第一轮复习学案 改

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

第1课时 实数的概念与运算

【知识梳理】 1．实数的分类： (1)按定义分类：

7．近似数与有效数字：一个与实际数值很接近的数叫做近似数．一般地，近似数由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，这时，从左边第一个不是_______的数字起，到_______止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 8．平方根、算术平方根与立方根：

(1)若x2＝a(a≥0)，则称x为a的_______，记为＋a或a，其中a叫做a的_______．0的算术平方根是_______．同样，若x3＝a，则称x为a的_______，记为3a，0的立方根为_______． (2)一个正数的平方根有两个，它们_____，负数没有平方根．一个数的立方根只有一个． 9．实数的大小比较：

(1)数轴表示法：将两个实数分别表示在数轴上，_______边的数总比_______边的数大． (2)代数比较法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而________． (3)根式比较：若a>b≥0，则a_______b． 10．实数的运算：

2．数轴：规定了________、_______和_______的直线叫做数轴，数轴上的点与_______是一一对应的关系．

3．相反数：只有_______的两个数互为相反数．数a的相反数是_______；若a和b互为相反数，则a＋b＝_______．

4．绝对值：在数轴上，表示数a的点到_______的距离，叫做数a的绝对值，记作a，正数的绝对值是_______，负数的绝对值是_______，0的绝对值是_______，即

(1)实数的运算法则：

①加法法则：同号两数相加，取_______的符号，并把绝对值_______；异号两数相加，取_______的加数的符号，并用_______减去_______；互为相反数的两数之和等于_______．

②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______．

③乘法法则：两数相乘，同号得_______，异号得_______，并把绝对值相乘；0乘任何数都得0． ④除法法则：两数相除，同号得_______，异号得_______，并把绝对值相除(除数不为0)；除以一个数等于乘这个数的________．

⑤实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，其运算顺序为：先算_______，再算_______，最

5．倒数：乘积为_______的两个数互为倒数．数a(a≠0)的倒数是________；若实数a，b互为倒数，则ab＝_______．

6．科学记数法：把一个数表示成a310n(_______≤a<_______，n为不等于0的整数）的形式的方法叫做科学记数法．

后算_______．有括号时，先算_______里面的，同一级运算按照从_______到_______的顺序依次进行． (2)有理数的运算律在实数范围内也适用，常用的运算律有________、________、________、________、_______． 【考点例析】

考点一 实数的有关概念

1

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例1下列四个数中，是负数的是( )

A．?2 B．??2? C．－2 D． 例2 下列四个实数中，是无理数的为 ( ) A．0

B．3

C．－2

2 A．2 B．16 C．±2 D．±16

??2?2

(2) 64的立方根是 ( ) A．8

B．±8

C．4

D．±4

2D．

7考点六 无理数的估算

例7 估算10＋1的值在 ( ) A．2和3之间

B．3和4之间

[来源学科网] 考点二 相反数、绝对值和倒数 例3 (1)－2012的相反数是( ) A．－2 012

(2)－12的绝对值是 A．12

B．－12

B．2012

1C．－

20121C．

121D．

20121D．－

12 C．4和5之间 D．5和6之间

考点七 实数的大小比较

例8 在实数0，－π，3，－4中，最小的数是 ( ) A．0

B．－π

C．3

D．－4

3(3)－的倒数是 （ ）

4 A．

考点八 非负数的性质

D．?3 4B．－

44 C． 333 4例9已知a?1?7?b?0，则a＋b等于 ( ) A．－8

B．－6

C．6

D．8

考点三 数轴的应用

例4实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是 ( )

A．a

B． a＞b D．b－a>0

考点九 实数的运算 例10 计算： (1) ?5??2?11?2?3?6???????1?；

?32??0 C．－a<－b

考点四 科学记数法和近似数

例5 从权威部门获悉，中国海洋面积是299.7万平方千米，约为陆地面积的三分之一，299.7万平方千米用科学记数法表示为（保留两个有效数字） ( ) A．33106平方千米

B．0.33107平方千米 D．2. 993106平方千米

考点五 平方根、算术平方根和立方根 例6 (1) 4的平方根是 ( )

?1?(2) ?2sin30???????3??2?2???0?3?8???1?2012．

例11 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是 ( )

C．3.03106平方千米

考点十 与实数有关的探索规律题

2

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例12 定义：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（﹣m，﹣n）．例如f（2，3）=（3，2），g（﹣1，﹣4）=（1，4）．则g[f（﹣5，6）]等于（ ） A． （﹣6，5） B．（﹣5，﹣6） C．（6，﹣5） D．（﹣5，6）

x k b 19．在数一1，0，0.2，

1，3中，正数一共有_______个． 710．如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P'，则点P'表示的数是【反馈练习】 1．－

16的倒数是 ( ) A．6

B．－6

C．6

D．－

16 2．计算－2－5的结果是 ( ) A．－7

B．－3

C．3

D．7

3．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是

A．ab>0

B．a＋b<0

C．(6－1)（a＋1）>0

D．(b－1)（a－1）>0

4．计算327的结果是 ( ) A．±33

B．33

C．±3

D．3

5．在数2，13，π，38，cos45°，0.32..中，无理数的个数是 ( ) A．1

B．2

C．3

D．4

6．下列四个实数中，最大的数是 ( ) A．－1

B．0

C．1

D．2

7． 12的负的平方根介于 ( ) A．－5与－4之间 B．－4与－3之间 C．－3与－2之间

D．－2与－1之间

8．已知实数x，y满足x?2??y?1?2?0，则x－y等于 ( ) A．3

B．－3

C．1

D．－1

( )

_______．

11．为了保护人类的居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330 000毫克／千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为_______毫克／千瓦时． 12．计算：

(1) 22－20120＋(－6)÷3；

(2) 2－2sin 45°－(1＋8)0＋2－

1．

新课 标第 一 网

第2课时 整式与因式分解

【知识梳理】 1．代数式的概念：

(1)用_______把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式． (2)单项式：由数与字母的_______叫单项式．其中_______叫做单项式的系数，系数不能用带分数表示．一个单项式中，所有字母的_______叫做这个单项式的次数．单独的一个数或字母也是单项式．

X K B 1.C O M

(3)多项式：几个单项式的_______叫做多项式．其中每个_______叫做这个多项式的项，不含字母的项

3

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叫做_______，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的_______． (4)单项式和多项式统称为_______．

(5)用数值代替代数式中的字母，计算出结果，叫做代数式的_______． (6)同类项：所含字母相同，并且相同字母的_______也相同的项叫做同类项． 2．整式的运算：

(1)整式加减的实质就是_______．

(2)整式的乘法包括：单项式乘以单项式，________，_______．

(3)整式的除法：单项式除以单项式，把_______和_______分别相除，作为商的因式．对于只在被除式

A．

里含有的字母，则连同它的指数作为_______．多项式除以单项式时，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把_______．

(4)幂的运算法则(m，n是整数，a≠0)：

x.k.b.1 考点二 求代数式的值

例2 已知当x＝1时，2ax2＋bx的值为3，则当x＝2时，ax2＋bx的值为________． 考点三 同类项 例3如果单项式－ A．2、2

1a213b

xy与xy是同类项，那么a、b的值分别为 ( ) 23B．－3、2

C．2、3

D．3、2

考点四 整数指数幂与幂的运算 例4计算2

－2

的结果为 ( )

B．2

C．－

1 41 4 D．4

例5下列计算正确的是 ( ) A．2a2＋a2＝3a4 考点五 整式的运算 例6 化简：

(1) 3（2x2－y2）－2(3y2－2x2)； (2) （a－b）2＋6(2a＋b)．

例7 先化简，再求值：

2b2＋(a＋b)（a－b）－(a－b)2，其中a＝－3，b＝

考点六 因式分解

例8 (1)分解因式：x3－9x＝________； (2)分解因式：nm2＋6nm＋9m＝________． 考点七 图形中的整式乘除运算

例9 如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分

B．a6÷a2＝a3 C．a62a2＝a12

D．(－a6)2＝a12

①am2an＝_______；②(am)n＝_______； ③(ab)n＝________；④am÷an＝_______． 3．乘法公式：

(1)平方差公式：(a＋b)（a－b）＝_______． (2)完全平方公式：(a±b)2＝_______． 4．因式分解：

(1)定义：把一个多项式化成几个整式_______的形式叫做把这个多项式因式分解． (2)方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝_______． ②公式法：a2－b2＝_______；a2±2ab＋b2＝_______． 【考点例析】 考点一 列代数式

例1某企业今年3月份的产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是 ( )

A．(a－10%)（a＋15%）万元 B．a(1－10%)(1＋15%)万元 C．(a－10%＋15%)万元 D．a(1－10%＋15%)万元

1． 24

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沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积为 ( )

7．已知2a－3b2＝5，则10－2a＋3b2的值是________． 8．因式分解：

(1) 2x2－10x＝________；

A．2 cm2 【反馈练习】

w w w .x k b 1.c o m(2) 2x2－8＝________；

D．(a2－1)cm2

(3) a－6ab＋9ab2＝________． 9．化简：

(1) (x＋1)2－x(x＋2)；

x k b 1 . c o mB．2a cm2 C．4a cm2

1．下列运算，正确的是 ( ) A．3x2－2x2＝x2

B．(－2a)2＝－2a2 D．－2(a－1)＝－2a－1

(2) 3(x2＋2)－3(x＋1) (x－1)．

C．(a＋b)2＝a2＋b2

2．化简5(2x－3)＋4(3－2x)的结果为( ) A．2x－3

B．2x＋9

C．8x－3

D．18x－3

10．先化简，再求值：

(2x＋3)（2x－3）－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－3．

新课 标第 一 网 3．下列式子变形是因式分解的是 ( ) A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝（x－2）（x－3） C．（x－2）（x－3）＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)

4．如图①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ( )

第3课时 分式

【知识梳理】 1．分式的有关概念：

A．2mn

B．(m＋n)2 D．m2－n2

(1)－般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母 (B≠0)，那么式子_______叫做分式，其中A叫做_______，B叫做________．整式和分式统称为________．

(2)分式有、无意义的条件：当_______时，分式有意义；当_______时，分式无意义． (3)分式值为0的条件：当_______时，分式的值为0．

2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值_______，用字母表示为：

C．(m－n)2

5．某校艺术班同学每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的多10人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班同学共有_______人（用含有m的代数式表示）． 6．若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为_______．

AA＝________，＝_______ （其中M_______）． BB5

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3．分式的约分、通分及最简分式：

(1)把一个分式的分子与分母的_______约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分子、分母的________．

(2)分子与分母没有_______的分式叫做最简分式．

(3)把几个异分母的分式分别化为_______的分式叫做通分，通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最_______次幂作为公分母，叫做最简_______．确定最简公分母的方法：①系数取最_______公倍数；②取所有字母的最_______次幂．特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式． 4．分式的运算：

A．x＝－2

B．x＝0 D．x＝1

C．x＝1或x＝－2 考点二 分式的基本性质 例3如果把

5x的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值 ( ) x?y

B．扩大50倍 D．缩小为原来的

A．不变

C．扩大10倍 考点三 分式的运算 例4化简

A．

1 10ac (1)分式乘分式，用分子的积做积的________，分母的积做积的_______．用字母表示为：2＝

bd_______．

(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相_______．用字母表示为：_______．

11?，可得 ( ) xx?1xkb1.comac÷＝bd1 2x?x2x?1C．2

x?x

1 2x?x2x?1D．2

x?xB．－

例5化简：?nm?m?2m???_______． ?2?m?2m?2?m?4?a? (3)分式的乘方，要把________、________分别乘方，用字母表示为：??＝_______．

?b? 考点四 分式的化简求值

例6先化简，再求值：

ab (4)同分母分式的加减法，只要把分子相________，而分母_______，用字母表示为：?＝_______；

ccbd异分母分式相加减，先通分，变为_______分式，然后相加减．用字母表示为?：＝_______

ac(5)分式的混合运算顺序与整式的运算顺序_______，先乘方，再整除，最后加减，有括号要先算括号内的． 【考点例析】

考点一 分式的有关概念 例1若

??x?32x?4，其中x＝6． 1????2???x?1??x?2???x?1

2分式有意义，则a的取值范围是 ( ) a?1_课_标第_ x?x2?x?x?2例7化简分式?，并从－1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．??2?x?1x?1?x?2x?1新 A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0

x?1 例2若分式的值为0，则 ( )

x?26

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【反馈练习】 1．要使分式

1x有意义，x的取值应满足( ) A．x＝0

B．x≠0

C．x>0

D．x<0

2．如果将分式

2xyx?y中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值 ( ) A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变

D．缩小为原来的

3．化简

2x2?1?1x?1的结果是 ( ) A．2x?1 B．2x2?1

C．2x?1 D．2?x?1?

4．当a_______时，分式1a?2有意义，

m25．化简?163m?12?_______；当m＝－1时，原式的值为_______．

6．化简：??1?1??m?1???m?1?＝_______． 7．计算或化简：

a2?4a?1a2 (1) a?2?a?2； (2) 1?a??1a2?2a；

(3)??1?m2?1?1?m???m2?2m?1．

8．先化简代数式???1?3?a?2?a2?2a?1??a2?4，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．

2

9．先化简：1－ a－1 a－1

a ÷ a2＋2a ，再选取一个合适的a值代入计算．

第4课时 二次根式

【知识梳理】

1．二次根式：一般地，我们把形如_______的式子叫做二次根式．

2．最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式是最简二次根式：(1)被开方数中不含_______的因数或因式；(2)被开方数的因数是_______，因式是________． 3．二次根式的性质：

x k b 1 . c o m

(1)二次根式a (a≥0)是一个_______数． (2)

?a?2＝_______(a≥0)．

?_______?a>0?(3)a2?a???_______?a=0?

??_______?a<0?4．二次根式的乘除：

(1)乘法法则：a．b＝_______ (a≥0，b≥0)． (2)除法法则：ab＝_______（a≥0，b>0）．5．二次根式的加减：先把各个二次根式化成_______，再把_______相同的二次根式进行合并．

7

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6．二次根式的混合运算的顺序与_______运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括 【反馈练习】 号里的（或先去掉括号）． 【考点例析】

考点一 二次根式有关的定义

例1要使二次根式2x?4有意义，那么x的取值范围是 ( )[来源学。科。网Z。X。X。K]

A．x>2

B．x<2

C．x≥2

D．x≤2

例2下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( )

A．15 B．0.5 C．5 D．50

考点二 二次根式的性质

例3实数a、b在数轴上的位置如图所示，且a＞b，则化简a2?a?b 的结果为 ( )

A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b

考点三 二次根式的运算 例4计算：412?8＝_______． 例5 计算：24?18?13?_______． 考点四 二次根式在分式运算中的应用 例6先化简，再求值：

x k b 1 . c o m

b2?a2a2?ab???a?2ab?b2?????1?1??，其中a＝2＋3，b＝2－3．

?a??ab?

1．如果代数式4x?3有意义，那么x的取值范围是 ( ) A．x≠3

B．x<3

C．x>3

D．x≥3

2．下列等式一定成立的是 ( )

A．9?4?5

B．5?3?15

C．9＝±3

D．－??9?2＝9

3．计算的结果为 ( )

A．5 B．5 C．52 D．102 4．使式子m?2有意义的最小整数m是_______． 5．计算： (1)

12?3?________； (2) 32?2?________．

6．计算2?22的结果是_______．

7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则?a?b?2?a的化简结果为________．

8．计算：2??2?3??6．

9．先化简，再求值：2a2?4a?4a?1a?1?a2?1?a?2，其中a?2?1．

8

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第5课时 一次方程（组）及其应用

【知识梳理】

1．一元一次方程的相关概念：

(1)在整式方程中，只含有_______个未知数．并且未知数的次数是________，这样的方程叫做一元一次方程．它的一般形式为_______．

(2)使方程左右两边_______的未知数的值，叫做方程的解，又叫做方程的根． 2．等式的基本性质：

(1)等式两边_______，所得的结果仍是等式． (2)等式两边_______，所得的结果仍是等式． 3．解一元一次方程的步骤：

(1)去________．(2)去________．(3)移_______．(4)合并_______．(5)系数_______． 4．二元一次方程（组）的相关概念：

(1)含有_______未知数（元）并且未知数的次数都是_______的整式方程，叫二元一次方程． (2)由两个________组成的方程组叫二元一次方程组．

(3)适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一组解，一个二元一次方程有_______组解．

(4)二元一次方程组中________________，叫做二元一次方程组的解． 5．解二元一次方程组的方法：

消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有_______消元法和_______消元法两种．通过消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．

6．列方程（组）解决实际问题的关键是寻找_______关系． 【考点例析】

考点一 解一次方程（组）

例1一元一次方程3x－6＝0的解是_______．

小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元／斤）．

提示 本题中的等量关系有：①今天萝卜花费＋排骨花费＝45元；②上月萝卜花费＋排骨花费＝36元，设出未知数，根据等量关系列方程组求解．

xk|b|1

例6如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28 cm．演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224 cm设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm，求x，y的值．

【反馈练习】

?x?3y??1 例2解方程组：?

?3x?2y?8① ②

?x?y?3,1．二元一次方程组?的解是( )

?2x?4?x?3 A．?

y?0??x?5 C．?

y??2?

考点二 利用方程（组）解的定义解题

例3 已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5

?x?1B．??y?2?x?2D．??y?1新$课$标$第$一$网

?3x?y?m?x?1 例4关于x、y的方程组?的解是?，则m?n的值是 ( )

?x?my?n?y?1 A．5 B．3 C．2 D．1

考点三 列一次方程（组）解决实际问题

例5 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．

妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买相同重量的这两样菜只要36元．” 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%．”

x k b 1 . c o m

2． “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A．x(1＋30%)×80%＝2080 B．x230%380%＝2080 C．2080330%380%＝x

9

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D．x230%＝2080380%

3．为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，则可列二元一次方程组为 ( )

??x?y?50 A．?

6x?y?320?????x?y?50 C．?

6x?y?320?

?x?y?50B．?

6x?10y?320?第6课时 一元二次方程及其应用

【知识梳理】

1．－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项． 3．一元二次方程的解法：

(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．

(2)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方． (3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．

(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________． (1)当△>0时，方程有两个_______的实数根． (2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．

xkb1

?x?y?50D．?

10x?6y?320?4．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为 ( )

A.x＝1，y＝3 B.x＝3，y＝2 C.x＝4，y＝1 D.x＝2，y＝3

5．湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人，我市某九年级一学生家长准备等孩子中考后全家3人去台

湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为_______．

?x?2y??56．方程组?的解是_______．

7x?2y?13?7．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，

则甲种电影票买了_______张．

?2x?y?3k?18．若关于x、y的二元一次方程组?的解满足x?y﹥1，则k的取值范围是 .

x?2y??2?9．某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2 000瓶，已知捐给甲校的矿泉水瓶数比捐给乙校

瓶数的2倍少400瓶，该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少瓶？

新课标xk b1. c om(3)当△<0时，方程没有实数根．

5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x12x2＝________． 6．列一元二次方程解增长率问题可简化为a(1±x)2＝b，其中a为变化前的基础，b为变化后的结果，x为变化率，但要注意：增长率没有单位，且对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础，如2月份产量是在1月份基础上变化的，而不是以任意一个月份为基础的． 【考点例析】

考点一 一元二次方程根的意义

例1已知1是关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是 ( )

10．我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水

1资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3，问中、美两国人均淡水资源占有

5量各为多少立方米？

10

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

A．1

B．－1

C．0

D．无法确定

(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

新*课*标*第*一*网] 考点二 一元二次方程的解法 例2 解下列方程： (1) (x－3)2－9＝0； (2) x2－2x＝5； (3) x2－4x＋2＝0； (4) 2（x－3）＝3x（x－3)． 考点三 一元二次方程根的判别式

例3 如果关于x的一元二次方程kx2－2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ( )

x k b 1 . c o m

提示 (1)设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)万人次，2011年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)2万人次．根据题意列方程求解；

(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7 200(1＋x)万人次．

1 A． k<

211 C．－≤k<

221B．k<且k≠0

211D．－≤k<且k≠0

22 例7某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车时，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／辆；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元．

x kb 1考点四 一元二次方程根与系数的关系

2 例4已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1、x2，则x1x2＋x1x22的值为 ( )

(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；

(2)如果汽车的售价为28万元／辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车（盈利＝销售利润＋返利）?

提示 用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，根据“盈利＝销售利润＋返利”列出方程求解．

【反馈练习】

1．方程（x－1）(x＋2)＝0的两根为 ( )

A．－3 B．3 C．－6 D．6

例5 (2012．南充)关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1、x2． (1)求m的取值范围；

(2)若2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，求m的值．

考点五 一元二次方程的应用

例6据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下面的问题：

11

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A．x1＝－1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2

22

B．x1＝1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝－2

新课 标第 一 网 2．已知关于x的一元二次方程(k－2)x＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )

4 A．k>且k≠2

34 C．k>且k≠2

3

4B．k≥且k≠2

34D．k≥且k≠2

3第7课时 分式方程及其应用

【知识梳理】

1．分式方程的概念：分母中含有________的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的步骤：

(1)两边都乘以各分式的最简公分母，把分式方程转化为_______方程． (2)解这个整式方程．

(3)把整式方程的解代入最简公分母或原分式方程各分母中进行检验．

3．－般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验：将整式方程的解代入_______，如果_______，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根．

4．列分式方程解实际问题与列一次方程（组）解实际问题一样，步骤如下：审题，设未知数．列方程，解方程，验根，作答．

【考点例析】

考点一 分式方程根的意义

3．湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5 500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A．5500(1＋x)2＝4000 C．4 00(1－x)2＝5500

B．5500(1－x)2＝4000 D．4000(1＋x)2＝5500

4．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为x＝2，则这个方程的另一个根是________． 5．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则6．解方程：－x2－2x＝2x＋1．

7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

11??_______． mnm3??1的解是正数，则m的取值范围是_______． x?11?x2x?m??2有增根，则m的值是_______． 例2若关于x的方程

x?22?x 例1已知关于x的分式方程 考点二 解分式方程 例3 解分式方程：

32?； xx?1314??2(2) ． x?2xx?2x(1)

12

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考点三 列分式方程解应用题

例4小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家．她去时经过环湾高速公路，全程约84千米．返回时经过跨海大桥．全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．

提示 本题可利用“去奶奶家所用时间－返回时间＝20分钟”构建方程解题．

xkb1.com

40304030??20 ??20 B．1.5xxx1.5x30403040??20 ??20 C． D．x1.5x1.5xx2?1的值为0，则x＝_______． 4．若代数式

x?11?kx1?5．若分式方程2?有增根，则k＝_______． x?22?x4x?2???1． 6．解方程：2x?11?x A．

7．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树？

新*课标*第*一*网

例5某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？

提示 本题的等量关系是“不享受8折优惠时的单价30.8＝享受8折优惠时的单价”．设九年级学生有x人，用含x的代数式分别表示不享受8折优惠时的单价和享受8折优惠时的单价，即可列出方程．

【反馈练习】

1．下面是四位同学解方程A．2＋x＝x－1 C．2＋x＝1－x 2．分式方程

132x??1的过程中去分母的一步．其中正确的是 ( )x?11?x

B．2－x＝1 D．2－x＝x－1

w w w .x k b 1.c o m

第8课时 一次不等式（组）及其应用

【知识梳理】

1．不等式的相关概念：

(1)用“>”、“<”等不等号表示_______的式子，叫做不等式． (2)使不等式成立的_______的值叫做不等式的解．

(3)使不等式成立的未知数的_______叫做不等式的解集．

(4)求一个不等式的_______的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式． 2．不等式的性质：

31?的解为 ( ) 2xx?1

B．x＝2

C．x＝3

D．x＝4

A．x＝1

3．运动会上，八年级(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元．乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍．若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为 ( )

13

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(3)列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）． (4)解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围． (5)验：检验所求的解是否符合题意． (6)答：写出结论（包括单位）．

【考点例析】

考点一 不等式的性质

例1已知a>b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是 ( ) A．a＋cb－c C．acbc 考点二 用数轴表示不等式（组）的解集

例2 (1)把不等式x＋1≥0的解集在数轴上表示出来，下列选项正确的是 ( )

3．一元一次不等式：只含有_______个未知数，且未知数的次数是_______的不等式． 4．一元一次不等式组：几个_______合在一起就组成一个一元一次不等式组． 一般地，几个不等式的解集_______，叫做由它们组成的不等式组的解集． 5．解一元一次不等式的基本步骤： (1)去分母． (2)________． (3)________． (4)________． (5)系数化为1．

在(1)、(5)的变形中要注意不等式的性质2、3的正确使用．

6．求一元一次不等式组的解集，应先分别求出_______，再求出它们的_______部分，就得到一元一次不等式组的解集．

7．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(a

x k b 1 . c o m

?x?1?0(2)不等式组?的解集在数轴上表示为 ( )

2x?4?0?

考点三 一次不等式（组）的解法

例3解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7．

?x?a (1)?的解集是x>b，即“大大取大”．，

x?b??x?a (2)?的解集是x

x?b??x?a (3)?的解集是a

x?b??x?a (4)?无解，即“大大小小取不了”．

x?b?8．列不等式（组）解应用题的一般步骤：

(1)审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系，找出题目中包含的所有不等关系． (2)设：设未知数（一般求什么就设什么）．

?x?3?3?x?1① ? 例4解不等式组?2 并把解集在数轴上表示出来．

?1?3?x?1??8?x② ?

考点四 确定不等式（组）的特殊解

??x?3?2?x 例5解不等式组，并写出不等式组的整数解：?

3x?1?1?2x?1??????① ②

14

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考点五 利用不等式（组）的解集确定字母的值或取值范围

?2x?1?31．不等式组?的解集在数轴上表示正确的是 ( )

x??1??1?x?a 例6 若关于x的不等式组?有解，则a的取值范围是 ( )

2x?4?0? A．a≤3 B．a<3 C．a<2 D．a≤2

考点六 一元一次不等式（组）的应用

例7 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

提示 (1)假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，结合单价，得出方程求解即可；(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出最省方案．

[来源学科网Z.X.X.K]

?x?a?02．若关于x的一元一次不等式组?无解，则a的取值范围是 ( )

1?2x?x?2?A．a≥1

B．a>1

C． a≤－1

D．－a<－1

?2x?3x?33．若关于x的不等式组?有实数解，则a的取值范围是_______．

?3x?a?54．(1)解不等式

3x－1>2x，并把解集在如图所示的数轴上表示出来； 2

例8在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．

(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？

(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．

提示 (1)本题的等量关系有：①改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；②改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元，从而列出方程组求解；(2)本题的不等关系有：①国家财政拨付的改造资金不超过770万元；②地方财政投入的资金不少于210万元，根据不等关系列出不等式组求解．

?x?5?x?(2)解不等式?2，并在数轴上表示出它的解集．

?x?3?x?1??5?

?2x?3?3x?5．解不等式组?x?3x?11并求出它的整数解的和．

???62?36．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8

件，B种纪念品3件，则需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要800元． (1)购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，则该商店共有几种进货方案？

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

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它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．

7．函数的三种表示方法分别是_______、_______、_______．

8．画函数图象的步骤：_______、_______、_______（注意在自变量的取值范围内）．

第9课时 直角坐标系、函数

【知识梳理】 1．平面直角坐标系：

(1)有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(_______，_______)． (2)在平面内画两条互相_______、_______重合的数轴，组成了平面直角坐标系；坐标平面内的点与________一一对应． 2．坐标平面内点的坐标特征：

(1)各象限内点的坐标的符号特征：若点P（x，y）在第一象限，则_______；若点P(x，y)在第二象限，则_______；若点P(x，y)在第三象限，则_______；若点P(x，y)在第四象限，则_______

(2)若点P(x，y)在x轴上，即满足纵坐标为0，则点P( _______，_______)；若点P（x，y）在y轴上，即满足横坐标为0，则点P(_______，_______)．

(3)在第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标_______；第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标_______． 3．对称点的坐标特征：

点P(x，y)关于x轴的对称点是P1（_______，_______）；关于y轴的对称点是P2(_______，_______)；关于原点的对称点是P3(_______，_______)．

4．坐标平面内的距离：点P(x，y)到x轴的距离是_______；到y轴的距离是_______；到原点的距离是_______．

5．在平面直角坐标系中，图形平移引起的点的坐标变化规律如下：若点P(a，b)向左平移m(m>0)个单位，则横坐标_______、纵坐标_______；若向右平移m(m>0)个单位，则横坐标_______、纵坐标_______；若点P(a，b)向上平移n（n>0）个单位，则横坐标_______、纵坐标_______；若向下平移n（n>0）个单位，则横坐标_______、纵坐标_______．

6．在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有_______与

9．自变量取值范围的确定方法：

求函数自变量的取值范围，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义． (1)自变量以整式形式出现时，它的取值范围是________．

(2)自变量以分式形式出现时，则取值范围是使分式的分母_______的实数．

(3)自变量以偶次方根的形式出现时，它的取值范围是使被开方数为_______数；以奇次方根出现时，它的取值范围为_______．

(4)当函数解析式表示具有实际意义或几何意义的函数时，自变量的取值范围必须保证实际问题有意义．

10．对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做x＝a的_______值． 【考点例析】

考点一 坐标平面内点的坐标特征

例1 点A（-1，4）在第_____象限，B（-1，-4）在第______象限；点C（?1，?-?4）在第__ __象限，

D（1，4）在第____象限；点E（-2，0）在____轴上，点F（0，-2）在____?轴上.

提示 根据平面直角坐标系各个象限内点的坐标的符号特征解题． 考点二 对称点的坐标特征

例2 点P（－2，－4）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 .

(2) （2014?呼和浩特，第3题3分）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（ ） A．（1，2）

B． （2，9）

C． （5，3）

D．（﹣9，﹣4）

x k b 1 . c o m

(3) .若点P（x，y）在第四象限，|x|=2，|y|=3，则P点的坐标为 . 提示 根据对称点

16

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的坐标特征解题．

[来源:Z#xx#k.Com]

考点三 图形的平移和坐标变化

例3（2014?济宁，第9题3分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）

?k2?2k2k2?k??kx?y?k【解析】解方程组?得，两直线的交点坐标为?2,2? ，

?ky?x?2k?k?1k?1?因为k＞

1， 2k2?2k2k2?kk?2k?1??0,2??0， 所以22k?1k?1k?1所以交点在第一象限． 【答案】A．

【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握求两直线的交点的方法，以及各个象限内的点的坐标的特征是解决此题的关键．

考点五 函数图象信息题

D． （﹣a，﹣b+2）

例5.(2014山东烟台)如图，点P是?ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路

径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）

A．（﹣a，﹣b）

B． （﹣a，﹣b﹣1） C． （﹣a，﹣b+1）

考点： 坐标与图形变化－旋转．

分析： 设点A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解

即可．

解答： 解：根据题意，点A、A′关于点C对称，

设点A′的坐标是（x，y）， 则

=0，

=1，

A．

B．

解得x=﹣a，y=﹣b+2，

∴点A的坐标是（﹣a，﹣b+2）． 故选：D．

点评： 本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称

是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．

考点四 函数自变量的取值范围

例4(2014山东日照)当k＞时，直线kx﹣y=k与直线ky+x=2k的交点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】一次函数与二元一次方程组的关系．

17

C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【解析】点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y与x呈一次函数关系； 点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；

点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小且y与x呈一次函数关系． 【答案】A．

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

【点评】本题将在运动过程中形成的解析式与函数图象有机结合在一起，彰显了数形结合、分类讨论与函数建模思想的灵活运用.解决此题的关键是分别确定点P在每一段上运动的y与x的函数关系，进而确定其对应图象 例6(2014山东济南)如图，直线y??33x?2与x轴，y轴分别交于A,B两点， 把?AOB沿着直线AB翻折后得到?AO?B，则点O?的坐标是 y Ｏ＇ A．(3,3) B．(3,3)

Ｂ C．(2,23) D．(23,4)

【考点】一次函数的应用；翻折问题；等边三角形的性质. Ｏ Ａ x 【解析】连接OO?，作O?D⊥x轴于点D.

把x=0代入直线y??33x?2，求得y=2，所以OB=2,

把y=0代入直线y??33x?2，求得x=23，所以OA=23, 所以tan∠BAO=

OBOA?223?33, 所以?BAO?30?，

有翻折的性质可知∠BAO?=?BAO?30?，OA=O?A， 所以?O?AO?60?， 所以?AOO?是等边三角形， 因为O?D⊥OA 所以OD=

12OA?3，O'D?3OD?3, 所以D点坐标为（3，3）.

【答案】A.

【点评】本题考查了翻折问题与一次函数的综合，根据翻折的性质求出?AOO?是等边三角形是解决此题的关键.

【反馈练习】

1．在直角坐标系中，描出下列各点的位置：A (4，1)，B(-1，4)，C(-4，-2)，D(3，-2)，E( 0, 1 )， F( -4, 0 )，G（0，5） .

新_课_标第_一_网

归纳：各象限点的坐标的特点是：

⑴点P（x,y）在第一象限，则x 0，y 0. ⑵点P（x,y）在第二象限，则x 0，y 0. ⑶点P（x,y）在第三象限，则x 0，y 0. ⑷点P（x,y）在第四象限，则x 0，y 0. （5）点P（x,y）在x轴上，则x 0，y 0. （6）点P（x,y）在y轴上，则x 0，y 0.

2．(2014山东威海)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 ．

18

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究 进货价格（元） 销售价格（元）

3．函数y?1A型车 1100 B型车 1400 2000新*课*标*第*一*网

新课 标第 一 网第

2x?1中自变量x的取值范围是( )

110课时 一次函数的图像与性质

x＜A.x??2 B.x＞?2 C.x??12 D.?12

【复习目标】

1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式．

2．经历列表、描点、连线画一次函数图象的过程，根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)，探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况，弄能灵活运用．

3．理解正比例函数，掌握正比例函数的图象和性质并能灵活运用．

4．面积是S（cm）的正方形地板砖边长为a(cm)，则S与a的关系式是_______，其中自变

2

4．会利用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式． 5．会用函数图象的方法求方程（组）与不等式（组）的解（集）．

【知识梳理】

1．一次函数的定义：一般地，形如________（k、b是常数， k≠0）的函数，叫做一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数为y＝________（k≠0），这时，y叫做x的_______函数．

2．一次函数例＝kx＋b(k≠0)的图象是一条_______．特别地，y＝kx(k≠0)的图象是一条经过_______的直线．

3．正比例函数y＝kx的性质：

量a的取值范围是__________

5．（2012．扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m－2）在第一象限内，则m的取值范围是_______． 6．.(2014山东烟台)如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b

的解集是 ．

7．(2014山东烟台)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） （2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

19

(1)当_______时，y随x的增大而增大． (2)当_______时，y随x的增大而减小．

4．一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的k值决定了函数的增减性，b值决定图象与y轴的交点．当k>0，b>0时，函数图象经过________，y随x的增大而_______；当k>0，b<0时，函数图象经过_______，y随x的增大而_______；当k<0，b>0时，函数图象经过________，y随x的增大而_______；当k<0，b<0时，

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

函数图象经过________，y随x的增大而_______． 5．用待定系数法求一次函数关系式的一般步骤： (1)设出函数关系式为________．

(2)找到两个已知点的坐标，并代入所设函数关系式得到关于k、b的方程组． (3)解方程组求出k、b的值．

(4)把得到的k、b的值代入所设关系式．

6．由于任何一元一次方程都可以化为ax＋b＝0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与_______交点的横坐标的值．

7．由于任何一元一次不等式都可以化为ax＋b>0或ax＋b<0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大（小）于0时，求自变量相应的_______．

8．一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值_______以及这个函数值为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的 【考点例析】

考点一 一次函数的图象和性质 例1直线y＝x－1不经过 ( ) A．第一象限 C．第三象限

[来源学。科。网Z。X。X。K]新$课$标$第$一$网 A．m>1 C．m<0

B．m<1 D．m>0

提示 观察图象可知，函数图象从左往右逐渐减小，所以m－1<0．

考点二 一次函数解析式的确定

例3如图，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A（1，－2），则kb＝________．

提示 根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点A的坐标代入解析式求出b的值，再代入代数式进行计算即可．

例4 如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)． (1)求直线AB的解析式；

(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．

提示 (1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将点A(1，0)、点B(0，－2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；(2)设点C的坐标为(x，y)，根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出点C的横坐标，再代入直线对应的解析式即可求出点C的纵坐标．

考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）之间的联系

例5一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为 ( ) A．x＝2 C．x＝－1

B．y＝2 D．y＝－1

B．第二象限 D．第四象限

提示 判断直线y＝kx＋b经过的象限，可以先确定k、b的正负性，再根据性质进行判断． 例2 如图，一次函数y＝(m－1)x－3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于点A、B，则m的取值范围是 ( )

提示 求方程kx＋b＝0的解相当于确定一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标．

例6如图，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式0

13

20

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

x k b 1 . c o m

131定直线y＝kx＋b在直线y＝x下方时x的取值范围．

3 提示 不等式00；②kx＋b

134．如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x

3 2 B．x<3 C．x>

3 2 D．x>3

例7在同一平面直角坐标系中，若一次函数y＝－x＋3与y＝3x－5的图象交于点M，则点M的坐标为 ( )

A．（－1，4) C．(2，－1)

B．（－1，2)

5．如果一次函数y＝mx＋3的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围是________．

6．将正比例函数y＝－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是_______（写出一个即可）．

7．如图，直线y＝kx－6经过点A(4，0)，直线y＝－3x＋3与x轴交于点B，且两直线交于点C求： (1)k的值； (2)△ABC的面积． D．(2，1)

提示 由一次函数与二元一次方程组的关系可知，两条直线的交点坐标就是由这两条直线对应的一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，因此将一次函数解析式构建成方程组，解之即可．

【反馈练习】

1．一次函数y＝－x＋2的图象经过 ( ) A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限

第11课时 反比例函数的图像与性质

【复习目标】

1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式。 2．能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式y＝化情况．

3．理解反比例函数的性质，能利用性质解题．

4．会用待定系数法求反比例函数的解析式；能综合利用一次函数与反比例函数的性质解题．

【知识梳理】

1．反比例函数的定义： 一般地，形如y＝

C．第一、三、四象限

2．若y＝kx－4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是 ( ) A．－4

B．－

1 2k（k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变x C．0 D．3

x k b 1 . c o m

3．如图，直线AB对应的函数解析式是( )

322 C．y??x?3

3 A．y??x?3

3x?3 22D．y?x?3

3B．y?k（k为常数，k_______0）的函数叫做反比例函数． x21

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

2．反比例函数的性质： 反比例函数y＝

C．y1＝y2

D．不能确定

k（k≠0）的图象是_______．当k>0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每x 提示 因为k＝2，所以在每一象限内，y随x的增大而减小，因为本题不能确定x1，x2的正负性，所以不能判断这两点是否在双曲线的同一个分支上，也就不能单凭x1

新*课*标*第*一*网]个象限内，y随x的增大而_______；当k<0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．

3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是_______．

k上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______． xk5．因为在反比例函数的关系式y＝（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反

xk比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝中即可

x4．在双曲线y＝

求出_______的值，进而确定出反比例函数的关系式． 【考点例析】

考点一 判断点是否在反比例函数的图象上 例1下列各点中，在反比例函数y＝ A．(－2，－3) C．(3，－2)

k的图象经过点（1，－2），则k的值为 ( ) x1 A．2 B．－ C．1 D．－2

2kk 提示 由反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），表明在解析式y＝中，当x＝1时，y＝－2，

xx 例4已知反比例函数y＝代入k＝xy中求出k的值即可．

w w w .x k b 1.c o m

例5已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线y＝点坐标是 ( ) A．（－2，6）

k（k≠0）的一个交点坐标为(2，6)，则它们的另一个交xB．（－6，－2） D．(6，2)

C．（－2，－6）

6的图象上的是 ( ) x

B．（－3，2） D．（6，－1）

提示 因为直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝（k≠0）均关于原点对称，得到两个交点关于原点对称，从而得到另一个交点的坐标． 考点四 反比例函数y＝

kx 提示 只要计算出四个选项中哪个点的横、纵坐标的积等于6即可． 考点二 反比例函数的图象与性质

k（k≠0）中k的几何意义 x13例6 如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴

xxm?1例2已知反比例函数y＝的图象如图所示，则实数m的取值范围是 ( )

x A．m>1 C．m<1

B．m>0 D．m<0

的不等式，

上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为_______．

提示 根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到关于m求出m的取值范围即可．

2 例3反比例函数y＝的图象上的两点为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1

x A．y1>y2

B．y1

22

提示 根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系：S＝k，即可计算出

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

矩形ABCD的面积．

考点五 反比例函数图象中的几何图形的面积 例7如图，两个反比例函数y＝

D．5

【反馈练习】 1．若反比例函数y＝

出结果．

考点六 反比例函数与一次函数的综合运用

A．2

12和y＝－的图象分别是l1和l2．设点P在l1上．PC⊥x轴，垂xx9C．

2足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为 ( ) A．3

B．4

提示 本题可结合反比例函数的图象表示出点P、A、B的坐标，再根据直角三角形的面积公式求

k?1的图象经过点 (－1，－2)，则k的值是 ( ) xB．－2

C．－3

D．3

m 例8一次函数y＝x＋m(m≠0)与反比例函数y＝的图象在同一平面直角坐标系中可能是 ( )

x2．已知A（－1，y1）、B（2，y2）两点都在双曲线y＝

新$课$标$第$一$网3?2m上，且y1>y2，则m的取值范围是 ( )x3 23 2

B．m>0

C．m>－

D．m<－

A．m<0

3．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝

A．2

B．－2

k的图象经过点A，则k的值是 ( ) x

D．－4

C．4

提示 根据一次函数图象的性质，一次函数y＝x＋m的图象从左往右逐渐上升，从而可排除选项B、

4．当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝

D；再根据反比例函数的性质对m>0、m<0分类讨论．

w w w .x k b 1.c o m

a在同一坐标系中的图象可能是 ( ) x例9 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A(2，1)、B（－1，－2）两点，与x轴交于点C．

(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)连接OA，求△AOC的面积．

5．已知反比例函数的图象经过点(m，2)和（－2，3），则m的值为_______． 6．如图，双曲线y＝

k（k≠0）上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双x曲线的解析式为_______．

提示 (1)由一次函数与反比例函数的图象相交于A(2，1)、B（－1，－2）两点可知，利用待定系数法能求出相应的解析式；(2)求出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．

23

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

3．抛物线的开口方向由a确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y轴的_______半轴有交点；当c＝0时，抛物线过________．

m7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于A．B两点，与反比例函数y＝的图象在第二

x象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D．若OB＝2，OD＝4，△AOB的面积为1． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当x<0时，kx＋b－

5．若a_______0，当x＝?b时，y有最小值，为_______； 2ab若a_______0，当x＝?时，y有最大值，为_______．

2a6．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧．y随x的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝a（x＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝ax2＋k的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．

xkb1.comm>0的解集． x

【考点例析】

考点一 二次函数的有关概念

例1已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为 ( ) A．(－2，－1)

B．(2，1) D（－2，1）

[来源:Z*xx*k.Com]第12课时 二次函数的图像与性质（一）

【复习目标】

1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．

2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．

3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．

【知识梳理】

1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______．

x k b 1 . c o m C．(2，－1)

提示 由配方可得y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，从而求得抛物线的顶点坐标．考点二 抛物线的平移

例2 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( )

A．y＝3(x＋2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3

B．y＝3(x－2)2＋3 D．y＝3(x－2)2－3

提示 由平移规律“上加下减．左加右减”，根据抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到平移后抛物线的解析式．

考点三 同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题

例3 在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是 ( )

24

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

提示 本题主要考查一次函数和二次函数图象位置的确定，由一次函数y＝ax＋1可知其图象经过(0，1)，与y轴交于正半轴．又二次函数y＝x＋a．当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数图象的开口向上，顶点在y轴正半轴上，没有选项符合；当a<0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限．二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴上，从而确定正确选项． 考点四 利用二次函数的增减性比较坐标大小

例4设A（－2，y1)，B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关 系为 ( ) A．y1>y2>y3 C．y3>y2>y1

B．y1>y3>y2 D．y2>y1>y3

2

w w w .x k b 1.c o m

4．（2012．上海）将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________． 5．已知点A(x1，y1)、B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1_______y2． 6．已知二次函数y＝－

123x－x＋． 22 (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围；

(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

提示 本题根据二次函数图象在对称轴两边的增减性解题，要注意所有点必须先放在对称轴同一侧，然后进行比较．

【反馈练习】

1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是 ( ) A．直线y＝ C．y轴

第13课时 二次函数的图像与性质（二）

1 2

【复习目标】

1．能根据图象确定a、b、c的符号． 2．会用待定系数法求二次函数的解析式．

3．理解二次函数与一元二次方程的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大

1 2

B．直线x＝－D．直线x＝2

x k b 1 . c o m2．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为（3，－1）；④当x<3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有 ( )

25

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

于或小于0时自变量的取值范围．

【知识梳理】

1．二次函数解析式的求法：

[来源学。科。网Z。X。X。K]

提示 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0）与a、b、c及其代数式的关系：a>0，开口向上；a<0，开口向下，对称轴为直线x＝－

(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)．

(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．

(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．

2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______．

3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．

4．当b－4ac＝0时，方程ax＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．

5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴_______交点．

【考点例析】

考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系

例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是 ( )

A．①③

B．③④

C．②③

D．①④

2

2

2

b，当a，b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的2a右侧，抛物线与y轴的交点为(0，c)，c>0，与y轴正半轴相交；c<0，与y轴负半轴相交；c＝0，过原点．根据以上这些知识要点解决问题． 考点二 求二次函数的解析式

例2 (1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式． ①y随x变化的部分数值规律如下表：

②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c； ③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．

(2)直接写出(1)中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．

提示 (1)利用待定系数法得到有关a、b、c的方程组，从而得到该函数的解析式；(2)结合二次函数解析式可写出相应的性质．

26

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

考点三 利用图象求一元二次方程的解

w w w .x k b 1.c o m C． x<－1且x>5 D． x<－1或x>5

提示 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，其对称轴为直线x＝2，所以该抛物线与

x轴的两交点关于直线x＝2对称，已知一交点为(5，0)，且与直线x＝2的距离为3，所以另一交点在对称轴左侧，与直线x＝2的距离也为3，因此另一交点为（－1，0）．

【反馈练习】

1．已知抛物线y＝x3－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2011的值为 ( )

课标xk b1. c om新w w w .x k b 1.c o m例3二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根．则m的最大值为 ( )

B．2012

C．2011

D．2010

A．－3

B．3

C．－6

D．9

A．2009

2．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过 ( ) A．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限

B．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限

提示 方法一：由ax2＋bx－m＝0得ax2＋bx＝－m，一元二次方程ax＋bx＋m＝0有实数根，得函数y＝ax2＋bx与函数y＝－m有交点，所以－m≥－3，m≤3，从而求出m的最大值．方法二：因为一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，所以b2－4am≥0．由y＝ax2＋bx的图象可得顶点的纵坐标，故

0?b2＝－3，即b2＝12a，所以12a－4am≥0，解得m≤3．从而求出m的最大值． 4a考点四 二次函数图象与坐标轴的交点个数

例4抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是 ( )

B．2

C．1

D．0

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－是 ( ) A．abc>0 C．2b＋c>0

B．a＋b＝0 D．4a＋c<2b

A．3

1，下列结论中，正确的2 提示 令－3x2－x＋4＝0，根据b2－4ac与0的比较得到与x轴的交点个数，再令x＝0得到与y轴的交点个数．

考点五 二次函数图象与不等式的关系

例5如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ( )

4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－

22

x＋bx＋c的图象经过B、C两点． 3(1)求该二次函数的解析式；

(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．

A．－1

B．x>5

27

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

(1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的________． (2)列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式． (3)定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围．

6．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． (1)求点B的坐标；

(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)解：利用相关性质解决问题． (5)答：检测后写出合适的答案． 2．利用一次函数解决实际问题：

一次函数的实际应用关键在于通过建立一次函数模型，去解决实际问题，其基本解题思路是：问题情境→建立模型→解决问题→拓展应用． 3．利用反比例函数解决实际问题：

实际问题中的反比例函数限于实际问题的要求，其函数值与自变量的值均为_______，这就决定了其函数图象只能是双曲线的两个分支中位于第一象限内的部分，据此情况来具体分析．它的基本解题思路与一次函数类似．

【考点例析】

考点一 一次函数的实际应用

例1星期天8：00－8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等侯的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．

(1)8：00～8：30，燃气公司给储气罐注入了_______米3的天然气；

第14课时 函数的应用（一）

【复习目标】

1．能够从运动变化中发现变量，建立函数模型．体会数学来源于生活．

新*课标*第*一*网 (2)当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y(米3)与时间x（小时）之间的函数解析式；

(3)正在等候的第20辆车加完气后，储气罐内还有天然气_______米3，这第20辆车在当天9：00

之前能加完气吗？请说明理由．

2．会用一次函数、反比例函数解决实际问题，初步形成数学模型的解题思想．

【知识梳理】

1．用函数知识解决实际问题的步骤：

28

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

提示 (1)认真观察图象获取有用的信息；(2)利用待定系数法确定函数解析式：(3)根据一次函数解析式及图象中的信息解决问题．

例2 (德州)现从A、B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜．A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨．从A到甲地运费为50元，吨，到乙地为30元/吨；从B地到甲运费为60元／吨．到乙地为45元／吨．

(1)设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

提示 由矩形的面积公式，得xy＝9，可知它的长x与宽y之间的函数关系式为y＝比例函数的图象，且其图象在第一象限．

例4据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预

9(x>0)，是反x防“手足口病”，对教室进行“药薰消毒”，已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x(分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部

(2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式； (3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？

提示 (1)A处共有14吨，运到甲地x吨，则运到乙地(14－x)吨．甲地共需15吨，A运x吨，则B运(15－x)吨，乙地需要蔬菜13吨，A运了(14－x)吨，B需要运13－(14－x）＝(x－1)吨；(2)用每吨的运费分别乘以相应的重量即可；(3)由于A、B到甲、乙两地运送蔬菜的重量为非负数，据此可求出x的取值范围．再根据⊥随x的增大而变化的情况，代入相应的x求最小值即可．

考点二 反比例函数的实际应用

例3矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为 ( )

提示 (1)首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，用待定系数法可得函数的关系式，进一步求解可得答案；(2)根据反比例函数的性质求解即可．

29

分），根据图象所示信息，解答如下问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

xkb1.com(1)求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；

(2)如果每月按30天计算，那么至少每天要卖多少份，才能保证每月收入不低于2000元？

新_课_标第_一_网【反馈练习】

1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系．其函数图象如图所示，则电流强度I(A)与电阻R(Ω)的函数解析式是 ( )

B．I＝

5．在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通，下图是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：

[来源学。科。网Z。X。X。K]2(R>0) R6 C．I＝ (R>0)

R A．I＝

3 (R>0) R6 D． I＝－（R>0）

Rk2．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x(m)成反比例[即y＝（k≠0）]，已知200度近视眼镜的镜片

x焦距为0.5 m，则y与x之间的函数关系式是_______．

3．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年人活动中心，这样必须把1 200m3的生活垃圾运走． (1)假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； (2)若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？

(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？

xkb1.com

(1)乙工程队每天修公路多少米？

(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？

4．小丁每天从报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，卖不完，当天可退回，但只按0.2元退回，如果平均每天卖出x份，纯收入为y元．

第15课时 函数的应用（二）

【知识梳理】

30

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

1．利用二次函数解决“图形最值”问题的一般过程： (1)将实际问题转化为________． (2)利用二次函数的________解题．

2．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般过程： (1)将利润表示成_______的二次函数．

(2)利用二次函数的最值求出利润的最_______值． (3)写出答案．

3．二次函数应用的常用数学思想有________．

【考点例析】

考点一 利用二次函数求最大利润

例1某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可买出180件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

提示(1)销售利润＝每件商品的利润3（180－103上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；(2)利用公式法结合(1)得到的函数解析式，从而可得二次函数的最值，再结合实际意义，求得整数解即可；(3)让(1)中的y＝1920，解方程求出x的值．

考点二 利用二次函数求最大面积

(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x之间的函数关系．并求出函数关系式．

(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少（利润＝销售总价－成本总价）?

(3)菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元／件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

例2小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x cm的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(cm2)随x( cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当x是多少时，这个三角形的面积S最大？最大面积是多少？

提示 三角形的边x和这条边上的高之和是40 cm，则该边上的高为(40－x)cm根据三角形的面积公式可写出S＝

[来源:学+科+网Z+X+X+K]12x2(40－x)，这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值． 2

考点三 二次函数与其他函数的综合应用

例3 2012年牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元／件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

31

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

[来源学科网]

【反馈练习】

xkb1.com

提示 (1)把表格中的点在平面直角坐标系中画出来，可知这个函数是一次函数，所以设函数关系式为y＝kx＋b，利用待定系数法求出函数的解析式；(2)利润的最大问题是通过二次函数的知识来解决

1．某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，那么每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)．每个月的销售利润为y元．

x k b 1 . c o m

的，列出利润与销售单价之间的二次函数关系式，然后根据最值问题求解；(3)利用二次函数的性质解题．

考点四 二次函数与几何图形的综合应用

例4如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE．垂足为P，PE交CD于点E．

(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

(3)连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．

(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价定为多少时．每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

新$课$标$第$一$网

2．如图，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；

(2)某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积5最大，试问，应取何值？

提示 (1)在Rt△ABP中，由勾股定理求得BP的长；(2)∵AP⊥PE，易知Rt△ABP∽Rt△PCE，从而构建了y与x的函数关系式．再利用配方法求得y的最大值；(3)由PE∥BD可知△CPE∽△CBD，从而利用相似三角形构建方程解题．

32

3．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元／个）之间的对应关系如图所示．

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

(2)若许愿瓶的进价为6元／个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元／个）之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

知道原命题成立其逆命题不一定成立．

【知识梳理】 1．几个重要概念：

x k b 1 . c o m

(1)线段、射线、直线：线段有_______个端点．将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有_______个端点．将线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线_______端点． (2)线段的中点：把一条线段分成两条________线段的点．

(3)线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且_______这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．

(4)角：由两条有公共端点的_______组成的图形；也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．

新课 标第 一 网 第16课时 相交线与平行线

1．了解直线、射线、线段、角的概念及性质；会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；会计算角的和与差，会对度、分、秒进行简单的换算．

2．了解余角、补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，理解等角（或同角）的余角（或补角）相等，理解垂线的性质．

3．能识别同位角、内错角、同旁内角，理解平行线的性质和判定，会运用相关知识进行作图、计算及推理．

4．了解平行于同一条直线的两条直线平行．

5．会用尺规作一条线段等于已知线段．一个角等于已知角，角的平分线，线段的垂直平分线． 6．会用三角尺或量角器过一点作一条直线的垂线；会用三角尺和直尺过已知直线外一点作这条直线的平行线．

7．会利用基本作图作三角形：已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形． 8．通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．

9．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，

(5)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成_______的两个角的射线，叫做这个角的平分线． (6)如果两个角的和等于_______，那么这两个角互为余角，也就是说其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于_______，那么这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． (7)方位角：从某点的指北方向线起，按顺时针方向到_______之间的水平夹角．

(8)对顶角、邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，不相邻的两角是_______，相邻的两角是_______． (9)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是_______时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．

(10)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_______，叫做点到直线的距离． (11)平行线：在同一平面内，不_______的两条直线叫做平行线． 2．几个重要结论：

(1)直线公理：两点确定_______条直线． (2)线段公理：两点之间，_______最短． (3)角的度量：1°＝________'，1'＝_______\．

(4)余角、补角的性质：_______的余角相等，同角或等角的补角________． (5)对顶角的性质：对顶角_______．

33

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

(6)垂线的性质：过一点______________与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短．

(7)平行公理及推论：经过直线外一点，有_______条直线与已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也_______．

(8)平行线的判定：_______相等，两直线平行；_______相等，两直线平行；_______互补，两直线平行．

(9)平行线的性质：两直线平行，________相等；两直线平行，_______相等；两直线平行，________互补． 3．尺规作图：

(1)限定只能使用_______和没有_______的直尺作图称为尺规作图．

(2)5种基本作图包括：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的_______；⑤过一点作已知直线的_______． 4．命题：

(1)_______________叫命题，经过证明的_______叫做定理．

(2)每个命题都由_______和________两部分组成．命题________般都可以写成________的形式． (3)_______________叫真命题，_______叫假命题．

xkb1.com

提示 如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角．根据定义可知，70°角的补角是110°，110°的角是一个钝角（大于直角而小于平角）．

X kB1.cOM考点三 平行线的判定与性质

例3 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝_______．

提示 如图，由∠1＝∠3知a∥b，从而得∠2＝∠5＝59°．又由图可知∠4＋∠5＝180°，从而可求得∠4的度数．

例4 如图，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3的度数为 ( )

A．100°

B．105°

C．110°

D．115°

提示 观察图形无法得出∠1、∠2、∠3之间的关系，平行线的性质也无法直接使用，因此过点B作BC∥a，借助辅助线求得． 考点四 方位角

例5如图，小明在操场上从A点出发．先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是 ( ) A．120°

B．135°

C．150°

D．160°

(4)把一个命题的_______和_______互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题． (5)判断一个命题是假命题，只需_______．原命题成立，它的逆命题_______成立．

【考点例析】

考点一 与直线（射线、线段）相关的概念和计算

例1已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3 cm，则线段AC＝________．

提示 首先把方、向角转化为数学上的角，由题意可知∠DAB＝30°，∠EBC＝60°，根据∠ABC＝∠ABG＋∠GBF＋∠FBC即可求得∠ABC的度数． 考点五 尺规作图

例6已知：线段a．c，∠a，

求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠a

提示 由于是在直线AB上画线段BC，BC可能画在线段AB的外部，也可能画在线段AB上，所以要分类讨论．

考点二 与角有关的概念和计算

例2下列四个角中，最有可能与70°角互补的是 ( )

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2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

提示 先作∠B＝∠a，再在角的两边截取BC＝a，AB＝c，最后连接AC即可． 考点六 命题

例7下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是 ( ) A．a＝－2

B．a＝－1

C．a＝1

D．a＝2

提示 本题考查了命题，举反例即找一例使之满足命题的题设，但不满足命题的结论．

【反馈练习】

1．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是 (

A．以点C为圆心，OD长为半径的弧 B．以点C为圆心，DM长为半径的弧 C．以点E为圆心，OD长为半径的弧xkb1.com

D．以点E为圆心，DM长为半径的弧 2．下列命题为假命题的是 ( ) A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边

新$课$标$第$一$网

C．三角形两边的平方和等于第三边的平方．

D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半 3．如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是 ( )

A．60°

B．50°

C．40°

D． 30°

4．如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为 ( ) A．60°

B．50°

C．40°

D．30°

5．(1)已知∠a的补角是130°，则∠a＝________； (2)一个锐角是38°，则它的余角是_______．

6．如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是_______．

7．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝_______． )

第17课时 三角形

【课时目标】

1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念及性质，了解三角形的稳定性，会画任意三角形的角平分线、中线、高．

2．探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质，并会对三角形进行分类，会进行有关证明和计算．

3．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，角平分线的性质定理及逆定理．

4．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理与判定定理；探索等边三角形的性质定理与判定定理，并会进行有关证明和计算．

5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理． 6．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．

35

2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究

【知识梳理】

1．三角形中三边的关系：

三角形任意两边之和________第三边；任意两边之差_______第三边． 2．三角形中角的关系：

(1)三角形的内角和等于________．

(2)三角形的一个外角等于与它_______的两个内角的 (3)三角形的一个外角________与它_______的任何一个内角．3．三角形中的三条重要线段：

(1)三角形的角平分线、中线、高各有_______条，它们都是________．

(2)三角形三条角平分线、三条中线均相交于三角形_______部的一点；三角形的三条高相交于一点，这一点可能在三角形的内部（锐角三角形）、顶点（直角三角形）或外部（钝角三角形）．

4．线段垂直平分线的性质与判定：线段垂直平分线上的点到_______相等；到_______的点在这条线段的垂直平分线上．

5．角平分线的性质与判定：角平分线上的点到_______相等；到_______的点在这个角的平分线上． 6．等腰（边）三角形：有______________的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫________． 7．等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两底角_______，简称为________．

(2)等腰三角形的________、________、________相互重合，简称等腰三角形的“三线合一”． (3)等腰三角形是_______图形，其对称轴是_______．

8．等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时还具有以下性质： (1)等边三角形的三个内角_______，每个角都等于________．

(2)等边三角形是_______图形，其对称轴有_______条，分别是________． 9．等腰三角形的判定：

(1)有两边相等的三角形是________．

(2)在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边_______，简称为________． 10．等边三角形的判定：

[来源学科网Z|X|X|K] (1)有三条边相等的三角形是_______． (2)三个角_______的三角形是等边三角形． (3)有一个角是_______的等腰三角形是等边三角形． 11．直角三角形的性质：

(1)直角三角形的两个锐角________． (2)直角三角形斜边上的中线等于________．

(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________． (4)勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即________． 12．直角三角形的判定：

(1)有一个角是_______角或两锐角_______的三角形是直角三角形．

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_________．

【考点例析】

考点一 三角形中三边的关系

例1若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是 ( ) A．3，8，4

B．4，9，6

C．15，20，8

D．9，15，8

[来源:Z*xx*k.Com]

提示 根据三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边进行判断．

例2 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 ( )

B．18

C．20

D．16或20

A．16

提示 已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分类讨论． 考点二 三角形内角和定理

例3一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是 ( )

X kB1.cOM A．等腰三角形 C．锐角三角形

B．直角三角形 D．钝角三角形

提示 利用三角形内角和定理求出三角形中的角，再判断三角形的形状． 考点三 三角形内角和定理与外角性质的综合运用

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例4如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_______°．

提示 要求∠AEC的度数，只需求出∠CAE＋∠ACE 的度数，由于AE、CE分别平分∠DAC、∠ACF，因此只需求 出∠DAC＋∠ACF的值，此时利用外角性质可知∠DAC＋ ∠ACF＝180°＋∠B，从而解决了问题． 考点四 线段垂直平分线的性质．

例5如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为_______°．

A．6

B．7

C．8

D．9

提示 由角平分线和平行线可得到等腰三角形，从而将MN的长度转化为BM＋CN的长． 考点七 等腰三角形的判定

例9如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．求证： (1) BC＝AD；

(2)△OAB是等腰三角形．

提示 通过观察不难发现△ACB△BDA，从而得出

BC＝AD，及∠CAB＝∠DBA，进而推出△OAB是等腰三角形．

考点八 勾股定理及直角三角形性质的应用

例10如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1．AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长

提示 要求∠EBC的度数可利用∠EBC＝∠ABC－∠ABE得到．由AB＝AC，∠A＝36°，利用三角形内角和可求得∠ABC的度数，由线段垂直平分线得到AE＝BE，从而有∠ABE＝∠A，问题顺利解决．

考点五 角平分线的性质

例6 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离是_______．

提示 因为D在∠BAC的平分线AD上，∠C＝90°，所以点D到AC的距离与到AB的距离相等． 考点六 等腰三角形的性质

例7 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_______°． 提示 根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边土的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可求得∠BAD的度数，

例8 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为 ( )

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为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为 ( )

A．(2，0)

B．(5－1，0) D．(5，0)

新课标第一网

C．（10－1，0）

提示 在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC的长，根据作图可知AC＝AM，从而得到点M的坐标．

例11勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3．AC＝4，点D、E、F、G、H、I都在矩

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形KlM⊙的边上，则矩形KlM⊙的面积为 ( ) A．90

B．100

C．110

D．121

F．

w w w .x k b 1.c o m

(1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数．

提示 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AO1P是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KlM⊙的长与宽，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【反馈练习】

1．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( ) A．2

B．3

C．4

D．1 8

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 ( )

第18课时 全等三角形

【课时目标】

A．

C．

1．通过画图和实验了解全等三角形的概念；能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质进行计算或推理．

[来源学+科+网Z+X+X+K]36 5 B．

12 259 4 D．33 4

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则点D到AB边的距离是_______． 4．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是_______．

5．(2012．巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式c?a?b?a?b?0，则△ABC的形状为_______．

6．如图，AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB＝AC．

2222．能灵活运用“SSS\、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“Hl”来判定两个三角形全等． 3．能运用全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质与判定进行证明和计算．

【知识梳理】

1．全等三角形：能够_______的两个三角形叫全等三角形． 2．全等三角形的性质：

(1)全等三角形的_______相等． (2)全等三角形的_______相等．

(3)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）_______，周长_______，面积________．

xkb1.com3．三角形全等的判定：

7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点

(1)______ _________两个三角形全等(可简写成SSS)．

(2)两边和_______对应相等的两个三角形全等(可简写成SAS)．

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(3)两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成_______）． (4)两个角和_______对应相等的两个三角形全等(可简写成AAS)． (5)_______对应相等的两个直角三角形全等 (可简写成HL)．

【考点例析】

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考点一 全等三角形的性质

xk|b|1

考点三 等腰三角形、全等三角形的综合应用

例4如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． (1)求证：△ADE≌△BFE；

例1如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，那么只需要测出其长度的线段是 ( ）

A．PO

B．PQ

C．MO

D．MQ

(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由． 提示 (1)先通过平行条件得到一对内错角相等，结合线 段中点得到线段相等，可证明两个三角形全等；(2)由角相等 的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合E是DF的中点， 根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．

提示 根据全等三角形的对应边相等的性质先确定线段MN的对应边，MN的对应边就是要测量长度的线段．

考点二 三角形全等的判定

例2在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC．AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．能得出△ABD≌△ACD的序号是_______． 提示 根据题目可知，两三角形有一条公共边，判定三角形全等的常用方法有SAS、SSS、ASA、AAS和HL．

例3如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F，求证：AC＝EF． 提示 本题证明全等的条件已经具备一组角，而由平行条 件不难得到另一组角相等，即∠CBA＝∠FDE．因此，只需要 一组边相等即可，而由已知的线段相等不难得出AB＝ED，则 全等可证．

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【反馈练习】

1．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是 ( ) A．AB＝AC C．BD＝AC

2．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD．

B．∠BAC＝90° D．∠B＝45°

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3．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E，求证：BC＝ED．

4．如图，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，O是AD、BC的交点，E是AB的中点． (1)图中有哪几对全等三角形？请写出来； (2)试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．

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