棱

（6）认识长、正方体的关系

教师出示一组对面是正方形的长方体，如图：

提问：这个物体是长方体还是正方体？请根据特征判

断。

两种意见的人数约各占一半。

教师请双方各出一名代表谈谈为什么这样判断。（认为是长方体的同学为正方，认为是正方体的同学为反方） 正方发问：“我想问对方一个问题，正方体具有什么特征？” 反方：“正方体的6个面都是相等的正方形，12条棱的长度相等。” 正方：“请你们仔细看看这6个面都是相等的正方形吗？12条棱的长度相等吗？” 反方认真看看这个物体，说：“这6个面部都是正方形，12条棱的长度也不相等，看来是我们判断错了。”

这时反方的另一名同学又提出了问题：“这个物体不是正方体，也不是长方体。因为长方体的6个面都是长方形，而它有一组对面是正方形。” 刚刚平静的教室又沸腾起来，“对呀！这组对面是正方形也不符合长方体的特征啊！” 教师站在前面，认真地倾听同学们的议论。不紧不慢地提示了一句：“还记得长方形和正方形之间的关系吗？”

同学们的思维又活跃起来：“正方形不就是特殊的长方形吗？！”“对，长方体可以有一组对面是正方形！”“这个物体是长方体，它符合长方体的特征！” 老师在长方体的特征中又补充了一句：“也可能有两个相对的面是正方形。” 教师又一次出示正方体模型和长方体模型，提出了问题：“长方体和正方体有哪些相同的地方和不同的地方？”

学生讨论后回答：

“长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点；长方体的6个面相对的面面积相等，正方体的6个面面积都相等，长方体的12条棱相对的4条棱长度相等，正方体12条棱长度都相等。长方体的特征正方体都具备，正方体的特征长方体并不完全具备。”

师：“同学们观察得认真，讨论得深刻。好极了！如果我们用大集合的圈表示长方体的话则正方体该是它其中的一部分。”

演示集合圈： 长方体

正方体

“正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。”

演示教具：长方体逐渐地缩小、缩小，变成正方体，又逐渐地缩小变成了长方体。（边演示，边提问，让学生体会到长方体中有正方体，正方体中有长方体） （新课讲完了，请同学打开书—看书。） 师：“除了书上面画的，讲台上放着的长、正方体，在生活中有哪些长、正方体，举例说一说。”

3．反馈练习。

(1)认识立体图形，判断哪些物体是长方体？哪些物体是正方体？ 出示一组图形：（单位：厘米）

5

5 5

5 5

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师：“为什么说这是长方体，那是正方体，而它既不是长方体也不是正方体呢？” 生：“我们是根据长、正方体的特征进行判断的。” (2)建立空间观念。

教师将讲台上的长方体、正方体的模型藏起来，然后，提了一个问题： “请同学们闭上眼睛，你能在头脑中想象出一个长方体或正方体，让它出现在眼前吗？” （教室里异常安静） 生甲：“我闭上眼睛后，眼前黑乎乎的，怎么也想不出一个长方体的模样。” 师：“好，你先睁眼看一看，这是什么？（铅笔盒）闭上眼睛想一想这个铅笔盒什么样子？ “有几个面？相互的位置怎样？它怎样摆放的？” 生甲：“我想出来了，它是这样扁扁地放着，相对面大小相等。” 师：“好极了，如果将铅笔盒竖起来，最小的面为底面，这时它是怎样的位置？” 生：（齐）“我们也想出来了，它是这样放着。”将（铅笔盒竖起来） 教师鼓励了学生的想象，并提出：“谁能在眼前闪现出长方体，并用语言描绘出来。” 生乙：“闭上眼睛，眼前一片天蓝，这时有一个灰色的长方体出现这是北京长城上的一块砖。”

师：“欢迎同学们去游览长城。” 生丙：“我有一个字不会写，十分着急，突然有一位长方体的老师出现了，那是新华字典。”

这时有一位调皮的男同学走到讲台前面，风趣地说：“在茫茫的沙漠中，我口渴极了，突然一个绿色的长方体出现了，那是电冰箱——阿里斯顿。电冰箱里装满了大大小小的长、正方体饮料，我大饱口福。”

（教室里又爆发出一阵笑声）

教师补充了一句：，如果从电冰箱中取出四个同样大小的正方体饮料盒，把它拼摆成一个

长方体可能会是什么样子？还可能会是什么形状？” （请大家闭上眼睛想，不许动手拼。） 师：（出示模型）“谁想的和它一样呢？” “你们真聪明！” (3)出示提高题： 看图口答问题：（单位：分米）

2 3

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①长方体后面的面积是（ ）平方分米； ②长方体（ ）面的面积是15平方分米；

③长方体左、右两个面面积之和是（ ）平方分米； ④长方体的棱长之和是（ ）分米。， 同学们很有兴趣地思考着、议论着。 老师继续提出问题：“我只画了前面，你怎么知道后面面积是10平方分米呢?” 学生对答如流：“前后面积相等，知道了前面面积，也就算出了后面面积。” 师：“你是怎么求出棱长之和是40分米的？” 生：“我是把长、宽、高看作一组，一组是5＋2＋3＝10分米，有这样的4组是40分米。 生：“不，我是先求4个长，再求4个宽，最后再求4个高，一加也得40分米。” （老师热情地鼓励着同学们。）

最后，老师又提出了一个问题留给同学们课下思考：“我们班同学要用彩色电光纸糊一个节约箱，如上图，要糊满最少要多少彩色电光纸呢？” 4．课堂小结：

师：这节课学习了什么？

生：“认识了长、正方体的特征和它们之间的关系。” 师：“长方体和正方体有哪些相同点和不同点呢？” 板书设计：

长方体和正方体的认识 形 体 长方体 面 6个面一般都是长方形（也可能有两个相对的面试正方形）相对的面面积相等。 棱 有12条棱，每相对的4条棱的长度相等。 顶点 8个顶点 8个顶点 正方体

6个面都是相等的正方形，面积相等。 有12条棱，长度都相等。 （选自《吴正宪数学教学教例与教法》 人民日报出版社） 这节课老师引导学生实验观察、思考想象，在活动中成功地完成了教学任务。

1.“动手切土豆”的实验，颇有情趣，很好地帮助学生认识面、棱、顶点三个几何要素，为长、正方体的特征掌握作了重要的铺垫。

2.教具、学具、电化教学手段配合默契，运用恰当，效果明显。变静态为动态，使学生认识长方体的相对面相等，表象清晰，用铁丝做成的长方体教具框架，并将相对：4条棱为一组，每组分别用不同颜色标出，直观形象，起到化难为易的作用。教具、学具的使用具有实

效性。

3.有收有放。教师充分开发教学资源，积极引导学生参与学习过程。先让学生将物体分类，接着根据长、正方体的特征验证，然后用集合图说明两者的逻辑关系，最后让大家闭目想象出长方体的形象。这一系列安排，由具体—抽象—具体，完全符合儿童的心理特征；尤其着力于空间观念的形成，体现了课程标准的理念。 探究学习

《标准》认为：学生空间观念形成的主要表现是：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

1．《标准》把平移、旋转首次引进数学教材，这样做的好处是什么？请你发表看法。

答：我认为把平移、旋转引进数学教材，这样可以从实际操作中让学生明白更为抽象的概念，老版的教材总是提出一个抽象的生硬的概念，让学生去死记，去不断的练习，不断的空间想象，不仅效率低下，而且给教学带来了相当大的困扰，空间想象力差的学生根本无法或者得到提高，长此下去很多学生越差远远，最后不得放弃，影响后面的连贯学习，现在的教材把平移旋转引进教材，可以让学生从实际操作自己领悟空间的概念，可以从已有的知识得到新的知识，可以更容易理解新的概念更容易接受，还可以提高学生学习效率，增加学生信心，更为重要的是让学生学习到接受新事物以及创新的方法，对祖国未来教育有一定的开创性意义。

2．空间观念的形成对学生来说至关重要，请以“圆的认识”为例，说明课堂教学中怎样发展学生的空间观念？

答：如果我们很空洞的讲圆的概念，不仅然我们教师感觉无从下口，也会让学生难以理解，知识来源于生活，我们可以先引进圆形的平面或者球形的物体来让学生接受这个新概念。 首先，我们要让学生认识生活中的圆，我们教学可以拿个碗，拿张白纸，让学生模仿老师把碗扣在纸上，剪出一个圆形纸，然后让学生理解这个样子的就是圆，在让学生举例生活中还有什么是圆，比如镜子，杯子口，锅口等等，然后再引进空间概念，拿个皮球，让学生摸摸，看看，比较一下长方体正方体等，引进球体的概念，结合起来区分平面圆和空间圆的概念，这样一步步从平面到空间，从生活到书本，再从圆衍生到其他空间概念。

3．“图形与几何”是新课程中变化最大的部分，请说明哪些地方变化了？你在教学中将采取哪些策略完成《标准》中提出的要求？

答：老版本课程中图形和几何都是以书本为出发点，都是以概念为基础，寥寥的配图为衬托，让学生计算，想象，死记，而新课程中，图形与几何都是以实物为例，从生活到书本，从实体到抽象，再从书本到生活，抽象回归生活，从实际的物体操纵中认识及计算几何图形。 我在教学中，一定要注意不能以我们已经掌握了这个概念的基础点出发去教学生，一定要站在他们的思维出发，多从他们怎么容易接受概念，怎么容易想象出这样的几何图形，尽量从生活引入主题，从实例解决问题，这样不仅教会他们书本知识，更让他们掌握学习新知识的方法。

学习反思

数学图形与几何历来在教学当中都是难题，教学中发现光靠书本教学很难达到预期的效果，空洞的空间想象力对于初次接触这类概念的学生来说很困难，所以提出我们的平移、旋转、实例转化。我们今后的教学要尽量避免犯老错误，要接受新课本的大纲要求，不仅要遵循新课程规定，还要创新发现新方法，让学生能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

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