立体几何易做易错题汇编(解答题)

确实都是很容易错的题目,希望对你们有帮助~

立体几何易做易错题汇编（解答题）

湖南 周友良

1. 由平面 外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为⊿ABC的外心，

求证：OP 。

错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以 POA＝ POB＝ POC＝RT ，所以OP 。 错解分析：上述解法中 POA＝ POB＝ POC＝RT ，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。 正

解

：

取

BC

的

中

点

D

，

连

PD

，

OD

，

PB PC,OB OC, BC PD,BC OD, BC 面POD, BC PO,同理AB PO， PO .

2. 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。

错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。

正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：

14 433

8[1 ( 1)] 8 ，除此之外，

8

3

3

在以正方体的棱为一条棱的12个1 1 4的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为

[1 1 4

14

( 1) 4] 48 12 。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间

2

体积为：

(8

43

) 48 12 56

403

(cm)。

3

3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求： (1) cos(A1D,AM)；

(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小；

(3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小.

解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴. 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)

A1D (0,8, 4) AM (5,2,4)

∵A1D AM 0 ∴cos A1D,AM 0

(2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN， A1D 平面AMN，垂足为N. 因此AD与平面所成的角即是 DAN. 易知 DAN AA1D arctan2

(3) ∵AA1 平面ABCD，A1N 平面AMN，

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∴AA1和NA1分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为 ，则

(AA1,NA1) AA1N AA1D arccos

55

4．点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D－AC－B． （Ⅰ）求 EOF的大小；

（Ⅱ）求二面角E OF A的大小．

解法一：（Ⅰ）如图，过点E作EG

⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为

H，则EG FH

，GH ．

D

因为二面角

EF GH EG FH 2EG FHcos90

0 12.

2

2

2

2222

又在 EOF中，OE OF 2，

cos EOF

OE OF EF

2OE OF

222

2 2 2 2 2

222

12

．

EOF 120．

（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴

EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

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∴ EMG就是二面角E OF

A的平面角． 在Rt EGM中， EGM 90 ，EG ∴

tan EMG

EGGM

，

GM

12

OE 1，

EM

G arctan

所以，二面角E OF

A的大小为arctan

则OE (1,

，OF (0,2,0)．

．

解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，

OE OF1

． cos OE,OF 2|OE||OF|

EOF 120．

（Ⅱ）设平面OEF的法向量为n1 (1,y,z)．

由n1 OE 0,n

1 OF 0,得

1 y 0,

解得y 0,

2y 0,

z

2

．

所以，n1 (1,0,

2

．

又因为平面AOF的法向量为n2 (0,0,1)，

n1 n2

cos n1,n2 ．∴ n1,n2

arccos．

33|n1||n2|

所以，二面角E OF A的大小为arccos

3

．

A1

B1

MA

B

C

C1

5．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1

与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积。

解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公用边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin45=

22

a，∴BMC周长为2x

22

a+a=(1+2)a，且棱长为b，∴S

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侧

=(1+2)ab

点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，

即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC ∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。 6．如图在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知底面ABC是底角等于30 ，底边AC=43的等腰三角形，且B'C AC,B'C 22，面B'AC与面ABC成45 ，A'B与AB'交于点E。

1) 求证：AC BA'；

2) 求异面直线AC与BA'的距离； 3) 求三棱锥B' BEC的体积。 正解：①证：取AC中点D，连ED，

E是AB'的中点， ED B'C AC, DE AC

12B'C

2

又 ABC是底角等于30 的等腰 ， BD AC,BN DE D AC 面BDE, AC BE,即AC BA'

②解：由①知 EDB是二面角B' AC B的一个平面角，

33

EDB＝45，ED

2,BD ADtan30

23 2

在

DBE中：EB

2

ED

2

BD

2

2ED BDcos45 2 4 22

22

2

EB 2, BDE是等腰Rt ,ED BE,ED是异面直线AC与BA'的距离，

为2

③连A'D,ED EA' ED

2, A'D BD,又AC 面BED，

A'D 面BED, A'D AC, A'D 面ABC且A'D 2

VB' ABC

13

S ABC A'D

12

118 (BD AC) A'D 323

12

VB' ABC'

43

3

3

VB' BEC VC

BEB' VC ABB''

误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。

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7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N。求

4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 5) PC和NC的长；

6) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为9 4

②如图1，将侧面BC1旋转120使其

与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。 设PC＝x，则P1C＝x，

在Rt MAP1中，（3＋x) 2 29,x 2 MCMA

P1CP1A

25

, NC

45

2

2

22

97

③连接PP（如图2），则PP1

就是

NMP与平面ABC的交线，作NH PP1于H，又CC1 1

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平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，CH PP1。

NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角。在Rt PHC中， PCH

12

PCP1 60, CH 1 NCCH

45

在Rt NCH中，tan NHC

误解：①不会找29

的线段在哪里。 ②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。 ③不会找二面角的平面角。

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