北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模）数学（理）试题

海淀区高三年级第二学期期末练习

数学 （理科） 2018.5

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U??1,2,3,4,5,6?，集合A??1,2,4?，B??1,3,5?，则(CUA)B?

A. ?1? B. ?3,5? C. ?1,6?D. ?1,3,5,6?

（2）已知复数z在复平面上对应的点为(1，?1)，则

A. z?1是实数B. z?1是纯虚数C. z?i是实数D. z?i是纯虚数

（3）已知xA.

y0，则

1C.cosx()y2

cosy1 x11B.()xy 2D.ln(x+1)

ln(y?1)

（4）若直线x?y?a?0是圆x2?y2?2y?0的一条对称轴，则a的值为

A.1B.?1C.2D.?2

2y2（5）设曲线C是双曲线，则“C的方程为x??1”是“C的渐近线方程为y??2x”的

4A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

（6）关于函数f(x)=sinx-xcosx，下列说法错误的是

A. f(x)是奇函数 B. 0不是f(x)的极值点 C. f(x)在(???2,2)上有且仅有3个零点 D. f(x)的值域是R

（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 A.求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和 B. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 C. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 D. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和 （8）已知集合M??x?N*1?x?15?，集合A1，A2，A3 满足

①每个集合都恰有5个元素 ②A1A2A3?M

集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i?1,2,3)，则X1?X2+X3的值不可能为 A.37B.39C.48D.57

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

?（9）极坐标系中，点(2,)到直线?cos??1的距离为 .

22（10）在(x?)5的二项展开式中，x3的系数为 . x?（11）已知平面向量a，且满足a=2，b=1，则ab? ，a?2b? . b的夹角为，

3（12）在?ABC中，a:b:c?4:5:6，则tanA? .

x2y2（13）能够使得命题“曲线?2?1(a?0)上存在四个点P,Q,R,S满足四边形PQRS是正方形”为

4a真命题的一个实数a的值为 .

（14）如图，棱长为2的正方体ABCD?A1BC11D1中，

M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂

直于CM，则?PBC的面积的最小值为 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

??如图，已知函数f(x)?Asinx(?x??)（A0,?0,?）在一个周期内的图像经过B(,0)，

262?5?C(,0)，D(,2)三点 312（Ⅰ）写A,?,?出的值； （Ⅱ）若??(5?2?,)，且f(?)?1，求cos2?的值. 123

（16）（本小题13分）

某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下： 123号 4号 5号 6号 78号 9号 10号 号 号 号 第一轮测试成96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 绩 第二轮测试成90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 绩 （Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；

（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；

（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x1，s12，考核成绩的平均数和方差分别

22为x2，s2，试比较x1与x2， s12与s2的大小.（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

D,E分别是AC，B1C1如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?AB1?2,AB1?平面ABC，AC1?AC，的中点

（Ⅰ）证明：AC?B1C1； （Ⅱ）证明：DE//平面AA1B1B；

（Ⅲ）求DE与平面BBC11C所成角的正弦值.

（18）（本小题14分）

x2已知椭圆C：?y2?1，F为右焦点，圆O:x2?y2?1，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过

4点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧. （Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率； （Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.

（19）（本小题13分） 已知函数f(x)?eax?ax?3(a?0) （Ⅰ）求f(x)的极值； （Ⅱ）当a110时，设g(x)=eax?ax2?3x，求证：曲线y?g(x)存在两条斜率为?1且不重合的切线.

a2

（20）（本小题13分）

如果数列?an?满足“对任意正整数i,j,i?j，都存在正整数k，使得ak?aiaj”，则称数列?an?具有“性质P”.已知数列?an?是无穷项的等差数列，公差为d

（Ⅰ）若a1=2，公差d=3，判断数列?an?是否具有“性质P”，并说明理由； （Ⅱ）若数列?an?具有“性质P”，求证：a1?0且d?0；

（Ⅲ）若数列?an?具有“性质P”，且存在正整数k，使得ak?2018，这样的数列共有多少个？并说明理由.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准

数学（理科）

1 B

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）1

（10）10 （12）

2 C 3 D 4 B 5 A 2018.5

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

6 C 7 C 8 A

（11）1；23

7 3（13）答案不唯一，a?0或a?4的任意实数 （14）

25 5注：第11题第一空3分，第二空2分。

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分） 解：（Ⅰ）A?2，??2，????3． ················· 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)?2sin(2x??3?1因为f(?)?1，所以sin(2??)?．

325?2???,)，所以2???(,?)． 因为??(12332?5所以2????，

367所以2???，

673所以cos2??cos???． ················· 13分

62)．

16. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：

93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．

其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：

6?0.6， 10从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.

………………………………………….4分

（Ⅱ）设事件A：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分.

由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.

C3231?. ·················· 所以，P(A)?2?9分

C6155（Ⅲ）x1?x2，s1?s2. ····················· 13分 17.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABC，AC?平面ABC， 所以AB1?AC．

因为AC1?AC，AB122AC1?A，AB1，AC1?平面AB1C1，

所以AC?平面AB1C1． 因为B1C1?平面AB1C1，

所以AC?B1C1． ······················· 4分 （Ⅱ）取A1B1的中点M，连接MA、ME． 因为E、M分别是B1C1、A1B1的中点，

C 1 E B1 A1 M 1?A1C1． 所以ME∥AC，且ME112在三棱柱ABC?A1B1C1中，AD所以ME∥AD，且ME=AD， 所以四边形ADEM是平行四边形， 所以DE∥AM．

又AM?平面AA 1B1B，DE?平面AA1B1B， 所以DE//平面AA1BB． ······· 9分 （Ⅲ）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC//B1C1，

因为AC?B1C1，所以AC?BC． 在平面ACB1内，过点C作Cz//AB1， 因为，AB1?平面ABC， 所以，Cz?平面ABC．

建立空间直角坐标系C-xyz，如图．则

AC11，且AD?1A1C1， 2C B zD A C1EB1A1CDyABxC(0,0,0),B(2,0,0),B1(0,2,2),C1(?2,2,2),D(0,1,0),E(?1,2,2).

DE?(?1,1,2)，CB?(2,0,0)，CB1?(0,2,2)．

设平面BB1C1C的法向量为n?(x,y,z)，则

??2x?0?n?CB?0，即?， ?2y?2z?0???n?CB1?0得x?0，令y?1，得z??1，故n?(0,1,?1)． 设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，

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